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江西九江市2011届高三七校联考试题数学理


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九江市 2011 届七校联考试题

数 学 试 题(理)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。请把答案填在答题卷的相应位置。 1.复数 ( 2 + i ) i 的虚部是 ( )
A. 1 B. ?1 C. 2 D. ?2 2.已知集合 M = { x | x < 1} , N = x | 2 x > 1 ,则 M ∩ N = A. ? B. { x | x < 0} C. { x | x < 1}

{

}


D. { x | 0 < x < 1}



3.直线 l : mx ? y + 1 ? m = 0 与圆 C: x 2 +( y ? 1)2 = 5 的位置关系是





A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 4.三视图已知三棱锥的主视图与俯视图如下图,俯视图是边长为 2 的正三角形,那么该三 棱锥的左视图可能为 ( )

主视图

俯视图

A

B

C

D

5.安排 6 名演员的演出顺序时,要求演员甲不第一个出场,也不最后一个出场,则不同的 安排方法种数是 ( ) A.120 B.240 C.480 D.720

6.在股票买卖过程中,经常用到两种曲线,一种是即时价格曲线 y=f(x),一种是平均价
1

y

y

y

y

格曲线 y=g(x)(如 f(2)=3 表示开始交易后第 2 小时的即时价格为 3 元;g(2)= 4 表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为 4 元).下面所给出的四个图 象中,实线表示 y=f(x),虚线表示 y=g(x),其中可能正确的是 ( )

A B C D 7.已知在平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行。在空间中可以类比得出以下一组命 题: ①在空间中,垂直于同一直线的两条直线平行 ②在空间中,垂直于同一直线的两个平面平行 ③在空间中,垂直于同一平面的两条直线平行 ④在空间中,垂直于同一平面的两个平面平行 其中,正确的结论的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D. 4 8.设抛物线 y =2x 的焦点为 F,过点 M( 3 ,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与
2

S ?BCF BF S 抛物线的准线相交于 C, =2,则 ? BCF 与 ? ACF 的面积之比 ?ACF = (
1 A. 2
9.已知



2 B. 3

4 C. 7

4 D. 5

a b c d

= ad ? bc, 则

4 6 8 10

+

12 14 16 18

+

20 22 24 26

+?+

2004 2006 2008 2010

=





A.2008

B.—2008

C.2010

D.—2010

10. 已知 f (x) = ? ? ? log2 x, 实数 a 、b 、c 满足 f ( a ) f (b) f (c ) < 0 , 0< a < b < c ) ( 若实数 x0 是函数 f ( x ) 的一个零点,那么下列不等式中,不可能成立的是 ... A. x0 < a B. x0 > b C. x0 < c D. x0 > c ( )

? 1? ? 3?

x

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分。 请把答案填在答题卷的相应位置
2

11.在二项式 ( x ?
2

1 5 ) 的展开式中, 含x 4 的项的系数是 x

?x ? y + 2 ≥ 0 ? 12.已知点 P ( x, y ) 在约束条件 ?| x |≤ 2 所围成的平面 ?y ≥ 0 ?
区域上,则点 P ( x, y ) 满足不等式: ( x ? 2) 2 + ( y ? 2) 2 ≤ 4 的概率是____________ 13.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 为____________ 14.根据三角恒等变换,可得如下等式:

cos θ = cos θ
cos 2θ = 2 cos 2 θ ? 1 cos 3θ = 4 cos3 θ ? 3cos θ cos 4θ = 8 cos 4 θ ? 8 cos 2 θ + 1

依此规律,猜测

,其中 m + n =

15.选做题(考生只能从中选做一题;两道题都做的,只记第一题得分) (1)(坐标系与参数方程选做题)已知圆的极坐标方程为 ρ = 2 cos θ ,则该圆的圆心到 直线 ρ sin θ + 2 ρ cos θ = 1 的距离是 。

(2)(不等式选讲选做题)若 a , b, c > 0 ,且 a 2 + ab + ac + bc = 4 ,则 2a + b + c 的最 小值为 。

三、解答题:本大题共 6 小题,计 75 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题卷的指定区域内. 16.(本小题满分 12 分) 已 知 角 A 、 B 、 C 是 ?ABC 的 内 角 , a, b, c 分 别 是 其 对 边 长 , 向 量
3

m = (2 3 sin

A A A , cos 2 ) , n = (cos ,?2) , m ⊥ n 。 2 2 2

(1)求角 A 的大小; (2)若 a = 2, cos B =

3 , 求 b 的长。 3

17.(本小题满分 12 分)由于当前学生课业负担较重,造成青少年视力普遍下降,现从湖 口中学随机抽取 16 名学生,经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶 图(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶)如下:

(1)指出这组数据的众数和中位数; (2)若视力测试结果不低于 5.0,则称为“good sight”,求校医从这 16 人中随机选取 3 人,至多有 1 人是“good sight”的概率; (3)以这 16 人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数很多)任选 3 人,记 ξ 表示抽到“good sight”学生的人数,求 ξ 的分布列及数学期望.

18.(本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 中, 1 = 2 , 2 = 3 , a a 其前 n 项和 S n 满足 S n +1 + S n ?1 = 2 S n + 1 n ≥ 2 , (

n ∈ N*
(1)求数列 {a n } 的通项公式;
4

(2)设 bn = 4 n + ( ?1) n ?1 λ ? 2 n (λ 为非零整数, n ∈ N ),试确定 λ 的值,使得对任意
a
*

n ∈ N* ,都有 bn +1 > bn 成立.

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 已知 BC =1, BB1 = 2, ∠BCC1 = 90 ,
0

AB ⊥ 侧面 BB1C1C
(1)求直线 C1B 与底面 ABC 所成角的正弦值; (2) 在棱 CC1 (不包含端点 C , C1 ) 上确定一点 E 的位置, 使得 EA ⊥ EB1(要求说明理由) . (3)在(2)的条件下,若 AB = 2 ,求二面角 A ? EB1 ? A1 的大小.
A A1

B C

B1 E C1

20.(本小题满分 13 分) 已知抛物线 C : x 2 = 4 y 的焦点为 F ,过点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A 、 B 两点;椭 圆 E 的中心在原点,焦点在 x 轴上,点 F 是它的一个顶点,且其离心率 e =
3 . 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)经过 A 、 B 两点分别作抛物线 C 的切线 l1 、 l2 ,切线 l1 与 l2 相交于点 M .证明:

AB ⊥ MF ;
5

(3)椭圆 E 上是否存在一点 M ′ ,经过点 M ′ 作抛物线 C 的两条切线 M ′A′ 、 M ′B′ ( A′ 、 B ′ 为切点),使得直线 A′B′ 过点 F ?若存在,求出抛物线 C 与切线 M ′A′ 、 M ′B′ 所 围成图形的面积;若不存在,试说明理由.

21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) =

1 + ln x x 1 2

(1)若函数在区间 ( a, a + ) 上存在极值,其中 a >0,求实数 a 的取值范围; (2)如果当 x ≥ 1 时,不等式 f ( x ) ≥

k 恒成立,求实数 k 的取值范围; x +1

! (3)求证: [ ( n + 1) ] > ( n + 1) ? e
2

n? 2

(n ∈ N ? ) 。

参考答案
一、选择题(每小题 5 分,满分 50 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 B 5 C 6 C 7 B 8 D 9 B 10 D

二、填空题(每小题 5 分,满分 25 分)

6

11.10

12.

π +2
8

13.

1 3

14. ? 30

15.(1)

5 5

(2)4

三、解答题:本部分共计 6 小题,满分 75 分,请在指定区域内作答,否则该题计为零分。 16.(本小题满分 12 分) 解:(1)∵ m ⊥ n

A A? ? A ? ? ∴ m ? n = ? 2 3 sin , cos 2 ? ? ? cos , ?2 ? = 3 sin A ? ( cos A + 1) = 0 2 2? ? 2 ? ?

∴ 3 sin A ? cos A = 1 ……4 分

π? 1 ? ∴ sin ? A ? ? = ……6 分 6? 2 ?
∵ 0 < A < π ,∴ ?

π
6

< A?

π
6

<

∴A=

π
3

5π π π ,∴ A ? = , ……8 分 6 6 6

.……9 分

(2)在 ?ABC 中, A =

π
3

, a = 2 , cos B =

3 3

∴ sin B = 1 ? cos 2 B = 1 ?
由正弦定理知:

1 6 = ……10 分 3 3

a b = , ……11 分 sin A sin B 2× 6 3 = 4 2 .∴ b = 4 2 ……12 分 3 3 3 2
…………………………2

∴b=

a sin B == sin A

17.(本题满分 12 分) 解:(1)众数:4.6 和 4.7;中位数:4.75 分

(2)设 Ai 表示所取 3 人中有i个人是“good sight”,至多有 1 人是“good sight”记为 事件 A,则 P ( A) = P ( A0 ) + P ( A1 ) =
3 1 2 C12 C 4 C12 121 + = 3 3 140 C16 C16

……………6 分

7

(3)一 个人是“good sight”的概率 为

1 4

ξ 的可能取值为 0、1、2、3

…………………7 分

3 27 27 1 1 3 P (ξ = 0) = ( ) 3 = P (ξ = 1) = C 3 ( ) 2 = 4 64 4 4 64 1 23 9 1 3 1 P (ξ = 2) = C 32 ( ) = P (ξ = 3) = ( ) = 4 4 64 4 64
分布列为

ξ
P

0 27 64

1

2

3 1 64
…………10 分

27 64

9 64

Eξ = 0.75 .
(或者: ξ ~B (3, 18.(本题满分 12 分)

……………………12 分

1 ) 4

Eξ = 0.75 . )

解:(1)由已知, ( Sn +1 ? Sn ) ? ( Sn ? Sn ?1 ) = 1 ( n ≥ 2 , n ∈ N* ), ……………2 分 ∴数列 {a n } 是以 a1 = 2 为首项,公差为 1 的等差数列. ∴ an = n + 1 ……………4 分

(2)∵ an = n + 1 ,∴ bn = 4 n + ( ?1) n ?1 λ ? 2 n +1 ,要使 bn +1 > bn 恒成立, ∴ bn +1 ? bn = 4 n +1 ? 4 n + ( ?1) λ ? 2 n + 2 ? ( ?1)
n n ?1

λ ? 2n +1 > 0 恒成立,

∴ 3 ? 4 n ? 3λ ? ( ?1) ∴ ( ?1)
n ?1

n ?1

2 n +1 > 0 恒成立,
……………………6 分

λ < 2n ?1 恒成立.

(ⅰ)当 n 为奇数时,即 λ < 2 n ?1 恒成立, 当且仅当 n = 1 时, 2n ?1 有最小值为 1, ∴λ <1 ……………8 分

(ⅱ)当 n 为偶数时,即 λ > ?2 n ?1 恒成立,当且仅当 n = 2 时, ?2n ?1 有最大值 ?2 ,
8

∴ λ > ?2 即 ?2 < λ < 1 ,又 λ 为非零整数,则 λ = ?1 .

…………10 分

综上所述,存在 λ = ?1 ,使得对任意 n ∈ N* ,都有 bn +1 > bn .…………………12 分 19.(本题满分 12 分) 解::如图,以 B 为原点建立空间直角坐标系, 则 B (0, 0, 0) , C1 (1, 2, 0) , B1 (0, 2, 0) ……1 分 (1)直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 平面 ABC 的法向量 BB1 = (0, 2, 0) , 又 BC1 = (1, 2, 0) , 设 BC1与平面ABC所成角为θ ,则 sin θ = cos < BB1 , BC1 > =
C B E C1 B1

A

A1

2 5 5

…………4 分

(2)设 E (1, y , 0), A(0, 0, z ) ,则 EB1 = (?1, 2 ? y, 0) , EA = ( ?1, ? y , z )

∵ EA ⊥ EB1 ,∴ EA ? EB1 = 1 ? y (2 ? y) = 0
∴ E为CC1的中点 …………8 分

∴ y = 1 ,即 E (1,1, 0)

(3)∵ A(0, 0, 2) ,则 AE = (1,1, ? 2), B1 E = (1, ?1,0) ,设平面 AEB1 的法向量

? n ? AE = 0 ? x1 + y1 ? 2 z1 = 0 ? n = ( x1 , y1 , z1 ) , 则 ? , ∴? ? n ? B1 E = 0 ? x1 ? y1 = 0 ?
取 n = (1,1, 2) ,…………10 分 ∵

BE = (1,1, 0)



BE ? B1 E = 1 ? 1 = 0



BE ⊥ B1 E





BE ⊥ A1 B1 ∴ BE ⊥ 平面A1 B1 E ,
∴平面 A1 B1 E 的法向量 BE = 1,1,0) ,∴ cos n, BE = ( ∴二面角 A ? EB1 ? A1 为 45°.

BE ? n BE n

=

2 , 2

…………12 分

9

20.解:(1)设椭圆 E 的方程为

x2 y2 + = 1(a > b > 0) ,半焦距为 c . a2 b2

?b = 1 ? 3 ?c 由已知条件,得 F (0,1) ,∴ ? = 2 ?a 2 ?a = b 2 + c 2 ?
解得

a = 2, b = 1 .
x2 + y2 = 1. 4
………… 4 分

所以椭圆 E 的方程为:

(2)显然直线 l 的斜率存在,否则直线 l 与抛物线 C 只有一个交点,不合题意, 故可设直线 l 的方程为

y = kx + 1 , A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 )( x1 ≠ x2 ) ,

由?

? y = kx + 1 ?x = 4 y
2

消去 y 并整理得 x 2 ? 4 kx ? 4 = 0 ,



x1 x2 = ?4 .
1 2 1 x ,求导得 y ′ = x , 4 2

………… 5 分

∵抛物线 C 的方程为 y =

∴过抛物线 C 上 A 、 B 两点的切线方程分别是

1 1 x1 ( x ? x1 ) , y ? y 2 = x 2 ( x ? x 2 ) , 2 2 1 1 2 1 1 2 即 y = x1 x ? x1 , y = x2 x ? x2 , 2 4 2 4 y ? y1 =
解得两条切线 l1 、l 2 的交点 M 的坐标为 ( ∴

x1 + x 2 x1 x 2 x + x2 , ), M( 1 ,?1) , 即 …… 7 分 2 4 2

FM ? AB = (

x1 + x2 1 2 1 2 1 , ?2) ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) = ( x 2 ? x12 ) ? 2( x 2 ? x12 ) = 0 2 2 4 4

∴ AB ⊥ MF . …………8 分 (3)假设存在点 M ′ 满足题意,由(2)知点 M ′ 必在直线 y = ?1 上,又直线 y = ?1 与椭 圆 E 有唯一交点,故 M ′ 的坐标为 M ′(0,?1) , 设过点 M ′ 且与抛物线 C 相切的切线方程为:

y ? y0 =

1 x 0 ( x ? x 0 ) ,其中点 ( x0 , y 0 ) 为切点. 2
10

令 x = 0, y = ?1 得, ? 1 ? 解得 x 0 = 2 或 x 0 = ?2

1 2 1 x 0 = x 0 (0 ? x 0 ) , 4 2
…………10 分



故不妨取 A′(?2,1), B ′(2,1) ,即直线 A′B ′ 过点 F . 综上所述, 椭圆 E 上存在一点 M ′(0,?1) , 经过点 M ′ 作抛物线 C 的两条切线 M ′ ′ 、M ′ ′ A B ( A′ 、 B ′ 为切点),能使直线 A′B ′ 过点 F . 此时,两切线的方程分别为 y = ? x ? 1 和 y = x ? 1 . 抛物线 C 与切线 M ′ ′ 、 M ′ ′ 所围成图形的面积为 A B
2 ?1 1 1 ? S = 2 ∫ ? x 2 ? ( x ? 1) ? dx = 2( x 3 ? x 2 + x ) 0 4 12 2 ? ? 2 0

…………11 分

=

4 . 3

…………13 分

( x + 1)(1 + ln x) ( x + 1)(1 + ln x ) (2)不等式 f ( x ) ≥ k , 即为 ≥ k , 记 g ( x) = , x x x +1
所以 g ′( x) =

[( x + 1)(1 + ln x)]′ x ? ( x + 1)(1 + ln x) = x ? ln x
x2

x2

…………

6分

令 h( x ) = x ? ln x ,则 h′( x) = 1 ? 1 , ∵ x ≥ 1 ,∴ h′( x ) ≥ 0, ∴ h( x ) 在 [1, +∞) 上单调递增, x

∴[ h( x)]min = h(1) = 1 > 0 ,从而 g ′( x ) > 0 , 故 g ( x) 在 [1, +∞) 上也单调递增,… 8 分
所以 [ g ( x) ]min = g (1) = 2 ,所以 k ≤ 2 . (3)由(2)知: f ( x) ≥
………… 9 分

2 x ?1 2 2 , 恒成立,即 ln x ≥ = 1? > 1? , x +1 x +1 x +1 x

11

令 x = n( n + 1) ,则 ln [ n(n + 1)] > 1 ? 所以 ln(1× 2) > 1 ?

2 , n(n + 1)

………… 11 分

2 , 1× 2 2 , ln[n(n + 1)] > 1 ? n(n + 1)

ln(2 × 3) > 1 ?

2 2 , , ln(3 × 4) > 1 ? 2×3 3× 4

叠加得: ln ?1× 22 × 33 ×???× n 2 (n + 1) ? > n ? 2 ? ? ?

? 1 1 1 ? + + ??? + n(n + 1) ? ?1× 2 2 × 3 ?
………… 13 分

=n-2(1-

1 2 )>n-2+ >n-2 . n +1 n +1

2 2 2 n? 2 则 1× 2 × 3 ×???× n ( n + 1) > e ,所以[(n+1)!]2>(n+1).en-2(n∈N*)… 14 分

12


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