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高考数学一轮复习配套练习课时知能训练4-4


课时知能训练
一、选择题 1.共点力 f1=(lg 2,lg 2),f2=(lg 5,lg 2)作用在物体上,产生位移 s=(2lg 5,1),则共点力对物体所做的功 W 为( A.lg 2 B.lg 5 ) C.1 D.2 )

2. 若 a, b 是非零向量, 且 a⊥b, |a|≠|b|, 则函数 f(x)=(xa+b)· (xb-a)是( A

.一次函数且是奇函数 C.二次函数且是偶函数 B.一次函数但不是奇函数 D.二次函数但不是偶函数

→ +AC → )· → =0,则△ABC 3.若△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列且(AB BC 一定是( ) B.等腰非等边三角形 D.直角非等腰三角形

A.等边三角形

C.等腰直角三角形

图 4-4-3 π 4.(2012· 梅州调研)若函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<2)在一个周期 →· → 内的图象如图 4-4-3 所示, M, N 分别是这段图象的最高点和最低点, 且OM ON =0(O 为坐标原点),则 A 等于( π 7 A.6 B. 12 π 7 7 C. 6 π D. 3 π → +OB → |=|OA → -OB → 5. 已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A、 B 两点, 且|OA |,其中 O 为原点,则实数 a 的值为( A.2 B.-2 C.2 或-2 D. 6或- 6 ) )

二、填空题 15 → =a,AC → =b,a· 6.已知在△ABC 中,AB b<0,S△ABC= 4 ,|a|=3,|b|=5, 则∠BAC 等于________. 7.已知 i,j 分别是与 x,y 轴方向相同的单位向量,一动点 P 与 M(1,1)连结 而成的向量与另一向量 n=4i-6j 垂直,动点 P 的轨迹方程是________. 2π 1 8.在△ABC 中,∠A= 3 ,BC= 3,向量 m=(-3,cos B), n=(1,tan B),且 m⊥n,则边 AC 的长为________. 三、解答题 9.求分别与向量 a=( 3,-1)和 b=(1, 3)夹角相等,且模为 2的向量 c 的坐标. 10.设过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A,B 两 点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称,O 为坐标原点. → =2PA → ,且OQ →· → =1,求 P 点的轨迹方程. 若BP AB 11.已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且 a,b 满足关系式|ka +b|= 3|a-kb|(k>0). (1)求 a 与 b 的数量积用 k 表示的解析式 f(k); (2)a 能否和 b 垂直?a 能否和 b 平行?若不能,说明理由;若能,则求出相 应的 k 的值; (3)求 a 与 b 的夹角的最大值.

答案及解析
1. 【解析】 合力所做的功 W=f· s=(f1+f2)· s =(lg 2+lg 5,lg 2+lg 2)· (2lg 5,1)=2. 【答案】 2. 【解析】 D ∵a⊥b,∴a· b=0,|a|≠|b|,

∴f(x)=(xa+b)· (xb-a)

=x2a· b+x· b2-x· a2-a· b =x(b2-a2)=x(|b|2-|a|2), ∴f(x)是奇函数,为一次函数. 【答案】 3. 【解析】 A → +AC → =2AD →, 取边 BC 的中点 D,则AB

→· → =0,∴AD⊥BC,∴AB=AC. ∴2AD BC 由 A、B、C 成等差数列,得 B=60° , 所以△ABC 是等边三角形. 【答案】 4. 【解析】 A T π π π ∵4=3-12=4,∴T=π,

π 7π ∴M(12,A),N(12,-A). 7 →· → = π ×7π+A· 又OM ON ( - A ) = 0 ,∴ A = 12 12 12 π. 【答案】 5. 【解析】 B → → → → → → 由|OA+OB|=|OA-OB|,知OA⊥OB,

∴点 O 到 AB 的距离 d= 2, 即 |-a| = 2,解得 a=± 2. 2 C 1 15 1 S△ABC=2|a||b|sin∠BAC= 4 ,∴sin∠BAC=2,又 a· b<0,

【答案】 6. 【解析】

∴∠BAC 为钝角,∴∠BAC=150° . 【答案】 7. 【解析】 150° → =(1-x,1-y). 设 P(x,y),则PM

∵i,j 分别是 x,y 轴上的单位向量, ∴n=(4,-6). → ⊥n,∴PM →· ∵PM n=0, 即 4(1-x)-6(1-y)=0,整理得 2x-3y+1=0.

∴动点 P 的轨迹方程为 2x-3y+1=0(x≠1). 【答案】 8. 【解析】 由正弦定理知 2x-3y+1=0(x≠1) 1 ∵m⊥n,∴sin B=3, 3 AC = 2 sin B, sin 3π

∴AC=

3sin B 2 2 =3. sin 3π 2 3 法一 设 c=(x,y),则 a· c= 3x-y,b· c=x+ 3y.

【答案】 9. 【解】

a· c b· c 由〈a,c〉=〈b,c〉 ,得|a||c|=|b||c|, ∴ 3x-y=x+ 3y,即 x=(2+ 3)y.① 又|c|= 2,∴x2+y2=2.②

? ?x= 由①②得? ? ?y=
∴c=( 法二

3+1 2 , 3-1 2 ,

? ?x=- 或? ? ?y=-

3+1 2 , 3-1 2 .

3+1 3-1 3+1 3-1 2 , 2 )或(- 2 ,- 2 ).

∵|a|=|b|=2,a· b=0, ∴△AOB 为等腰直角三角形,如图. → |= 2,∠AOC =∠BOC , ∵|OC 1 1 1 ∴C1 为 AB 的中点,∴C1( 3+1 3-1 2 , 2 ).

同理可得 C2(- 3-1 2 ). 10. 【解】

3+1 3-1 3+1 3-1 3+1 2 ,- 2 ).∴c=( 2 , 2 )或(- 2 ,-

设 A(x0,0)(x0>0),B(0,y0)(y0>0),

∵P(x,y)与 Q 关于 y 轴对称,∴Q(-x,y), → =2PA → ,即(x,y-y )=2(x -x,-y), 由BP 0 0 3 ? ?x0= x 2 (x,y>0). 可得? ? ?y0=3y → =(-x,y),AB → =(-x ,y )=(-3x,3y). 又OQ 0 0 2 →· → =1, ∵OQ AB 3 ∴2x2+3y2=1(x>0,y>0). 3 ∴点 P 的轨迹方程为2x2+3y2=1(x>0,y>0). 11. 【解】 (1)由已知得|a|=|b|=1.

∵|ka+b|= 3|a-kb|,∴(ka+b)2=3(a-kb)2, k2+1 即 8ka· b=2k2+2,∴f(k)=a· b= 4k (k>0). (2)∵a· b=f(k)>0,∴a 不可能与 b 垂直. 若 a∥b,由于 a· b>0,知 a 与 b 同向,有 a· b=|a||b|cos 0° =|a||b|=1. k2+1 ∴ 4k =1,解之得 k=2± 3. ∴当 k=2± 3时,a∥b. k2+1 a· b (3)设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ=|a||b|=a· b= 4k (k>0), 1 1 1 ∴cos θ=4(k+ k)≥2,当且仅当 k=1 时,取等号. 又∵0≤θ≤π,且余弦函数 y=cos x 在[0,π]上为减函数,∴a 与 b 的夹角的 π 最大值为3.


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