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2014年全国高中数学青年教师展评课:函数的单调性教学设计(新疆奎屯三中王丽)


《1.3.1 单调性与最大(小)值(第 1 课时)》教学设计 新疆维吾尔自治区伊犁州奎屯市第三中学
课型:新授课 一、 教学内容解析 函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质,也是第一个用 数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样,都是研 究自变量变化时,函数值的变化规律;学生对于这些概念的认识,都要经历直观 感受、文字描述和严格定义

三个阶段,即都从图象观察,以函数解析式为依据, 经历用符号语言刻画图形语言,用定量分析解释定性结果的过程.因此,函数单调 性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据. 函数的单调性既是函数概念的延续和拓展,又是后续研究指数函数、对数函 数、三角函数的单调性等内容的基础,在研究各种具体函数的性质和应用、解决 各种问题中都有着广泛的应用.函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想 方法,对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用.函数的 单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础,是解决数学问题 的常用工具,也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材. 二、教学目标 按照教学大纲的要求,根据教材和学情,确定如下教学目标: 1.从实际问题出发,使学生通过观察、思考,直观感知函数的单调性.通过探 究,讨论函数图像的变化趋势与 y 值随自变量 x 的变化情况之间的关系.让学生体 验“任意”二字的含义,将图形语言与自然语言建立联系.在此过程中培养学生细 心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯. 2.从具体的二次函数 y ? x 2 在区间 (0,??) 上为增函数入手,通过学生对“y 值 随 x 的增大而增大”的逐层深入认识,将自然语言转化为数学符号语言,教师再 加以合理引导,顺利突破本课第一个难点。使学生从形与数两方面理解增、减函 数的概念,掌握运用函数图像和单调性的定义判断函数单调性的方法.在此,让学 生领会数形结合的数学思想方法,经历从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理 性的认知过程. 3.通过对增、减函数概念的深入挖掘,初步掌握证明函数单调性的方法与步 骤,培养学生归纳、概括、抽象的能力和语言表达能力,提高学生的推理论证能 力. 三、学生学情分析

王丽

-1-

学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数的基础上对函数的增减性 有一个初步的感性认识,已具备了一定的观察事物能力和抽象思维能力,但对于 感性思维向理性思维的过渡仍有一定的障碍,对于自然语言向符号语言的转化, 学生会觉得比较困难.另外,单调性的证明是学生在函数学习中首次接触到的代数 论证内容,而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的. 四、重、难点分析 重点:增、减函数概念的形成及单调性的初步应用. 难点:增、减函数的概念形成以及根据定义证明函数的单调性. 五、教学策略分析 本节课是函数单调性的起始课,根据新课改的教学理念,结合本节课的教学 内容和学生的认知水平,主要采用让学生自主探究、独立思考、合作交流、探究 成果展示及教师启发引导的教学方式进行教学.同时使用多媒体辅助教学,增强直 观性,提高教学效果和教学质量. 在学生的学法上我重视让学生利用图形直观启迪思维,完成从感性认识到理 性思维的质的飞跃.让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用,培养学生 发现问题、研究问题和分析解决问题的能力. 六、教学过程 (一)创设情境 引例 某品牌电热水壶,烧开一壶水需要 6 分钟,水开后自动断电,50 分钟后冷却 至室温. (1)你能描述一下,水温随时间的变化时如何变化的吗? (2)你能用图像表示出这种变化关系吗? (3)你能将“图像的变化趋势”与“水温随着时间的增加而变化”相结合起 来吗? 这是一个实际问题,在描述上述变化关系时,把定义域分成了两个区间去研 究 .函数图像上升、下降的趋势反应的是函数的一个基本性质 ------函数的单调 性. (通过朴素的实际问题,让学生把增、减函数的图形语言与自然语言对应起 来,同时为理解函数的单调性是函数的局部性质打下伏笔.) (二)自主探究 1. 个人独立完成或学习小组合作完成. 任意写出一个函数的解析式及定义域,画出草图,任意列出一些自变量和相 应的函数值,将“图像的上升、下降趋势”与“y 值随 x 的变化”结合起来. 2.展示探究成果. 探究成果预设:

-2-

y ? 2 x( x ? R )

1 y ? {x x ? 0} x

X<0 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -4 -3 -2 -1 0 1 2

x>0

x 0.5 1 2 3 4 5

y 2 1 0.5 0.33 0.25 0.2

-3-

x -5 -4 -3
y ? 2 x( x ? R) , 在 (??,??)

y -0.2 -0.25 -0.33 上,y 值随 x 的增大而增大,图 -0.5 -1 -2
x ? (??,0) 时,y 值随 x 的增大 x ? (0,??) 时,y 值也随 x 的增

像是上升的. 1 y ? {x x ? 0} x

-2 当 -1 -0.5

而减小,图像是下降的;当 大而减小,图像也是下降的.
1 x 的?能不能说整个定义域上 y

教师追问: 能不能说 y ?

的图像在整个定义域上是下降 值随 x 的增大而减小? 次函数 y ? x 2 的函数值 y 随 x

3. 教师用几何画板演示二

的变化而变化的过程,并任意 选取自变量给出相应的 y 值, 让学生再次感受图像上升与 y 随 x 的增大而增大相对应;图像下降与 y 随 x 的增 大而减小相对应. (三)抽象出增、减函数的定义 1.问题引导:究竟如何理解“y 随 x 的增大而增大”呢? 学生探讨, 得出 “y 随 x 的增大而增大”可以用符号语言表示为“当 x1 ? x 2 时, 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ”. 函数 y ? x 2 ,在 x ? (0,??) 上满足,当 x1 ? x 2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 y ? x 2 在
(0,??) 上是增函数.

2.一般的,对于函数 y ? f ( x ) ,在定义域的某个区间 ( a, b) 上,如何说明它是 增函数呢? 让学生归纳出增函数的定义: 一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I , 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的任意两个自变量 x1 , x 2 ,当 x1 ? x 2 时, 都有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,那么就说 f ( x) 在区间 D 上是增函数. 用图像刻画增函数. 3.对比增函数的定义,由学生归纳出减函数的定义. 一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,

-4-

如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的任意两个自变量 x1 , x 2 ,当 x1 ? x 2 时, 都有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,那么就说 y ? f ( x) 在区间 D 上是减函数. 用图像刻画减函数。 4、函数的单调性定义 如果函数 y ? f ( x) 在某个区间上是增函数或是减函数, 那么就说函数 y ? f ( x) 在这一区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y ? f ( x) 的单调区间. 5.比较增函数、减函数的定义. 注意: ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ②必须是对于区间 D 上的任意两个自变量 x1 , x 2 ,没有例外.

6、深化增、减函数的概念。 让学生找到增(减)函数定义中的关键词有哪些.

7、概念辨析 问题(1):函数 y ? f ( x) 在定义域的区间 ( a, b) 上有无数个自变量, f ( x) 的值 随自变量 x 的增大而增大. 能不能说明 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 上是增函数? 问题 (2) :函数 y ? f ( x) 在定义域的区间 ( a, b) 上有两个自变量 x1 , x 2 , 当 x1 ? x 2 时,有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,能不能说明 y ? f ( x) 在区间 D 上是增函数?

(四)例题讲解 例 1.课本 P29 如图,是定义在闭区间[-5,5]上的函数 y ? f ( x) 的图象,根据 图象说出 y ? f ( x) 的单调区间,以及在每一单调区间上,函数 y ? f ( x) 是增函数还 减函数.

-5-

-5

-2

1

3

5

类型:根据函数图象说明函数的单调性. 练习 1:根据下列函数的图像,指出其单调区间.

y
1 -

y
O1
(1)

x

O

1

x
(2)

y

y
1
O (3)

x

-

-

1

x

两个单调递增区间能并在一起吗?比较以下三个函数。

(4)

y
1 -1 -1 1

y

x y
-6-

1 -1 -1 1

x

1 -1 -1 1

例 2. 课本 P29 物理学中的玻意尔定律 P ?

k (k V

正为常数)告诉我们,对于一

定量的气体,当体积 v 减小时,压强 p 将增大。试用函数的单调性证明之。 类型:根据函数单调性定义证明函数的单调性. 说明:这两道例题介绍了 (1)判断函数单调性的两种方法:根据图像观察,根据定义证明; (2)证明函数单调性的步骤: ① 取值,并规定大小; 2 作差 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,并判断差值的正负; ○ 3 下结论. ○ 练习 2:证明函数 f ( x ) ?
2 ? 1 在 (??,0) 上是减函数。 x

证明:设 x1 , x 2 是 (??,0) 上的任意两个实数,且 x1 ? x 2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

2 2 2 2 2( x 2 ? x1 ) ? 1 ? ( ? 1) ? ? ? x1 x2 x1 x 2 x1 x 2

由 x1 , x 2 ? (??,0) ,得 x1 x 2 ? 0, 又 x1 ? x 2 ,得 x2 ? x1 ? 0

于是 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) >0,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以,函数 f ( x ) ?
2 ? 1 在 (??,0) 上是减函数。 x

思考:对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1 , x 2 ,当 x1 ? x 2 时, 以下条件能判断 y ? f ( x) 的单调性吗?

-7-

① ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0; 2 ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0; ○ 3 ○

x1 ? x 2 ?0 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2 ? 0. f ( x 2 ) ? f ( x1 )



(五)本课小结 学生交流在本节课学习中的体会、收获,交流学习过程中的体验和感受,师 生合作共同完成小结. ① 概念探究过程:直观到抽象、特殊到一般、感性到理性. 2 证明方法和步骤:取值并规定大小、作差并判断差值的正负、下结论. ○ 3 数学思想方法和思维方法:数形结合,等价转化,类比等. ○ (六)作业布置 1.习题 1.3 第 1,2 题。 2.归纳以下函数的单调性。

y ? kx ? b(k ? o); y ? ax 2 ? bx ? c; 1 y? . x
3.预习作业: 你知道二次函数的最值吗?最值的含义是什么? 你知道什么样的函数存在最值吗? (七)板书设计
课 题

1、增、减函数的定义

例 2 详写解题过程

演草

增、减函数的图像

2、单调性、单调区间

-8-

课后反思: 1.给出生活实例和函数单调性的图形语言,调动学生的参与意识,通过直观 图形得出结论,渗透数形结合的数学思想。问题是数学的心脏,问题是学生思维 的开始,问题是学生兴趣的开始。这里,通过问题,引发学生的进一步学习的好 奇心。 2.从具体的二次函数到一般函数,使学生把定义与直观图象结合起来,加深 对概念的理解,得出函数单调性的数学语言。教师再用图像说明,分析定义,提 问等办法,渗透数形结合分析问题的数学思想方法。 3.通过安排基本练习题,使学生在完成必修教材基本学习任务的同时,拓展 自主发展的空间,让每一个学生都得到符合自身实践的感悟,使不同层次的学生 都可以获得成功的喜悦,看到自己的潜能,从而激发学生饱满的学习兴趣,促进 学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成。 4. 让学生体验数学知识的发生发展过程应该成为这节课的一个重要教学目标。 函数的单调性的定义是对函数图象特征的一种数学描述,它经历了由图象直观感 知到自然语言描述,再到数学符号语言描述的进化过程,这个过程充分反映了数 学的理性精神,是一个很有价值的数学教育载体。

-9-

函数的单调性---课堂练习单
探究: 任意写出一个具体函数的解析式. (1)画出草图,观察图像的上升、下降趋势. (2)用列表法列出一些自变量 x 的值,并计算出相应的 y 值,观察 x 增大时,y 值 如何变化. (3)你能不能将 x 增大时 y 值的变化情况与图像的特征结合起来?

x

y

- 10 -

x

y

x

y

概念辨析: 问题(1):函数 y ? f ( x) 在定义域的区间 ( a, b) 上有无数个自变量, f ( x) 的值 随自变量 x 的增大而增大. 能不能说明 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 上是增函数? 问题 (2) :函数 y ? f ( x) 在定义域的区间 ( a, b) 上有两个自变量 x1 , x 2 , 当 x1 ? x 2 时,有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,能不能说明 y ? f ( x) 在区间 D 上是增函数? 练习 1:根据下列函数的图像,判断其的单调性。

y
1 -1

y
O1
(1)

x
- 11 -

O

1

x
(2)

两个单调递增区间能并在一起吗?比较以下三个函数。

y
1 -1 -1 1

y

x y
1

1 -1 -1 1

x

-1

-1

1

x
- 12 -

练习 2:证明:函数 f ( x ) ?

2 ? 1 在 (??,0) 上是减函数。 x

思考:对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1 , x 2 ,当 x1 ? x 2 时, 以下条件能判断 y ? f ( x) 的单调性吗? ① ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0; 2 ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0; ○ 3 ○

x1 ? x 2 ?0 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2 ? 0. f ( x 2 ) ? f ( x1 )



预习作业: 你知道二次函数的最值吗?最值的含义是什么? 你知道什么样的函数存在最值吗?

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