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2.2.1 椭圆及其标准方程 练习题


珲春市第一高级中学

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椭圆单元练习卷
一、选择题: 1.已知椭圆 ( ) A.2 B.3 C.5 D.7 )

x2 y2 ? ? 1 上的一点P,到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为 25 16

2.中心在原点,焦点在横轴上,长轴长为 4,短轴长为2,则椭圆方程是( A.

x2 y 2 ? ?1 4 3
2 2

B.

x2 y 2 ? ?1 3 4

C.

x2 ? y2 ? 1 4

D. x ?
2

y2 ?1 4
)

3.与椭圆 9x +4y =36 有相同焦点,且短轴长为 4 5 的椭圆方程是( A

x2 y2 ? ?1 25 20

x2 y2 B ? ?1 20 25

x2 y2 C ? ?1 20 45

x2 y2 D ? ?1 80 85
) D.

4.椭圆 5x2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 (0, 2) ,那么 k 等于( A.

?1

B.

1

C.

5

? 5

5.若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直,则离心率等于 ( A.

)

1 2

B.

2 2

C.

2

D. 2

6.椭圆两焦点为 F1 (?4,0) , F2 (4,0) ,P 在椭圆上,若 △ PF 1F 2 的面积的最大值为 12, 则椭圆方程为( A. ) B .

x2 y 2 ? ?1 16 9

x2 y 2 ? ?1 25 9

C .

x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 D . ? ?1 25 16 25 4

7.椭圆的两个焦点是 F1(-1, 0), F2(1, 0),P 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2| 的等差中项,则该椭圆方程是( ) 。

A

y2 x2 + =1 16 9

B

y2 x2 + =1 16 12

C

y2 y2 x2 x2 + =1 D + =1 4 3 3 4

8.椭圆的两个焦点和中心,将两准线间的距离四等分,则它的焦点与短轴端点连线的夹角 为( )


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(A)45 9. 椭圆

0

(B)60

0

(C)90

0

(D)120

0

x2 y 2 ? ? 1 上的点 M 到焦点 F1 的距离是 2, N 是 MF1 的中点, 则|ON|为…… ( 25 9
B . 2 C. 8
2



A. 4

D .

3 2

10.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外 3 一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是 ( (A)2 3 二、填空题: 11.方程 (B)6
)

x2

(C)4 3

(D)12

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴的椭圆时,实数 m 的取值范围是____________ | m | ?1 2

12.过点 (2, ?3) 且与椭圆 9x2 ? 4 y 2 ? 36 有共同的焦点的椭圆的标准方程为_____________

0 5 ) , 13. 设 M (?

N P , N (5, 0) ,△ MNP 的周长是 36 , 则 ?M

的顶点 P 的轨迹方程为_______

A 14.如图:从椭圆上一点 M 向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F 1 ,且它的长轴端点

? ??? ? ???? 及短轴的端点 B 的连线 AB ∥ OM ,
则该椭圆的离心率等于_____________

y

M F1

B

O

A

x

三、解答题: ) 15.已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率 e ?

2 ,短轴长为 8 5 ,求椭圆的方程。 3



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2 16.已知点 A 0, 3 和圆 O1 : x ? y ?

?

?

?

3

?

2

? 16 ,点 M 在圆 O1 上运动,点 P 在半径

O1 M 上,且 PM ? PA ,求动点 P 的轨迹方程。

17.已知 A、B 为椭圆

8 x 2 25y 2 + =1 上两点,F2 为椭圆的右焦点,若|AF2|+|BF2|= a,AB 2 2 5 a 9a
3 ,求该椭圆方程. 2

中点到椭圆左准线的距离为



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18. (10 分)根据条件,分别求出椭圆的方程: (1)中心在原点,对称轴为坐标轴,离心率为

1 ,长轴长为 8 ; 2

(2) 中心在原点, 对称轴为坐标轴, 焦点在 x 轴上, 短轴的一个顶点 B 与两个焦点 F1 , F2 组

2? 成的三角形的周长为 4 ? 2 3 ,且 ?F1 BF2 ? 。 3
F2 O

y

B F1

x

19. (12 分)已知 F 1 , F2 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (0 ? b ? 10) 的左、右焦点, P 是椭圆上一点。 100 b 2


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(1)求 | PF1 | ? | PF2 | 的最大值;
? (2)若 ?F 1 PF2 的面积为 1PF 2 ? 60 且 ?F

64 3 ,求 b 的值; 3

参考答案: 一、DCBAB B0CCAC 二、11. m ? (1,3) ? (?3, ?1) 三、 15. 12.

y 2 x2 x2 y2 ? ? 1 13. ? ? 1( y ? 0) 14. 15 10 169 144

2 2

x2 y2 ? ?1 或 144 80
2

x2 y2 ? ?1 80 144 y2 ?1 4

16. 利用定义法

∴ x ?



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17.(12 分)

[解析]:设 A(x1 , y1 ) , B(x 2 , y 2 ) ,? e ?
8 5
1 2

4 , 由焦半径公式有 5

a ? ex1 ? a ? ex2 = a ,∴ x1 ? x 2 = a ,
1 5 1 5 3 即 AB 中点横坐标为 a ,又左准线方程为 x ? ? a ,∴ a ? a ? ,即 a =1,∴椭圆 4 4 4 4 2

方程为 x + 25 y =1.
9

2

2

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1或 ? ? 1 18. (1) 16 12 16 12
(2) 设长轴为 2 a , 焦距为 2c , 则在 ?F2OB 中, 由 ?F2OB ?

?
3

得: c?

3 所以 ?F2 BF1 a, 2
x2 y 2 ? ? 1。 4 1

的周长为 2a ? 2c ? 2a ? 3c ? 4 ? 2 3 ,?a ? 2, c ? 3, ?b2 ? 1 故得:

? | PF1 | ? | PF2 | ? 19. (1) | PF1 || PF2 |? ? , ? ? 100 (当且仅当 | PF1 |?| PF2 | 时取等号) 2 ? ?

2

?? PF1 | ? | PF2 |?max ? 100
(2)? S?F1PF2 ?

256 1 64 3 | PF1 | ? | PF2 |? ,? | PF1 | ? | PF2 | sin 60? ? 3 2 3



? | PF1 |2 ? | PF2 |2 ?2 | PF1 | ? | PF2 |? 4a 2 又? ? 3| PF1 | ? | PF2 |? 400 ? 4c2 2 2 2 ? ?| PF1 | ? | PF2 | ?4c ? 2 | PF1 | ? | PF2 | cos 60
由①②得 c ? 6 ?b ? 8



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