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资阳市2014-2015学年度高中二年级第二学期期末质量检测理科数学试题及答案


资阳市 2014—2015 学年度高中二年级第二学期期末质量检测

理 科 数 学
本试题卷分为第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)两部分. 第一部分 1 至 2 页,第 二部分 3 至 8 页. 全卷共 150 分,考试时间为 120 分钟.

第一部分 (选择题 共 50 分)
注意事项: 1.答第一部分前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 3.考试结束时,将本试卷和答题卡一并收回. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的.
1) 处的切线的斜率为 1. 曲线 y ? sin x ? e x (其中 e=2.71828…是自然对数的底数)在点 (0,

(A) 2 2. 曲线

(B) 3

(C)

1 3

(D)

1 2

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 与曲线 ? ? 1(k ? 9) 的 25 9 25 ? k 9 ? k
(B) 短轴长相等 (C) 焦距相等 (D) 离心率相等
z1 ? z2

(A) 长轴长相等

3. 设 i 是虚数单位,复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于实轴对称, z1 ? 1 ? i ,则 (A) 2 (B) 1+i (C) i (D) -i

4.设随机变量 X 的概率分布列为

X
P
则 P(| X ? 3 |? 1) ?

1

2

3

4

1 3

m

1 4

1 6

资阳高二数学(理科)试卷 第 1 页(共 8 页)

(A)

7 12

(B)

5 12

(C)

1 4

(D)

1 6

5.在 (1 ? x)6 (2 ? y)4 的展开式中,含 x4 y3 项的系数为 (A) 210 (B) 120 (C) 80 (D) 60

6. 根据资阳市环保部门的空气质量监测资料表明,资阳市一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天为优良的概率是 0.6. 若资阳市某天的空气质量为优良,则随后一天的空 气质量为优良的概率是 (A) 0.45 7.已知函数 f ( x) ? (B) 0.6 (C) 0.75 (D) 0.8

1 2 x ? cos x ,则 f ( x) 的导函数 f ?( x) 的图象大致是 4

8.用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆 涂色,若每种颜色只能涂两个圆,且相邻两个圆所 涂颜色不能相同,则不同的涂色方案的种数是 (A) 12 (C) 30 9.过双曲线 C1: (B) 24 (D) 36

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左焦点 F1 作圆 C2: x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,设切 a 2 b2

点为 M,延长 F1M 交抛物线 C3: y 2 ? 2 px ( p ? 0) 于点 N ,其中 C1,C3 有一个共同的焦 点,若 | MF1 | ? | MN | ,则双曲线 C1 的离心率为 (A)
5 ?1

(B)

5 ?1 2

(C)

5

(D)

5 ?1

10. 若函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c (a,b,c ? R ) 有极值点 x1,x2 ,且 f ( x1 ) ? x1 ,则关于 x 的 方程 3[ f ( x)]2 ? 2af ( x) ? b ? 0 的不同实根的个数是 (A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2

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理 科 数 学
第二部分 (非选择题 共 100 分)
题号 得分 注意事项: 1.第二部分共 6 页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 二 三 16 17 18 19 20 21 总分 总分人

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案直接填在题中 横线上. 11.抛物线 y 2 ? ?4 x 的准线方程为 .

12.某市有一个玉米种植基地.该基地的技术员通过种植实验发现,一种品质优良的玉米 种子每粒发芽的概率都为 0.95,现在该种植基地播种了 10000 粒这种玉米种子,对于没 有发芽的种子, 每粒需再播种 1 粒, 补种的种子数记为 X , 则 X 的数学期望 EX ? .

1 13.函数 f ( x) ? x 2 ? ln x 的单调减区间为 2

.

14 . 定义 在 R 上 的 函数 f ( x) 满 足 f (1) ? 1, 且对 任意 x ? R 都 有 f ?( x) ?

1 , 则不 等 式 2

f ( x2 ) ?

x2 ? 1 的解集为_________. 2

15.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,过点 P (2,0) 的直线与该抛物线相交于 A, B 两点,直线
AF, BF 分别交抛物线于点 C, D . 若直线 AB,CD 的斜率分别为 k1,k2 , 则

k1 ? _____. k2

资阳高二数学(理科)试卷 第 3 页(共 8 页)

三、解答题:(本题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

16.(本题满分 12 分) 求与椭圆

x2 y 2 5 ? ? 1 有公共焦点,且离心率 e ? 的双曲线方程. 4 49 24

17.(本题满分 12 分) 为了促进学生的全面发展,某市教育局要求本市所有学校重视社团文化建设,2014 年 该市某中学的某新生想通过考核选拨进入该校的“电影社”和“心理社”, 已知该同学通过考核 选拨进入这两个社团成功与否相互独立.根据报名情况和他本人的才艺能力,两个社团都 1 3 能进入的概率为 , 至少进入一个社团的概率为 , 并且进入“电影社”的概率小于进入“心 24 8 理社”的概率. (Ⅰ ) 求该同学分别通过选拨进入“电影社”的概率 p1 和进入“心理社”的概率 p2 ; (Ⅱ ) 学校根据这两个社团的活动安排情况, 对进入“电影社”的同学增加 1 个校本选修课 学分,对进入“心理社”的同学增加 0.5 个校本选修课学分.求该同学在社团方面获得校本选 修课学分分数的分布列和数学期望.

资阳高二数学(理科)试卷 第 4 页(共 8 页)

18.(本题满分 12 分) 如图所示,A(m, 3m) 和 B(n, ? 3n) 两点分别在射线 OS,OT (点 S , 1 且 OA ? OB ? ? , 动点 P O 为坐标原点, T 分别在第一,四象限)上移动, 2 满足 OP ? OA ? OB . (Ⅰ ) 求 mn 的值; (Ⅱ ) 求动点 P 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.

资阳高二数学(理科)试卷 第 5 页(共 8 页)

19.(本题满分 12 分) 某商场的销售部经过市场调查发现,该商场的某种商品每日的销售量 y (单位:千克) 与销售价格 x (单位:元/千克)满足关系式 y ?

a ? 10( x ? 6)2 ,其中 3 ? x ? 6 , a 为常数, x ?3

已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (Ⅰ ) 求 a 的值; (Ⅱ ) 若该商品的成本为 3 元/千克, 试确定销售价格 x 的值, 使该商场每日销售该商品所 获得的利润最大.

资阳高二数学(理科)试卷 第 6 页(共 8 页)

20.(本题满分 13 分)
,0),B(1 ,0) ,动点 C 满足 | CA | ? | CB |? ? | AB | (常数 ? ? 1 ), C 已知 ?ABC 中,点 A(?1 点的轨迹为 Γ. (Ⅰ ) 试求曲线 Γ 的轨迹方程; ,0) 的直线与曲线 Γ 相交于 P,Q 两点, N 是曲线 Γ 上不 (Ⅱ ) 当 ? ? 3 时,过定点 B(1 同于 P,Q 的动点,试求 ?NPQ 面积的最大值.

资阳高二数学(理科)试卷 第 7 页(共 8 页)

21.(本题满分 14 分)
, 1) 处的切线与 已知偶函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ( a,b,c ? R )在点 (1

直线 x ? 2 y ? 9 ? 0 垂直,函数 g ( x) ? f ( x) ? m ln( x ? 1) (m ? 0) . (Ⅰ ) 求函数 f ( x) 的解析式. 1 (Ⅱ ) 当 m ? 时,求函数 g ( x) 的单调区间和极值点; 2 (Ⅲ ) 证明:对于任意实数 x,不等式 ln(e x ? 1) ? e2 x ? e3 x 恒成立. (其中 e=2.71828…是 自然对数的底数)

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数学参考答案及评分意见(理科)
一、选择题:ACDBB,DACBC. 二、填空题:11. x ? 1 ;12. 500;13. (0,1) (填 (0,1] 也可);14. ( ?1,1) ;15. 三、解答题: 16.椭圆

1 . 2

x2 y 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ? ? 1 的焦点坐标为 (?5,0) , (5,0) , · 49 24 x2 y 2 设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 a b
则 c2 ? a 2 ? b2 ? 25 , e ?

c ? a

a 2 ? b2 b2 5 ? 1? 2 ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 a a 4

解得 a 2 ? 16 , b 2 ? 9 . x2 y2 ? ? 1.· 所以 双曲线的方程是 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 16 9

资阳高二数学(理科)试卷 第 8 页(共 8 页)

1 1 ? ? p1 p2 ? , p1 ? , ? ? ? ? 24 6 17.(Ⅰ ) 据题意,有 ? 又 p1 ? p2 ,解得 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 3 ?1 ? (1 ? p )(1 ? p ) ? , ?p ? 1. 1 2 2 ? ? 8 ? ? 4 (Ⅱ ) 令该同学在社团方面获得校本选修课加分分数为 ? , 则 ? 的取值有: 0,0.5,1,1.5 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 1 1 15 5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 P(? ? 0) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ;· 4 6 24 8 1 1 5 ;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 P(? ? 0.5) ? ? (1 ? ) ? 4 6 24 1 1 3 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 P(? ? 1) ? (1 ? ) ? ? ? ;· 4 6 24 8 1 1 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 P(? ? 1.5) ? ? ? 4 6 24

?

0

0.5

P

5 8

5 24

1 1 8

1.5

1 24

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 5 5 1 1 7 所以, ? 的数学期望为: E? ? 0 ? ? 0.5 ? ? 1? ? 1.5 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? 8 24 8 24 24 1 18.(Ⅰ )由题, OA ? OB ? (m, 3m) ? (n, ? 3n) ? ?2mn ? ? . 2 1 所以 mn ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 4 (Ⅱ )设 P( x, y )( x ? 0) ,由 OP ? OA ? OB ,得: · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ( x, y) ? (m, 3m) ? (n, ? 3n) ? (m ? n, 3m ? 3n) , ·

? y2 ? x ? m ? n, 令? 则 x2 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ? 4mn , · 3 ? ? y ? 3m ? 3n, y2 1 又 mn ? ,所以,动点 P 的轨迹方程为 x2 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? 1( x ? 0) . · 4 3 y2 表示以原点为中心,焦点在 x 轴上,实轴长为 2 ,焦距为 4 的双曲线 x2 ? ? 1 右支. 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 a 19.(Ⅰ ) 因为 x ? 5 时, y ? 11 ,所以 ? 10 ? 11 ,解得 a ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 2 2 (Ⅱ ) 由(Ⅰ )可知,该商品每日的销售量 y ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ? 10( x ? 6)2 , · x ?3 所以商场每日销售该商品所获得的利润为: 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 f ( x) ? ( x ? 3)[ ? 10( x ? 6)2 ] ? 2 ? 10( x ? 3)( x ? 6)2 ,3 ? x ? 6 . · x ?3 所以 f '( x) ? 10[( x ? 6)2 ? 2( x ? 3)( x ? 6)] ? 30( x ? 4)( x ? 6) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分
资阳高二数学(理科)试卷 第 9 页(共 8 页)

当 x 变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x f '( x) f ( x)

(3, 4)

4
0

(4, 6)
? ↘

? ↗

极大值 42

由上表可知 x ? 4 是函数 f ( x) 在区间 (3,6) 内的极大值点,也是最大值点. · · · · · · · · · · · · · · 10 分 所以,当 x ? 4 时,函数 f ( x) 取得最大值,且最大值为 42 . 答:当销售价格为 4 元/千克时,该商场每日销售该商品所得的利润最大. · · · · · · · · · · · · · 12 分 20.(Ⅰ )在 ?ABC 中,因为 | AB |? 2 ,所以 | CA | ? | CB |? 2 ? (定值),且 2? ? 2 ,· · · · · · · · · · · · 2分 所以动点 C 的轨迹 ? 为椭圆(除去与 A、B 共线的两个点). x2 y 2 设其标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,所以 a2 ? ? 2 , b2 ? ? 2 ? 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 a b x2 y2 所以所求曲线的轨迹方程为 2 ? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? 1( x ? ?? ) . · ? ? ?1 x2 y 2 (Ⅱ )当 ? ? 3 时,椭圆方程为 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ? 1( x ? ? 3) . · 3 2 ① 过定点 B 的直线与 x 轴重合时, ?NPQ 面积无最大值. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ② 过定点 B 的直线不与 x 轴重合时, 设 l 方程为: x ? my ? 1 , P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) , 若 m ? 0 ,因为 x ? ? 3 ,故此时 ?NPQ 面积无最大值. 根据椭圆的几何性质,不妨设 m ? 0 . ? x ? my ? 1, ? 联立方程组 ? x 2 y 2 消去 x 整理得: (3 ? 2m2 ) y 2 ? 4my ? 4 ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ? ? 1, ? 2 ?3 ?4m ? y1 ? y2 ? , ? 4 3(m 2 ? 1) ? 3 ? 2m 2 所以 ? 则 | PQ |? 1 ? m 2 | y1 ? y2 |? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 3 ? 2m 2 ? y y ? ?4 , ? 1 2 3 ? 2m 2 ? 因为当直线与 l 平行且与椭圆相切时,切点 N 到直线 l 的距离最大, 设切线 l ' : x ? my ? n (n ? 3) ,
? x ? my ? n, ? 联立 ? x 2 y 2 消去 x 整理得 (3 ? 2m2 ) y 2 ? 4mny ? 2n2 ? 6 ? 0 , ? 1, ? ? 2 ?3

由 ? ? (4mn)2 ? 4(3 ? 2m2 )(2n2 ? 6) ? 0 ,解得 n2 ? 3 ? 2m2 (n ? ? 3) . | n ? 1| 又点 N 到直线 l 的距离 d ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 m2 ? 1

1 1 4 3(m2 ? 1) | n ? 1| 2 3 | n ? 1| m2 ? 1 所以 S?PMN ? ? | PQ | ?d ? ? ,· · · · · · · · · · · · 10 分 ? ? 2 2 3 ? 2m 2 3 ? 2m 2 m2 ? 1 12(n ? 1) 2 (m 2 ? 1) 1 1 所以 S 2 ? .将 n2 ? 3 ? 2m2 代入得: S 2 ? 6(1 ? )2 (1 ? 2 ) , (3 ? 2m 2 ) 2 n n
资阳高二数学(理科)试卷 第 10 页(共 8 页)

1 3 ? (? , 0) ,设函数 f (t ) ? 6(1 ? t )2 (1 ? t 2 ) ,则 f '(t ) ? ?12(t ? 1)2 (2t ? 1) , n 3 3 1 1 , ? ) 时, f '(t ) ? 0 ,当 t ? (? ,0) 时, f '(t ) ? 0 , 因为当 t ? (? 3 2 2 3 1 1 1 81 , ? ) 上是增函数,在 (? ,0) 上是减函数,所以 f max (t ) ? f (? ) ? . 所以 f (t ) 在 ( ? 3 2 2 8 2 9 2 1 故 m2 ? 时, ?NPQ 面积最大值是 . 4 2 2 9 2 y ? 1 时, ?NPQ 的面积最大,最大值为 所以,当 l 的方程为 x ? ? .· · · · · · · · 13 分 2 4 21.(Ⅰ )因为 f ( x) 为偶函数,所以 b ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分

令t ?

?a ? c ? 1, ?a ? 1, ? 因为 f '( x) ? 2ax ? b ? 2ax ,由题意知 ? 解得 ? 1 2a ? (? ) ? ?1, ?c ? 0, ? ? 2 所以 f ( x) ? x 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分
(Ⅱ ) g ( x) ? x2 ? m ln( x ? 1) 由题意知, g ( x) 的定义域为 (?1, ??) ,

m 2 x2 ? 2 x ? m .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ? x ?1 x ?1 ?1 ? 1 ? 2m ?1 ? 1 ? 2m 1 , x2 ? 因为 m ? ,则 g '( x) ? 0 有两个不同解, x1 ? . 2 2 2 ?1 ? 1 ? 2m ?1 ? 1 ? 2m ? ?1, x2 ? ? ?1 , ①若 m ? 0 , x1 ? 2 2 即 x1 ? (?1, ??), x2 ? (?1, ??) . 此时,当 x 变化时, g '( x), g ( x) 随 x 的变化情况如下表: g '( x) ? 2x ?

x g '( x) g ( x)

(?1, x2 )
?

x2
0

( x2 , ??)

?

极小值

?1 ? 1 ? 2m , ?? ) ,单调递减区间为 2 ?1 ? 1 ? 2m ?1 ? 1 ? 2 m (? 1, ) ; g ( x) 有唯一极小值点 x ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2 2 ?1 ? 1 ? 2m 1 ? ?1 ,? x1 , x2 ? (?1, ??) , ②若 0 ? m ? , x1 ? 2 2 此时,当 x 变化时, g '( x), g ( x) 随 x 的变化情况如下表:

可知: m ? 0 时,函数 g ( x) 的单调递增区间为 (

x g '( x) g ( x)

(?1, x1 )

x1
0

( x1 , x2 )
?

x2
0

( x2 , ??)

?

?

极大值

极小值

?1 ? 1 ? 2m ?1 ? 1 ? 2 m 1 ), ( , ??) , 可知: 函数 g ( x) 的单调递增区间为 (?1, 0 ? m ? 时, 2 2 2

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?1 ? 1 ? 2m ?1 ? 1 ? 2m , ); 2 2 ?1 ? 1 ? 2 m ?1 ? 1 ? 2 m 函数 g ( x) 有一个极大值点 x ? 和一个极小值点 x ? . 2 2 ?1 ? 1 ? 2 m , ??) , 综上所述:①若 m ? 0 ,函数 g ( x) 的单调递增区间为 ( 2 ?1 ? 1 ? 2m ?1 ? 1 ? 2 m ) ; g ( x) 有唯一极小值点 x ? 单调递减区间为 (?1, ; 2 2 ?1 ? 1 ? 2m ?1 ? 1 ? 2 m 1 ) ,( , ??) , ②若 0 ? m ? ,函数 g ( x) 的单调递增区间为 (?1, 2 2 2 ?1 ? 1 ? 2m ?1 ? 1 ? 2m , ); 单调递减区间为 ( 2 2 ?1 ? 1 ? 2 m ?1 ? 1 ? 2 m 函数 g ( x) 有一个极大值点 x ? 和一个极小值点 x ? .· · · · · · · 10 分 2 2 (Ⅲ ) 当 m ? ?1 时,函数 g ( x) ? x2 ? ln( x ? 1) ,令函数 h( x) ? x3 ? g ( x) ? x3 ? x2 ? ln( x ? 1)

单调递减区间为 (

1 3x3 ? ( x ? 1)2 , ? x ?1 x ?1 所以当 x ? (0, ??) 时, h '( x) ? 0 ,所以函数 h( x) 在 (0, ??) 上单调递增,
则 h '( x) ? 3x2 ? 2x ? 又 h(0) ? 0 ,则 x ? (0, ??) 时,恒有 h( x) ? h(0) ,即 x3 ? x2 ? ln( x ? 1) 恒成立. 故当 x ? (0, ??) 时,有 ln( x ? 1) ? x2 ? x3 . 所以 ?x ? R ,不等式 ln(e x ? 1) ? e2 x ? e3 x 恒成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分

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