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河南省2016-2017学年高二数学下学期期末试卷


河南省南阳市部分示范高中(八校)20162017学年高二数学下学期期末联考试题 理(扫描版 )

1

2

3

4

高二联考数学参考答案(理科) 一 选择题(本大题共12小题,每小题5分,总计60分). 题 1 号 答 D 案 二 填空题(本大题共4小题,每小题5分,总计20分). B B B A A C C C A D C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 ②④

1-2P

14

5

15

1/140

16

3、解答题(共70分) 17(本题满分10分) (1)解:由展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列,得 2C=C+C 解之得n = 7 . 由二项式系数的性质知, (6 x ? 6
3 ,即 C7 ? C74 ? 35.

1 7 ) 的展开式中第4项和第5项二项式系数最大 x

3 6 ( x )4 ? ( 6 所以, T4 ? C7

1 3 ) ? 35 x 6 和 x
7?2r

1

T5 ? C74 (6 x ) 3 ? ( 6

1 4 ) ? 35 x 6 x

-1

5分

(2)由 Tr ?1 ? C7r (6 x ) 7 ? r ? ( 6
7 - 2r 7

1 r ) ? C7r x 6(0 ? r ? 7) x

令 6 =0得r=2,(舍去) 所以无常数项 10分

18.(本题满分12分) 5

证明:由于 a ? 1 , b ? 1 , 故要证明 log a c ? log b c ≥ ? lg c , 只需证明
lg c lg c ? ≥ 4 lg c ,又 c ? 1 , lg c ? 0 , lg a lg b 1 1 lg a ? lg b ? ≥ ? ,即 ≥4. lg a lg b lg a lg b

所以只需证明

因为 ab ? 10 ,所以 lg a ? lg b ? 1 , 故只需证明
1 ≥4. lg a lg b



由于 a ? 1 , b ? 1 ,所以 lg a ? 0 , lg b ? 0 ,

? lg a ? lg b ? 1 所以 0 ? lg a lg b ≤ ? ? ? . 2 4 ? ?
即①式成立,所以原不等式成立. 19(本题满分12分) 解:(1) 列联表补充如下: 6分 不喜爱打篮球 5 15 20 合计 25 25 50 12分

2

喜爱打篮球 男生 女生 合计 (2)∵ K 2 ? 20 10 30

50 ? (20 ? 15 ? 10 ? 5) 2 ? 8.333 ? 7.879 30 ? 20 ? 25 ? 25

∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为喜爱打篮球与性别有关. 12分 20. (本题满分12分) 解:函数 f ( x) 的导函数为 f ' ( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ? 3a ? 2b (I)由图可知 得 ? 函数 f ( x) 的图象过点(0,3),且 f ' (1) ? 0
?d ? 3 ?? ?c ? 0

?d ? 3 ?3a ? 2b ? c ? 3a ? 2b ? 0

3分

6

(II)依题意

f ' (2) ? ?3 且 f (2) ? 5

?12a ? 4b ? 3a ? 2b ? ?3 ? ?8a ? 4b ? 6a ? 4b ? 3 ? 5

解得 a ? 1, b ? ?6 所以 f ( x) ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 3 (III) f ?( x) ? 3 x 2 ? 12 x ? 9 .可转化为:

7分

x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 3 ? x 2 ? 4 x ? 3 ? 5 x ? m 有三个不等实根,即: g ?x ? ? x 3 ? 7 x 2 ? 8 x ? m 与 x 轴有三个交点; g ??x ? ? 3 x 2 ? 14 x ? 8 ? ?3 x ? 2 ??x ? 4 ?,

?

?

x
g ??x ? g ?x ?

2? ? ? ? ?, ? 3? ?

2 3

?2 ? ? ,4? ?3 ?

4

?4, ? ? ?
+ 增

+ 增

0 极大值



0 极小值

? 2 ? 68 g? ? ? ? m, g ?4 ? ? ?16 ? m . ? 3 ? 27

当且仅当 g ? ? ?

?2? ?3?

68 ? m ? 0且g ?4 ? ? ?16 ? m ? 0 时,有三个交点, 27
68 为所求 27

故而, ? 16 ? m ?

12分

21.(本题满分12分) 解: (Ⅰ)抽取一次抽到红球的概率为
2 5
2 2 3

? 2 ? ? 3 ? 36 所以抽取3次恰好抽到2次为红球的概率为 P ? C ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125

5分

(Ⅱ) ? ? 2,3, 4,5
P (? ? 2) ?
2 1 1 2 A2 1 C2 C3 A2 1 ? P ( ? ? 3 ) ? ? 2 3 5 A5 10 , A5 , 1 2 3 4 C2 C3 A3 3 C 1C 3 A4 2 ? P(? ? 5) ? 2 3 ? 5 4 5 10 , A5 A5 .

P (? ? 4) ?

7

? 的分

?

2
1 10

3
1 5

4
3 10

5
2 5

布列为

P 所以 E ?? ? ? 4 .

12分

22(本题满分12分) 解:(Ⅰ) f ? ?x ? ? ? 2bx , f ? ?2 ? ? ? 4b , f ?2 ? ? a ln 2 ? 4b .
a x a 2

∴ ? 4b ? ?3 ,且 a ln 2 ? 4b ? ?6 ? 2 ln 2 ? 2 .解得a=2,b=1 (Ⅱ) f ?x ? ? 2 ln x ? x 2 ,设 h ?x ? ? f ( x) ? m ? 2 ln x ? x 2 ? m , 则 h? ? x ? ? ? 2 x ?
1 e
2 x 2(1 ? x 2 ) ,令 h? ?x ? ? 0 ,得x=1(x=-1舍去). x

a 2

3分

当x∈ [ , 1) 时, h? ?x ? ? 0 , h(x)是减函数.

h(x)是增函数;当x∈ (1, e] 时, h? ?x ? ? 0 ,

则方程 h ?x ? ? 0 在 [ , e] 内有两个不等实根的充要条件是

1 e

? 1 ? h( e ) ≤ 0, ? ? 1 ? h(1) ? 0, 解得 1 ? m ≤ 2 ? 2 e ? h(e) ≤ 0. ? ? ?

7分

(Ⅲ) g ?x ? ? 2 ln x ? x 2 ? kx , g ? ?x ? ?
2 ? 2 ln x1 ? x1 ? kx1 ? 0, ? 2 ?2 ln x2 ? x2 ? kx2 ? 0, ? 则有 ? x1 ? x2 ? 2 x0 , ? ? 2 ? 2 x ? k ? 0. 0 ? ? x0

2 ? 2 x ? k .假设结论 g ? ?x0 ? ? 0 成立, x

① ② ③ ,①-②,得 2 ln ④
x1 ? ( x12 ? x2 2 ) ? k ( x1 ? x2 ) ? 0 . x2

8

x1 x x ln 1 ln 1 x2 x2 x2 2 1 2 ? 2 x0 .由④得 k ? ? 2 x0 ,于是有 ∴k ? , ? ? ,∴ x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x0 x0 2 ln

x 2 1 ?2 x1 x2 即 ln ? .⑤ x1 x2 ?1 x2

令t ?

x1 (t ? 1)2 2t ? 2 , u (t ) ? ln t ? (0<t<1),则 u ?(t ) ? >0. x2 t ?1 t (t ? 1)2

∴ u (t ) 在0<t<1上是增函数,有 u (t ) ? u (1) ? 0 ,∴⑤式不成立,与假设矛盾. ∴ g ? ?x0 ? ? 0 12

9


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