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2014年高一数学必修4第二章《从力做的功到向量数量积》


从力做的功到向量的数量积

导 入

问 题:
如图:一个物体在力F =20N的作用下,向 右水平移动了3m,求F所做的功?
F
30?

s

W=|F|· |S|cos?

推 夹 角 进 1)、定义 新 ? ? ? ? ??? ? ? 知 已知两个非零向量 和 ,作 ??? , OA ? a a b OB ? b ( ? ? 夹 则∠AOB=θ (0?≤θ≤180?)叫做向量 与 a b 角 的夹角. B )
? b

θ
O

? ? 规定: 0?a

? a

A

推 进 新 知 ( 夹 角 )

2)、讨论、临界问题
? a ? a ? a ? b ? b

? ? 当θ= 0? 时, a与 b同向; ? ? 当θ= 180? 时, a 与 b反向;
? ? 当θ= 90 时, 与 b垂直, ?? ? a 记作: a?b

? b

推 进 新 知 ( 夹 角 )

练 习

在 ?ABC 中已知A=40°,B=25°, C=115°求下列向量的夹角: uu? uu? ??? ? ???? (1)AB与 AC 的夹角。(2) AB 与 BC的夹角。 ???? ??? ? (3)AC与BC 的夹角。

探 究 新 知 ( 数 量 积 )

数量积
1)、定义 ? ? 已知非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ?, ? ? ? ? a与 b 的数 我们把数量 | a || b | cos ? ? 叫作 ? 量积(或内积),记作 ,即规定 a ?b ? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos ?

探 究 新 知 ( 数 量 积 )

2)、注意
? ? ① 、 a ? b 的结果是数量,正负如何确定?
? ? ? ?? ? 当?为锐角时, a ? b ? a b cos ? >0 a?与b之间只 ②? 、 ? ? 能用 · ,不能改成 当?为钝角时, a? b ? a b cos ? <0 其它任何一种符号。 ? ? ? ?
当?=90°时,a ? b

? a b cos ?

=0

? ? ? ? 当?=0°时, a ? b ? a b >0 ? ? ? ? 当?=180°时,a ? b ? ? a b <0

新 知 理 解 ( 射 影 )

射 影
如图: 投影(射影)。
? b
? b cos ?

? ? 叫作向量 b 在 a 方向上的
B

θ
O

? a

C A

投影是个实数,可正、可负、可以为零。

新 探讨: 知 理 由上述定义,猜想射影在什么时候为正? 解 为负?为零? ( 射 影 )
B B B O A O A O A

O

A

B

B

O

A

平行长不变,倾斜长缩短,垂直成一点。 结合余弦值的正负也能得出结论

新 知 巩 固 ( 练 习 )

? ? ? ? ? ? 1.已知 a ? 2, b ? 3, a与b 的夹角为900 , 求a· b 的值. ? ? ?? ? ? 2.已知 a ? 3, b ? 4且a· b ? 6, 求a与b 的夹角.

练 习(公式应用)

? ? ? ? ? 3.已知 a ? 2, b ? 3, a与b 的夹角为 , 则比较 4 ?? ? ? a· b 与a · b 的大小.

? ? ? ? ? ? 4.若向量a、b 满足 a ? b ? 2, a与b 的 ? ? ? ? 0 夹角为60 ,求a· a ? a· b 的值. ? ? ? ? 0 5.若 a ? 4, b ? 6, a与b 的夹角为 45 , ?? ( 1 )求a· b. ? ? (2)求a在b 方向上的投影. ? ? (3)求b 在a方向上的投影.

练 习(公式应用)

自 主 探 究 ( 性 质 )

性质
? ? ? ? ? ? (1)e是单位向量, a ? e ? e ? a ? a cos ?

? ? ? ? (2)? ? 90? ? a ? b ? a ? b ? 0
? ? ? ? ? ? (3) a // b ? a ? b ? ? a b
? a ?b ? 4 ? cos ? ? ? ? a b ? ? ? ? ? ? (5) a ? b ? a b (当且仅当a // b时等号成立)

? ? ?2 ? ?2 特别地:a ? a ? a 或a ? a ?

小结
1.向量的夹角及其范围 0? ≤θ≤180?

2.向量的数量积的定义
? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos ?

3.数量积的几何意义 (投影)

作业:
1.课堂作业 P95习题A4、5、6 2.课外作业 成材之路


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