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高中数学必修四专题复习


三角函数专题复习
三角函数的定义 第一定义:角 ? 的终边与单位圆的交点为 P( x, y) 则角 ? 的三角函数为:

t an ?? 第二定义:角 ? 的终边上任意一点为 P( x, y) 则角 ? 的三角函数为: t an ?? sin ? ? c o? s ? 1. 已知角 ? 的终边上一点为 P(1,?2) 则求角 ? 的三个三角函数。

sin ? ?

c o? s ?

2.已知角 ? 终边上一点 P(? 3, y) ? y ? 0? ,且 sin ? ?

2 y ,求 cos ? , tan ? 4

一、

同角的三角函数关系 商数关系: .

平方关系:

2 1.若 ? 是第二象限的角,且 sin ? ? ,则 cos? ? ( ) 3 1 1 5 A. B. ? C. D. 3 3 3 5 2、已知 cos ? ? ,且 ? 是第四象限的角,则 tan ? 2? ? ? ? ? 13 12 12 12 5 A .? B. C. ? D. ? 5 5 5 12
3.已知 sin ? ? 4. 已知 tan

?

5 3

( )

?
2

2 5 ? , ? ? ? ? ,则 tan ? ? 2 5
=2,求



(I) tan(? ?

?
4

) 的值;

(II)

6 sin ? ? cos ? 的值. 3sin ? ? 2 cos ?

1

5.已知 tan ? ? 3 ,求下列各式的值:

? ? 2sin ? cos ? ? cos ? 4sin ? ? cos ? 3 1 2 2 (1) (2) sin (3) sin ? ? cos ? 2 2 3sin ? ? 5cos ? 4 2 4cos ? ? 3sin ?

2

2

变式;

已知 tan(

?
4

? ? ) ? 2, 求

1 的值. 2sin ? cos ? ? cos 2 ?

二、

三角函数的诱导公式

1.㈠函数名不变,符号看象限

sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? tan( ? ??) ?

sin(?? ) ? cos(?? ) ? tan(?? ) ?

sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? tan( ? ??) ?

㈡函数名改变,符号看象限

sin(

?
2

??) ? ??) ?

sin(

?
2

??) ? ??) ?

cos(

?
2

cos(

?
2

) 2 练习:化简(1) ? sin(? ? 2? ) ? cos(2? ? ? ) 5? sin( ? ? ) 2

cos(? ?

?

2

sin(
(2)

?
2

??)
.

sin(? ? ? )

tan( ? ? ? ) sin(? ? ? ). ? 2 cos(? ? ? ) ? 3? cos(3? ? ? ) sin( ? ? ) ? cos( ? ? ) 2 2

2 (3)已知 cos? ? ,求 4

sin(? ? 5? ) cos( ? ? ) cos(8? ? ? ) 2 3? sin(? ? ) sin(?? ? 4? ) 2

?

三、

cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? tan( ? ? ?) ?

三角恒等变换

cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? tan( ? ? ?) ?
= =

cos(2? ) ?
sin(2? ) ?

tan(2? ) ?

cos2 ? ? 4 ? 5 1. (1)已知 sin ? ? , ? ? ( , ? ), cos ? ? ? , ? 为第三象限角; 5 2 13 求 cos(? ? ? ) , sin(? ? ? )

sin 2 ? ?

3

(2)已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?

? x ) ? cos( x ? ).g ( x) ? 2sin 2 . 6 3 2
3 3 .求 g (? ) 的值; 5

(I)若 ? 是第一象限角,且 f (? ) ?

(II)求使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合.

2.化简: 1-2sin10°cos10° cos10°- 1-cos2170° 的值为



3? 1 1 1 1 ? ? ? 2? ,化简 ? ? cos 2? 2 2 2 2 2

1 3 ? ? sin10 sin 80?

4

3(1)已知设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? (

?
2

, ? ) ,则 tan 2? 的值是________

(2)已知 cos ? ?

1 ? , ? ? (? ,2? ) ,则 cos 的值等于( ) 3 2
B.

A. -

6 3

?

6 3

C.

3 3

D. -

3 3

(3) 已知 tan ? ? A.3 B.6

1 cos 2? ? sin 2? ? 1 ,则 等于( 2 cos 2 ? 3 C.12 D. 2



(4)已知 tan 2? ? ?2 2 , ? ? 2? ? 2? , 求

2cos2

?
2

? sin? ? 1

2sin(? ? ) 4

?

的值

4(1)已知 ?

?
2

? x ? 0, sin x ? cos x ?

1 . 5

3 sin 2
(I)求 sinx-cosx 的值; (Ⅱ)求

x x x x ? 2 sin cos ? cos2 2 2 2 2 的值. sin x cos x

5

(2)已知, cos ? ? sin ? ?

17π 7π 3 ? 2 , 12 < ? < 4 ,求 sin 2? 和 tan( ? ? ) 的值。 5 4

5(1):化简

1 ? sin 2? ? cos 2? 1 ? sin 2? ? cos 2?

(2)

sin 7? ? cos15? sin 8? 的值为____ cos 7? ? sin 15? sin 8?

_.

A (3)在△ABC 中,若 sinBsinC=cos2 ,则△ABC 是( 2 A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形

)

6

6.(1)若 sin(

?
4

??) ?

5 ? 3 ? 3? , cos( ? ? ) ? , 且 0 ? ? ? ? ? ? , 求 sin(? ? ? ) 13 4 5 4 4

(2)已知 sin(

?
3

??) ?

12 ? 2? , ? ? ( , ), 求 sin ? 的值。 13 6 3

(3) 知 sin(

?
4

??) ?

12 , 求 sin 2? 的值 13

7(1). 已知 cos( ? ? ? ) ?

4 4 , cos( ? ? ? ) ? ? , 则 cos? cos ? ? ____ 5 5

_.

(2)若 sin ? ? sin ? ?

3 1 , cos? ? cos ? ? , 则 cos(? ? ? ) 的值为( 2 2
C.



A.

1 2

B.

3 2

3 4

D. 1

7

四、 函数

三角函数图象与性质 y=sinx y=cosx y=tanx

图 象

定义域 值域

单调性

最值

奇偶性 对 称 中 对 心 称 性 对 称 轴 周期性

8

(一)五点法作图;作出 y ? 2 sin(

1 ? x ? ) 在 [?2? ,2? ] 上的图像。 2 6

(二)如何 y=sinx 的图象变换得到 y=3sin(2x+

? )的图象 4

1.将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动

? 个单位长度, 再把所得各点的横坐 10

标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是 (A) y ? sin(2 x ?

?
10

) )

(B) y ? sin(2 x ?

?
5

)

(C) y ? sin( x ?

1 2

?

10

(D) y ? sin( x ?

1 2

?

20

)

2.将 y ? cos x 的图像向左平移 ? ( 0 ? ? ? 2? ) 个单位长度后,得到 y ? cos( x ? 像,则 ? =( )

?
6

) 的图

A.

? 6

B.

5? 6

C.

3.为得到函数 y=sin(2x长度

? )的图象可以将函数 y=cos2x 的图象向( )平移( )个单位 6 ? ? ? ? A.右, B.右, C.左, D.左, 6 3 6 3
9

7? 6

D.

11? 6

?x ? ? )(A>0,? >0,0< ? ? ? ) 4.已知函数 y ? Asin(

的两个邻近的最值点为(

?
6

, 2 )和(

2? ,则 , ?2) 3

这个函数的解析式为____________________.

5 已知函数 f ( x ) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示, f ( ) ? ?

?

2

2 ,则 f (0) =( 3

)

A. ?

2 3

B.

2 3

C.-

1 2

D.

1 2

π 6.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R) 2 的图象的一部分如图所示.求函数 f(x)的解析式.

? ? ? ) (A>O, ? >0, ? < ? )的最小正周期是 7.已知函数 y ? Asin(

2? ,最小值是-2,且图 3

象经过点 M(

5? ,求这个函数的解析式. , 0) 9

8. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? 轴之间的距离为

?
6

) ? 1( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称

? ,求函数 f ( x) 的解析式; 2

10

(三)性质的研究

1、函数 y ? sin x ? cos2 x 的值域是 4? ? A. B. ?1, ? ??1, 1? ? 5? ?
? 2.已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? ), x ? R .
2

C. ?1, 5 ?

? ?

4? ?

( ?? , ] D.

4 5

(I)求 f ( x) 的最小正周期;(II)求 f ( x) 的的最大值和最小值; (III)若 f (? ) ?

3 ,求 sin 2? 的值. 4

f ( x) ? 4 cos x sin( x ? ) ? 1 6 3.已知函数 。
(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期,对称轴方程,对称中心:

?

? ? ?? ?? , ? (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? 6 4 ? 上的最大值和最小值。

3.函数 y=sin2xcos2x 的最小正周期是 (A)2π (B)4π



) π (C) 4

π (D) 2

11

4.已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , x ? R ,则 f ( x) 的最小正周期是

7 3 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ), x ? R 4 4 5.已知函数
(1)求 f ( x ) 的最小正周期和最小值;

cos( ? ? a) ?
(2) 已知

4 4 ? , cos( ? ? ? ) ? ? , (0 ? ? ? ? ? ) [ f (? )]2 ? 2 ? 0 5 5 2 , 求证:

6. (1)若函数 y ? sin?2 x ? ? ? 为偶函数,则 ? 的一个值可以是(
(2)若函数 y ? sin ?2 x ? ? ? 为奇函数,则 ? 的一个值可以是(





A. ? ? ??

B. ? ? ?

?
2

C. ? ?

3? 4

D. ? ?

?
4


7(1).如果函数

? 4? ? y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ? ,0 ? 中心对称,那么 | ? | 的最小值为( ? 3 ?
4? 3
对称,那么 | ? | 的最小值为( )



(2)如果函数

y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于 x ?

(A)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3
12

(D)

? 2

(3).若函数 f(x)= 5 sin(2x ? ? ) 对任意 x 都有 f( (1)求 f(

?
3

? x )=f(

?
3

?x)

? )(2)求 ? 的最小正值 3
? ? ? 6

(3)当 ? 取最小正值时若 x ? ??

??
6? ?

求 f(x)的最大值与最小值

8 已知函数 f ( x) ? sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x , x ? R .求: (I) 函数 f ( x ) 的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合; (II) 函数 f ( x ) 的单调增区间.
2 2

13

π? 9.已知函数 f(x)=sin ? ?2x+3?. (1)求 x ? ?0, ? ?时的单调递增区间; (2)求 x ? ?? 的取 (3)画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图象.

? ? ?? , ? 时的函数的最值,及对应的 x ? 3 6?

10. 已知函数 f ( x) ? 2 sin (
2

?
4

? x) ? 3 cos 2 x

(1)求 f ( x) 的周期和单调增区间 (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 2在x ? ? , ?上有解,求实数 m 的取值范围。

?? ? ? ? 4 ,2 ?

14


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