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江苏省2012届高三数学二轮专题训练:解答题(41)


江苏省 2012 届高三数学二轮专题训练:解答题(41)

本大题共 6 小题, 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。
1.(本题满分 14 分) 已知 ? ABC 的面积 S 满足 4 ? S ? 4 3 ,且 AB ? AC =—8. (Ⅰ)求角 A 的取值范围; x x x 2 x ? 2 sin 2 ? 3 3 sin ? cos ,求 f ( A) 的最大值. (Ⅱ)若函数 f ( x) ? cos 4 4 4 4

2.(本题满分 14 分) 如图,把长、宽分别为 4、3 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角. (Ⅰ)求顶点 B 和 D 之间的距离; (Ⅱ)现发现 BC 边上距点 C 的 1 处有一缺口 E,请过点 E 作一截面,将原三棱锥分割成一
3

个三棱锥和一个棱台两部分,为使截去部分体积最小,如何作法?请证明你的结论. B E . C B

A

D

A

.

E C

D

3.(本题满分 15 分) 如图,已知:椭圆 M 的中心为 O,长轴的两个端点为 A、B,右焦点为 F,AF=5BF.若 椭圆 M 经过点 C,C 在 AB 上的射影为 F,且△ABC 的面积为 5. (Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)已知圆 O: x2 +y 2 =1,直线 l : mx ? ny =1,试证明:当点 P(m,n)在椭圆 M 上运动时, 直线 l 与圆 O 恒相交;并求直线 l 被圆 O 截得的弦长的取值范围. y
C

AF
1

O

F

B

x

4.(本题满分 15 分) 各项均为正数的等比数列 {an } ,a1=1, a2 a4 =16,单调增数列 {bn } 的前 n 项和为 S n , . a4 ? b3 ,且 6Sn ? bn2 ? 3bn ? 2 ( n ? N * ) (Ⅰ )求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ )令 cn ?

bn * (n? N ) ,求使得 cn ? 1的所有 n 的值,并说明理由. an

(Ⅲ) 证明 {an } 中任意三项不可能构成等差数列.

5.(本题满分 16 分) 由一个小区历年市场行情调查得知, 某一种蔬菜在一年 12 个月内每月销售量 P(t )(单 位:吨)与上市时间 t (单位:月)的关系大致如图(1)所示的折线 ABCDE 表示,销售 价格 Q(t ) (单位:元/千克)与上市时间 t (单位:月)的大致关系如图(2)所示的抛物 线段 GHR 表示( H 为顶点) . (Ⅰ)请分别写出 P(t ) , Q(t ) 关于 t 的函数关系式,并求出在这一年内 3 到 6 月份的销售 额最大的月份? 边界) ,求 z ? x ? 5 y 的最大值; (Ⅱ )图(1)中由四条线段所在直线 围成的平面区域为 M ,动点 P( x, y) 在 M 内(包括 .... (Ⅲ) 由 (Ⅱ ) , 将动点 P( x, y) 所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算 (如

1 ? 2 x ? 3 y ? 3 类比为1 ?

x2 ,试列出 P( x, y) 所满足的条件,并求出相应的最大值. ? 3) y3

(图 1) 6.(本题满分 16 分) 如果实数 x,y,t 满足|x—t|≤|y—t|,则称 x 比 y 接近 t.

(图 2)

(Ⅰ )设 a 为实数,若 a|a| 比 a 更接近 1,求 a 的取值范围;
n 2 ? n ? n2 x ?1 (Ⅱ )f(x)=ln ,证明: ? f (k ) 比 x ?1 2n(n ? 1) k ?2

更接近 0(k∈ Z) .

1. (Ⅰ)∵ AB ? AC =—8,∴ AB ? AC ?| AB | ? | AC | ? cos A =—8, ∴ | AB | ? | AC | = ∵S ?

?8 ① cos A


1 2

| BA | ? | AC | ? sin A

将①代入②得 S ? ?4 tan A ,由 4 ? S ? 4 3 ,得 ? 3 ? tan A ? ?1 , 又 A ? (0, ? ) ,∴ A ? ? (Ⅱ) f ( A) ? cos
2

? 2? 3? ? . , ? 3 4 ? ?

A A A A ? 2sin 2 ? 3 3 sin ? cos 4 4 4 4

=

1 A A 3 3 A (1 ? cos ) ? (1 ? cos ) ? sin 2 2 2 2 2
=

3 A 1 A 1 3 3 A 3 A 1 sin ? cos ? = 3( sin ? cos ) ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A ? A ? 1 A ? 1 cos ? cos sin ) ? = 3sin( ? ) ? , 2 6 2 6 2 2 6 2 A ? ? 2? A ? 当 ? ? ,即 A ? 时, sin( ? ) 取得最大值, 2 6 2 3 2 6

= 3(sin

同时, f ( A) 取得最大值

5 . 2

在 ?ABC中作BO ⊥ AC, 垂足为O? ? 面ABC ? 面ACD ? ? 2. (Ⅰ) ? ? BO ? 面ACD ? ? BO ? OD BO ? 面ABC ? OD ? 面ACD ? ? 面ABC ? 面ACD ? AC ?
由已知 BO=

12 193 337 ,OD= 在 Rt△BOD 中, BD= . 5 5 5

B

(Ⅱ)方案(一)过 E 作 EF//AC 交 AB 于 F,EG//CD,交 BD 于 G,

? ? EF ? 面ACD ? ? EF // 面ACD AC ? 面ACD? ? EF // AC 同理EG//面ACD EF ? EG ? E

? ? D ? ? , ? ? 平面 EFG//平面 ACD ? ? ? ?

A

.

E C

原三棱锥被分成三棱锥 B-EFG 和三棱台 EFG-CAD 两部分,此时

VB ? EFG 2 8 . ? ( )3 ? VB ? ACD 3 27

方案(二)过 E 作 EP//BD 交 CD 于 P,EQ//AB,交 AC 于 Q,同(一)可证平面 EPQ//平面 ABD, 原三棱锥被分割成三棱锥 C-EPQ 和三棱台 EPQ-BDA 两部分,此时 为使截去部分体积最小,故选用方案(二). 3. (Ⅰ)由题意设椭圆方程为

VC ? EPQ VC ? BDA

1 1 , ? ( )3 ? 3 27

x2 y 2 ? ? 1 ,半焦距为 c, a 2 b2

由 AF=5BF,且 AF=a+c,BF=a—c,∴a+c=5(a-c) ,得 2a=3c.(1)由题意 CF⊥AB,设 点 C 坐标(c,y) ,C 在 M 上,代入得 y ? b (1 ?
2 2

c2 (a 2 ? c 2 )2 a2 ? c2 ) ? y ? ∴ . 由△ABC a2 a2 a

的面积为 5,得

1 a2 ? c2 ? 2a ? ? 5 , a 2 ? c 2 =5.(2) 2 a
2 2 2

解(1) (2)得 a=3, c=2. ∴ b ? a ? c =9—4=5.∴所求椭圆 M 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1. 9 5
m2 n2 ? ? 1, 9 5

(Ⅱ) 圆 O 到直线 l : mx ? ny =1 距离 d=

1 m2 ? n2

, 由点 P(m,n)在椭圆 M 上, 则

显然 m ? n ?
2 2

m2 n2 1 ? ,∴ m2 ? n2 ? 1, m2 ? n2 >1, ∴d = <1, 9 5 m2 ? n2

而圆 O 的半径为 1,直线 l 与圆 O 恒相交. 弦长 t=2 1 ? d 2 =2 1 ?

m2 n2 m2 1 2 ? ? 1 n ? 5(1 ? ), , 由 得 9 5 9 m2 ? n 2
t=2



1 9 ? , 2 2 m ?n 4m ? 45
2

1?

9 , 4m ? 45
2

| m |? a , ∴ 0 ? m2 ? 9 ,

45 ? 4m2 ? 45 ? 81 ,∴

4 9 8 4 5 4 2 ? 1? ? ,弦长 t 的取值范围是[ ]. , 2 5 4m ? 45 9 5 3
2

4. (Ⅰ )∵ q=2, ∴ a2 a4 = a12q4 ? q4 ? 16 , q =4,∵ an ? 0 ,∴ an ? 2 n?1 ∴ b3= a4 =8. ∵ 6Sn ? bn 2 ? 3bn +2 ①

当 n≥2 时, 6Sn?1 ? bn?12 ? 3bn?1 +2 ②
2 ① -② 得 6bn ? bn 2 ? bn ?1 ? 3bn ? 3bn?1 即 (bn ? bn?1 )(bn ? bn?1 ) ? 3(bn ? bn?1 )

∵ bn ? 0 ∴ bn ? bn?1 =3,∴ {bn } 是公差为 3 的等差数列. 当 n=1 时, 6b1 ? b12 ? 3b1 +2,解得 b1 =1 或 b1 =2, 当 b1 =1 时, bn ? 3n ? 2 ,此时 b3 =7,与 b3 ? 8 矛盾;当 b1 ? 3 时 bn ? 3n ? 1 ,此时此时

bn ? 3n ? 1 . b3 =8= a4 ,∴
(Ⅱ ) ∵ ∴ cn ? bn ? 3n ? 1 ,

5 11 7 bn 3n ? 1 = n ?1 , ∴ c1 =2>1,c2 = >1,c3 =2>1, c4 ? >1,c5 ? <1, 2 2 8 8 an

下面证明当 n≥5 时, cn ? 1 事实上,当 n≥5 时, cn ?1 ? cn ?

3n ? 2 3n ? 1 4 ? 3n ? n ?1 = n <0 2n 2 2

c5 ? 即 cn?1 ? cn ,∵

7 <1 ∴ 当 n≥5 时, Cn ? 1 , 8

故满足条件 Cn ? 1 的所有 n 的值为 1,2,3,4. (Ⅲ)假设 {an } 中存在三项 p,q,r (p<q<r,p,q,R∈N*)使 ap, aq, ar 构成等差数列, ∴ 2aq=ap+ar,即 2 2q 1=2p 1+2r 1.∴2q 因左边为偶数,右边为奇数,矛盾.






—p+1

=1+2r p.



∴假设不成立,故不存在任意三项能构成等差数列.

? ?t ? 5 0 ? t ? 3, ? t ? 1 3 ? t ? 6, ? 5.解(Ⅰ) P(t ) ? ? ??t ? 11 6 ? t ? 9, ? ? t ? 7 9 ? t ? 12
1 2 t(? 4 ? ) 6 ?( t0? 12) . 16 1 P(t ) ? Q(t ) ? (t ? 1)[? (t ? 4) 2 ? 6] ( 3 ? t ? 6) 16 3 ( P(t ) ? Q(t ))' ? ? [(t ? 3) 2 ? 33] ? 0 在 t ? (3, 6] 恒成立,所以函数在 (3,6] 上递增 16 Q(t )? ?
当 t=6 时, [ P(t ) Q(t )]max =34.5. ∴6 月份销售额最大为 34500 元 . (Ⅱ)

?5 ? x ? y ? 11 ,z=x—5y. ? ?1? x ? y ? 7 ? A? B ?1 ? A ? ?2 , ?? ? A ? B ? ?5 ? B ? 3

令 x—5y=A(x+y)+B(x—y),则 ?

∴z=x—5y=—2(x+y)+3(x—y).由 ? 22 ? ?2( x ? y) ? ?10 , 3 ? 3( x ? y) ? 21, ∴ ?19 ? z ? 11,则(z)max=11 .

?5 ? xy ? 11 x x x ? x (Ⅲ)类比到乘法有已知 ? ,求 z ? 5 的最大值.由 5 =( xy )A·( )B 1? ? 7 y y y ? y ?

? A? B ?1 ? A ? ?2 1 1 ? ( xy ) ? 2 ? .∴ , 1 ? ( xy) 3 ? 343 ?? ? 121 25 ? A ? B ? ?5 ? B ? 3


1 343 343 ?z? ,则(z)max= . 121 25 25

6. (Ⅰ)|a|a|—1|≤|a—1| (1)当 0<a<1 时, |a2—1|≤|a—1| 1-a2≤1—a,得 a≥1 或 a≤0(舍去) (2)当 a≥1 时,a2—1≤a—1, 得 a= 1; (3)当 a≤0 时, a2+1≤1—a ,—1≤a≤0 . 综上, a 的取值范围是{a|—1 ? a ? 0 或 a=1} (Ⅱ) ∵
n

? f (k ) ? ln 3 ? ln 4 + ln 5 +…+ ln n ? 1 = ln n(n ? 1) ,
k ?2

n

1

2

3

n ?1

2

2 ? n ? n2 2 n2 ? n ? 2 ∴ | ? f (k ) ? 0 | ? | . ? 0 | = ? ln ? n(n ? 1) 2n(n ? 1) 2n(n ? 1) k ?2

令 n(n+1)=t,? n ? 2 ∴t∈ [6,??) ,且 t∈Z,则 F(t)= ? ln

2 t?2 t ?2 = ? ln 2 ? ln t ? . ? t 2t 2t

F ' ( x) ?

1 ? x

2x ?

2 1 ? ( x ? 2) 4 x ? 2x ? 2 2 ? 2 ( x ? 2 ) 2 2 x = ? ?0 2x 4x x 4x x

∴F(x)在 [2,??) 单调递减 ∴F(t)≤f(6)<F(2)=—ln1—0=0 . ∴ ? ln
n

2 t ?2 2 n2 ? n ? 2 ? ? 0 ,即 ? ln ≤0. ? t n(n ? 1) 2t 2n(n ? 1)



? f (k ) 比
k ?2

2 ? n ? n2 2n(n ? 1)

更接近 0.

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