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2016江苏省高考数学苏州大学考前指导卷1


苏州大学 2016 届高考考前指导卷(1)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直接 填在答题卡相应位置上 . ........ 1.已知集合 A ? {1, a} , B ? {1,3, 4} ,且 A ? B ? {1,3} ,则实数 a 的值为 ▲ . 2.i 是虚数单位,复数 z 满足

z ? 3i ? i ,则 | z | = ▲ . 4i

3.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,样本容量为 200, 右图为检测结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在 区间[25,30)的为一等品,在区间[20,25)和[30,35)的为二等品, 其余均为三等品,则样本中三等品的件数为 ▲ . 4.某学校高三有 A,B 两个自习教室,甲、乙、丙三名同学随机选择其中一 个教室自习,则他们在同一自习教室上自习的概率为 ▲ .

5. 执行如图所示的流程图, 会输出一列数, 则这列数中的第 3 个数是 ▲ .

x2 y 2 6.已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线平行于直线 l:y a b
=2x+10,且它的一个焦点在直线 l 上,则双曲线 C 的方程为 ▲ . 7.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2S3-3S2=12,则数列{an}的公差是 ▲ . 8.已知一个圆锥的底面积为 2 ? ,侧面积为 4 ? ,则该圆锥的体积为 ▲ . 9.已知直线 x ? y ? b 是函数 y ? ax ?

2 的图象在点 P(1, m) 处的切线,则 a ? b ? m ? x

▲ .

π 3 5π π 10.若 cos( -θ)= ,则 cos( +θ)-sin2(θ- )= ▲ . 6 3 6 6 11.在等腰直角△ABC 中, ?ABC ? 90? , AB ? BC ? 2 ,M,N 为 AC 边上的两个动点,且满足 ???? ? ???? MN ? 2 ,则 BM ? BN 的取值范围为 ▲ . 12.已知圆 C:x2+y2-2x-2y+1=0,直线 l:3x ? 4 y ? 17 ? 0 .若在直线 l 上任取一点 M 作圆 C 的切线 MA,MB,切点分别为 A,B,则 AB 的长度取最小值时直线 AB 的方程为 ▲ .

?e x , x ≤1, g ( x) ? kx ? 1 ,若方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 有两个不同的实根,则实 13.已知函数 f ( x) ? ? ? f ( x ? 1), x ? 1,
数 k 的取值范围是 ▲ . 14.已知不等式 (ax ? 3)( x ? b) ≤0 对任意 x ? (0, ??) 恒成立,其中 a , b 是整数,则 a ? b 的取值的
2

集合为 ▲ .

1

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出必要的文 ........ 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

? 已知函数 f ? x ? ? A sin ? x ? ? ?? A ? 0,0 ? ? ? ?? 的最小值是-2,其图象经过点 M ( ,1) . 3 (1)求 f ( x) 的解析式; ? 8 24 (2)已知 ? , ? ? (0, ) ,且 f (? ) ? , f (? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 2 13 5

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,侧面
PBC 是直角三角形, ?PCB ? 90? ,点 E 是 PC 的中点,且平面 PBC ? 平面 ABCD .证明:

A

D

(1) AP // 平面 BED ; (2)平面 APC ? 平面 BED .

B E P

C

2

17. (本小题满分 14 分) 如图,OM,ON 是两条海岸线,Q 为海中一个小岛,A 为海岸线 OM 上的一个码头.已知
tan ?MON ? ?3 , OA ? 6 km ,Q 到海岸线 OM,ON 的距离分别为 3 km,

6 10 km.现要在海 5

岸线 ON 上再建一个码头,使得在水上旅游直线 AB 经过小岛 Q. (1)求水上旅游线 AB 的长; (2)若小岛正北方向距离小岛 6 km 处的海中有一个圆形强水波 P,从水波生成 t h 时的半径 为 r ? 3 at (a 为大于零的常数) .强水波开始生成时,一游轮以 18 2 km/h 的速度自码头 A 开往 码头 B,问实数 a 在什么范围取值时,强水波不会波及游轮的航行.
N B P

Q O A M

18. (本小题满分 16 分)

x2 y 2 0 , 2 ) 椭圆 M: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 3 , 点 P( a b
(1)求椭圆 M 的方程; (2)如图,椭圆 M 的上、下顶点分别为 A,B, 过点 P 的直线 l 与椭圆 M 相交于两个不同的点 C,D.

关于直线 y ? ?x 的对称点在椭圆 M 上.

y P C Q O D B x A

???? ???? ①求 OC ? OD 的取值范围;
②当 AD 与 BC 相交于点 Q 时,试问:点 Q 的纵 坐标是否是定值?若是,求出该定值;若不是,说明 理由.

3

19. (本小题满分 16 分) 已知 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是等比数列,其中 n ? N * . (1)若 a1 ? b1 ? 2 , a3 ? b3 ? 9 , a5 ? b5 ,试分别求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)设 A ? ?k ak ? bk , k ? N *? ,当数列 ?bn ? 的公比 q ? ?1 时,求集合 A 的元素个数的最大值.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? a ln x ?

? ?

2 x

? b ? ,其中 a, b ? R, e ? 2.71828 是自然对数的底数.

? ?

(1)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 的切线方程为 y ? e( x ? 1) ,求实数 a , b 的值; (2)①若 a ? ?2 时,函数 y ? f ( x) 既有极大值,又有极小值,求实数 b 的取值范围; ②若 a ? 2 , b ? ?2 ,若 f ( x) ? kx 对一切正实数 x 恒成立,求实数 k 的最大值(用 b 表 示).

4

苏州大学 2016 届高考考前指导卷(1)参考答案
1.3. 10. ? 2. 5 . 3.50. 11. [ , 2] . 4.

1 . 4

5.30.

6.

x2 y2 ? ? 1. 5 20
13. (

7.4.

8.

2 6 ?. 3

9.2.

2? 3 . 3

3 2

12. 6 x ? 8 y ? 19 ? 0 .

e ?1 ) ? (1,e ? 1] . 2

14. {?2,8} .

解答与提示 1.由 A ? B ? {1,3} 可知 1 ? A 且 3 ? A ,有 a ? 3 . 2.由题意得 z ? 4i 2 ? 3i ? ?4 ? 3i ,那么 | z |? 5 . 3.三等品总数 n ? [1 ? (0,05 ? 0.0375 ? 0.0625) ? 5] ? 200 ? 50 . 4. P ?

2 2? 2? 2

?

2 8

?

1 . 4

5. A ? 3 , N ? 1,输出 3; A ? 6 , N ? 2 ,输出 6; A ? 30 , N ? 3 ,输出 30;则这列数中 的第 3 个数是 30. 6.由双曲线的渐近线方程 y ? ?

b a

x 可知 b ? 2a ;又由题意 c ? 5 ,那么 a ? 5 ,双曲线方程为

x2 5

?

y2 20

? 1.

7.方法 1:2S3-3S2= 2(3a1 ? 3d ) ? 3(2a1 ? d ) ? 3d ? 12 ,则 d ? 4 . 方法 2:因为

Sn S S n ?1 d ? a1 ? d ,则 3 ? 2 ? 2 ? ,得到 d ? 4 . n 2 3 2 2

8.设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,则 ?r 2 ? 2, ?rl ? 4 ,解得 r ? 2, l ? 2 2 ,故高 h ? 6 ,

1 1 2 6 ?. 所以 V ? ?r 2 h ? ? ? ? ? 6 ? 3 3 3
9.由于 P 点在函数 y ? ax ? 则 m ? a ? 2 , m ?1 ? b . 又由函数 y ? ax ?

2 图象和直线 x ? y ? b 上, x

2 2 的导函数 y ' ? a ? 2 可知, x x

切线的斜率 k ? ?1 ? a ? 2 ,有 a ? 1 , m ? 3 和 b ? 4 ,则 a ? b ? m ? 2 . π 3 5π π 2+ 3 10.设 t= -θ,有 cos t= . 那么 cos( +θ)-sin2(θ- )=cos(π?t)? sin2 t=? . 6 3 6 6 3 11.方法 1:建立直角坐标系,设 B(0, 0) , A(2, 0) , C (0, 2) ,则利用 MN ? 2 可设 N ( x0 , 2 ? x0 ) ,
5

???? ? ???? ? 3 ? ???? ? ???? ?3 ? M ( x0 ? 1,3 ? x0 ) ,其中 x0 ? [1, 2] ,那么 BM ? BN ? 2( x02 ? 3x0 ? 3) ? ? , 2 ? ,则 BM ? BN ? ? , 2? .
?2 ?

?2

?

???? ? ???? ???? ? ???? BM ? BN 方法 2:设 MN 中点为 D 则 BM ? BN ?

?

? ? ? BM ? BN ?
2

???? ? ????

2

4

??? ? 2 ???? ?2 ??? ?2 1 4 BD ? MN ? ? BD ? ; 4 2

由图形得到 BD ? ? 2,

??? ?

? ?

???? ? ???? ? 3 ? 10 ? ? ,那么 BM ? BN ? ? , 2? . 2 ? ?2 ?

12.当 AB 的长度最小时,圆心角 ?ACB 最小,设为 2 ? ,则由 cos ? ? 时, cos? 最大,即 CM 最小,那么, CM ? l ,可知 k A B ? k l ? ?

AC CM

?

1 CM

可知当 ? 最小

4 ,设直线 AB 的方程为 3

3x ? 4 y ? m .
m?

又由 CM ? 2 可知,点 C 到直线 AB 的距离为

1 1 3? 4? m ,即 ? ,解得 2 2 5

19 9 19 或 ;经检验 m ? ,则直线 AB 的方程为 6 x ? 8 y ? 19 ? 0 . 2 2 2

13.画出函数 f ( x ) 的大致图象如下: 则考虑临界情况, 可知当函数 g ( x) ? kx ? 1 的图象过 A(1, e) ,

B(2, e) 时直线斜率 k1 ? e ? 1,k2 ?

e ?1 x ,并且当 k ? 1 时,直线 y ? x ? 1 与曲线 y ? e 相切于点 2 e ?1 ,1) ? (1, e ? 1] . 2

(0,1) ,则得到当函数 f ( x) 与 g ( x) 图象有两个交点时,实数 k 的取值范围是 (
2

14.首先,当 b ? 0 时,由 (ax ? 3)( x ? b) ≤0 得到 ax ? 3 ? 0 在 x ? (0, ??) 上恒成立,则 a ? 0 ,
2 且 a ? 0 ? 3 ? 0 ,得到矛盾,故 b ? 0 . 当 b ? 0 时,由 (ax ? 3)(x ? b )≤ 0可设 f ( x) ? ax? 3 ,

?a ? 0, ? 再由 a , b 是整数得到 g ( x) ? x ? b ,又 g ( x) 的大致图象如下,那么由题意可知: ? 3 ? ? b , ? ? a
2

?a ? ?1, ?a ? ?3, 或? 因此 a ? b =8 或 12. ? ?b ? 9 ?b ? 1,
6

? 15. (1)因为 f ( x) 的最小值是-2,所以 A=2.又由 f ( x) 的图象经过点 M ( ,1) , 3 ? ? 1 ? ? ? ?? 可得 f ( ) ? 1 , sin( ? ? ) ? ,所以 ? ? ? 2k ? ? 或 ? ? ? 2k ? ? ,又 0 ? ? ? ? , 3 3 2 3 6 3 6
所以 ? ?

? ? ,故 f ( x) ? 2sin( x ? ) ,即 f ( x) ? 2cos x . 2 2 8 24 8 24 , f (? ) ? ,故 2cos? ? ,2cos ? ? , 13 5 13 5

(2)由(1)知 f ( x) ? 2cos x ,又 f (? ) ?

4 12 ? 3 5 即 cos ? ? ,cos ? ? ,又因为 ? , ? ? (0, ) ,所以 sin ? ? ,sin ? ? , 5 13 2 5 13 4 12 3 5 126 所以 f (? ? ? ) ? 2cos(? ? ? ) ? 2(cos? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 2( ? ? ? ) ? . 5 13 5 13 65
16. (1)设 AC ? BD ? O , ABCD 是平行四边形,故 O 为 BD 中点.连结 OE , 因为点 E 是 PC 的中点,所以 AP //OE . OE ? 平面 BED , AP ? 平面 BED , 所以 AP // 平面 BED . (2) 因为平面 PBC ? 平面 ABCD , ?PCB ? 90? ,故 PC ? 平面 ABCD .又 BD ? 平面 ABCD ,所 以 PC ? BD .而底面 ABCD 是菱形,故 AC ? BD ,又 AC ? PC ? C ,所以 BD ? 平面 APC . BD ? 平面 BED ,所以平面 APC ? 平面 BED . y N B

A O

D

.
C O

.P . .
Q

B E P

C

. A

xM

17. (1) 以点 O 为坐标原点, 直线 OM 为 x 轴, 建立直角坐标系如图所示.则由题设得: A? 6,0? , 直线 ON 的方程为 y ? ?3x, Q ? x0 ,3?? x0 ? 0? .由

3x0 ? 3 10

?

6 10 ,及 x0 ? 0 得 x0 ? 3 , 5 ? y ? ?3x, ? x ? ?3, 得? ? x ? y ? 6 ? 0 ? y ? 9,

∴ Q ?3,3? .∴直线 AQ 的方程为 y ? ? ? x ? 6? ,即 x ? y ? 6 ? 0 , 由 ? 即 B ? ?3,9? ,∴ AB ?

? ?3 ? 6?

2

? 92 ? 9 2 ,即水上旅游线 AB 的长为 9 2km .

(2)设试验产生的强水波圆 P ,由题意可得 P(3,9) ,生成 t 小时时,游轮在线段 AB 上的点 C
7

处,则 AC ? 18 2t , 0 ≤ t ≤

1 ,∴ C ? 6 ?18t,18t ? .强水波不会波及游轮的航行即 2

? 1? PC 2 ? r 2 对t ? ?0, ? 恒成立. PC 2 ? (18t ? 3)2 ? (18t ? 9)2 ? r 2 ? 9at ,当 t ? 0 时 , ? 2?
10 ? 1? a ? 72t ? ? 48 . 上式恒成立, 当 t ? 0时,即t ? ? 0, ? 时, t ? 2?

令g (t ) ? 72t ?

10 5 1 10 ? 1? 当且仅当 t ? ? (0, ] ? 48, t ? ? 0, ? ,g (t ) ? 72t ? ? 48 ? 24 5 ? 48 , t 6 2 t ? 2?

时等号成立,所以,在 0 ? a ? 10 时 r ? PC 恒成立,亦即强水波不会波及游轮的航行. 18. (1)因为点 P(0, 2) 关于直线 y ? ?x 的对称点为 (?2,0) ,且 (?2,0) 在椭圆 M 上,所以 a ? 2 .又
2c ? 2 3 ,故 c ? 3 ,则 b2 ? a 2 ? c2 ? 4 ? 3 ? 1 .所以椭圆 M 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 4

(2)①当直线 l 的斜率不存在时,C (0,1), D(0, ?1) ,所以 OC ? OD =-1.当直线 l 的斜率存在时,
? y ? kx ? 2, ? 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2, C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) , ? x 2 消去 y 整理得 2 ? ? y ? 1, ?4

???? ????

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 16kx ? 12 ? 0 ,由 ? ? 0 ,可得 4k 2 ? 3 ,且 x1 ? x2 ? ?

16k 12 ,所以 , x1 x2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

??? ? ???? OC ? OD ? x1x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? ?1 ?
综上 OC ? OD ? [?1, 消去 x 得 y ?

???? ???? 13 17 ,所以 ?1 ? OC ? OD ? , 2 1 ? 4k 4

???? ????

13 y ?1 y ?1 ) .②由题意得,AD: y ? 2 x ? 1 ,BC: y ? 1 x ? 1 ,联立方程组, x2 x1 4

2kx1 x2 ? x1 ? 3 x2 1 1 ,又 4kx1 x2 ? ?3( x1 ? x2 ) ,解得 y ? ? ,故点 Q 的纵坐标为定值 . 3x2 ? x1 2 2

?2 ? 2d ? 2q 2 ? 9, 19. (1)设数列 ?an ? 的公差为 d ? d ? 0 ? ,数列 ?bn ? 的公差为 q ? q ? 0,1? ,则 ? 4 ? 2 ? 4d ? 2q ,

15 ? 15 11 n ?d ? , n 解得 ? 2 ∴ an ? n ? , bn ? 2 或 ? ? ?2? . 2 2 ? ? q ? ?2,
(2)不妨设 an ? a ? bn ?b ? 0? , bn ? pqn ? pq ? 0, q ? 1? ,则 a ? bn ? pqn ,即 令s ?
a b ? n ? qn p p

a b , t ? ? t ? 0 ? ,问题转化为求关于 n 的方程 q n ? tn ? s ? 0 (*)最多有多少个解.① p p
8

当 t ? 0 时,因为 q ? ?1 ,若 n 为奇数,则方程为 q ? tn ? s ? 0 ,左边关于 n 单调递增,方程(*) 最多有 1 个解; 若 n 为偶数, 则方程为 q ? tn ? s ? 0 , 令 f ( x) ? q ? tx ? s , 则 f ?(x) ?q l n q t? ,
lg 令 f ?( x) ? 0 , 得 x0 ? o
q
n x x

n

t , 由于 q ? 1 , ∴函数 f ?( x) 单调递增, ∴当 x ? x0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) ln q

单调递减;当 x ? x0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增,∴方程(*)在 ? ??, x0 ? 和 ? x0 , ??? 上最多各有 1 个解. 综上:当 n ? N* 时,方程(*)最多有 3 个解.② 当 t ? 0 时,同理可知方程(*)最多有 3 个解.事 实上,设 an ? 6n ? 8, bn ? (?2)n 时,有 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a4 ? b4 ,所以 A 的元素个数最大值为 3. 20. (1) 由题意知曲线 y ? f ( x) 过点(1,0),且 f '(1) ? e ; 又因为 f '( x) ? e x ? a ln x ?

? ?

2 x2

?

a?2 x

? b ? ,则有 ?

? ?

? f (1) ? e(2 ? b) ? 0, ? f '(1) ? e(a ? b) ? e,
? ?
2 x
2

解得 a ? 3, b ? ?2 .

(2) ①当 a ? ?2 时,函数 y ? f ( x) 的导函数 f '( x) ? e x ? ?2 ln x ? 若 f '( x) ? 0 时,得 b ? 2 ln x ?

? b? ? 0,

? ?

2 , x2

2 4 2 x2 ? 4 2 ? 0 ,得 x ? 2 , g ( 2) ? 1 ? ln 2 . 设 g ( x ) ? 2 ln x ? 2 ( x ? 0) . 由 g '( x) ? ? 3 ? x x x x3
当0 ? x ?

2 时, g '( x) ? 0 ,函数 y ? g ( x) 在区间 (0, 2) 上为减函数, g ( x) ? (1 ? ln 2, ??) ;当

x ? 2 时, g '( x) ? 0 ,函数 y ? g ( x) 在区间 ( 2, ??) 上为增函数, g ( x) ? (1 ? ln 2, ??) ;所以,
当且仅当 b ? 1 ? ln 2 时, b ? g ( x) 有两个不同的解,设为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) . x

↘ 极大值 此时,函数 y ? f ( x) 既有极大值,又有极小值. ② 由 题 意 e x ? a l nx?

f '( x) f ( x)

(0,x1) ?

x1 0

(x1,x2) ?? ↗

x2 0 极小值

(x2,+∞) ? ↘

? ?

2 x

? b ? ? kx 对 一 切 正 实 数 x 恒 成 立 , 取 x ? 1 得 k ? (2 ? b)e . 下 证

? ?

e x ? a l nx?

? ?

2 x
x

x x ? b e 对一切正实数 x 恒成立.首先,证明 e ≥ex . 设函数 u( x) ? e ? ex , ? ? ( 2? b ) x

? ?

则 u '( x) ? e ? e ,当 x ? 1 时, u '( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, u '( x) ? 0 ;得 e ? e x≥u(1) ? 0 ,即 e ≥ex ,
x x

9

当且仅当都在 x ? 1 处取到等号. 再证 ln x ?

1 x

≥1 . 设 v( x) ? ln x ?

1 x

?1 , 则 v '( x ) ? 1 x

x ?1 x2

, 当x ?1

时, v '( x ) ? 0 ;当 x ? 1 时, v '( x ) ? 0 ;得 v( x)≥ v(1) ? 0 ,即 ln x ? 取到等号. 由上可得 e x ? a ln x ? 值为 (2 ? b)e .

≥1 ,当且仅当都在 x ? 1 处

? ?

2 x

? b ? ? (2 ? b) e x ,所以 ?

? ?

? f ( x) ? ? ? (2 ? b)e ,即实数 k 的最大 ? x ?min

10


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