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2015高考数学二轮复习热点题型-概率与统计


概率与统计

1.随机抽样方法 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等,且 是不放回抽样. [问题 1] 某社区现有 480 个住户,其中中等收入家庭 200 户、低收入家庭 160 户,其他为高 收入家庭.在建设幸福社区的某次分层抽样调查中,高收入家庭被抽取了 6 户,则该社区本 次抽取的总户数为________. 答案

24 6 480-200-160 解析 由抽样比例可知 = ,则 x=24. x 480 2.对于统计图表问题,求解时,最重要的就是认真观察图表,从中提取有用信息和数据.对 于频率分布直方图,应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率.茎 叶图没有原始数据信息的损失,但数据很大或有多组数据时,茎叶图就不那么直观、清晰了. [问题 2] 从某校高三年级随机抽取一个班, 对该班 50 名学生的高校招生体检表中视力情况进 行统计,其结果的频率分布直方图如图所示.若某高校 A 专业对视力的要求在 0.9 以上,则该 班学生中能报 A 专业的人数为________.

答案 20 3.众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标. 中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平 均数)叫做这组数据的中位数. 中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标. 1 平均数:样本数据的算术平均数,即 x = (x1+x2+?+xn). n 平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小距形底边中点的横坐标之和. 标准差的平方就是方差,方差的计算

1 (1)基本公式 s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2]. n 1 1 2 2 2 2 2 2 (2)简化计算公式①s2= [(x2 +x2+?+x2 n)-n x ],或写成 s = (x1+x2+?+xn)- x ,即方 n 1 2 n 差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方. [问题 3] 已知一个样本中的数据为 0.12,0.15,0.13,0.15,0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14,则该样 本的众数、中位数分别是________. 答案 0.15、0.145 4.变量间的相关关系
^ ^ ^

假设我们有如下一组数据:(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn).回归方程y=bx+a,

? ? ?x - x ??y - y ? ?x y -n x y ?b= = , 其中? ? ?x - x ? ?x -n x ? ?a= y -b x .
n n ^ i=1 i i i=1 i i n i=1 i 2 n i=1
2 i

2

^

^

^

^

^

[问题 4] 回归直线方程y=bx+a必经过点________. 答案 ( x , y ) 5.独立性检验的基本方法 一般地,假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联 表如表: y1 x1 x2 总计 根据观测数据计算由公式 k= a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

n?ad-bc?2 所给出的检验随机变量 K2 的观测值 k, ?a+b??a+c??b+d??c+d?

并且 k 的值越大,说明“X 与 Y 有关系”成立的可能性越大,可以利用数据来确定“X 与 Y 有 关系”的可信程度. [问题 5] 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关, 对该班 50 名学生进行了问卷调查, 得 到了如下的 2×2 列联表: 喜爱打篮球 男生 女生 20 10 不喜爱打篮球 5 15 合计 25 25

合计

30

20

50

则至少有________的把握认为喜爱打篮球与性别有关.(请用百分数表示) n?ad-bc?2 附:K = ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

P(K2>k0) k0 答案 99.5%

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

6.互斥事件有一个发生的概率 P(A+B)=P(A)+P(B) (1)公式适合范围:事件 A 与 B 互斥. (2)P( A )=1-P(A). [问题 6] 抛掷一枚骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出现奇数点,事件 B 为出现 2 点,已 1 1 知 P(A)= ,P(B)= ,则出现奇数点或 2 点的概率之和为________. 2 6 答案 2 3

7.古典概型 m P(A)= (其中,n 为一次试验中可能出现的结果总数,m 为事件 A 在试验中包含的基本事件个 n 数) [问题 7] 若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷 2 次,则出现向上的点数之和为 4 的概率为

________. 答案 1 12

8.几何概型 一般地,在几何区域 D 内随机地取一点,记事件“该点在其内部一个区域 d 内”为事件 A, d的度量 则事件 A 发生的概率为 P(A)= .此处 D 的度量不为 0, 其中“度量”的意义依 D 确定, D的度量 当 D 分别是线段、平面图形和立体图形时,相应的度量分别为长度、面积和体积等. 构成事件A的区域长度?面积和体积? 即 P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度?面积和体积? [问题 8] 在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 O 为底面 ABCD 的中心,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为( π A. 12 π C. 6 答案 B π B.1- 12 π D.1- 6 )

解析 记“点 P 到点 O 的距离大于 1”为 A, 1 4 23- × π×13 2 3 π P(A)= =1- . 23 12 9.解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合. 解排列、组合问题的规律是:相邻问题捆绑法;不相邻问题插空法;多排问题单排法;定位 问题优先法;定序问题倍缩法;多元问题分类法;有序分配分步法;综合问题先选后排法; 至多至少问题间接法. (1)排列数公式 n! Am ,其中 m,n∈N*,m≤n.当 m=n 时,An (n- n =n(n-1)(n-2)?[n-(m-1)]= n=n· ?n-m?! 1)· ??· 2· 1=n! ,规定 0!=1. (2)组合数公式 n?n-1??n-2??[n-?m-1?] Am n Cm n = m= Am m! = n! . m!?n-m?!

(3)组合数性质
n Cm n =Cn
-m

m 1 0 * ,Cm =Cm n +Cn n+1,规定 Cn=1,其中 m,n∈N ,m≤n.


[问题 9] (1)将 5 封信投入 3 个邮筒,不同的投法共有________种. (2)从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则 不同的取法共有________种. 答案 (1)35 (2)70

10.二项式定理
n 1 n 1 n r r n 1 n * (1)定理:(a+b)n=C0 b+?+Cr b +?+Cn abn 1+Cn na +Cna na nb (n∈N ).
- - - -

通项(展开式的第 r+1 项):Tr+1=Crnan rbr,其中 Cr n(r=0,1,?,n)叫做二项式系数.


(2)二项式系数的性质 ①在二项式展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即
0 n 1 n 1 2 2 r n r Cn =Cn ,Cn =Cn ,Cn =Cn n ,?,Cn=Cn .
- - -

②二项式系数的和等于 2n(组合数公式),即
0 1 2 n Cn +Cn +Cn +?+Cn =2n. 3 5 ③二项式展开式中,偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和,即 C1 n+Cn+Cn+? 2 4 n 1 =C0 . n+Cn+Cn+?=2


特别提醒:二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念,在求法上也有很大的 差别,往往因为概念不清导致出错.

[问题 10] 设?x-

?

2 ?6 的展开式中 x3 的系数为 A,二项式系数为 B,则 A∶B=________. x?

答案 4∶1
6 r 解析 Tr+1=Cr (-1)r? 6x


2 ?r ? x?

r r =Cr 6(-1) 2

x

3 6? r 2

3 ,6- r=3,r=2,系数 A=60,二项式系数 B=C2 6=15,所以 A∶B=4∶1. 2

4∶1. 11.要注意概率 P(A|B)与 P(AB)的区别: (1)在 P(A|B)中,事件 A,B 发生有时间上的差异,B 先 A 后;在 P(AB)中,事件 A,B 同时发 生. (2)样本空间不同,在 P(A|B)中,事件 B 成为样本空间;在 P(AB)中,样本空间仍为 Ω,因而有 P(A|B)≥P(AB). 3 [问题 11] 设 A、 B 为两个事件, 若事件 A 和 B 同时发生的概率为 , 在事件 A 发生的条件下, 10 1 事件 B 发生的概率为 ,则事件 A 发生的概率为________. 2 答案 3 5

12.求分布列,要检验概率的和是否为 1,如果不是,要重新检查修正.还要注意识别独立重 复试验和二项分布,然后用公式. 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
k 为 Pn(k)=Ck (1-p)n k. np ·


[问题 12] 若随机变量 ξ 的分布列如下表,则 E(ξ)的值为________. ξ P 答案 20 9 0 2x 1 3x 2 7x 3 2x 4 3x 5 x

1 解析 根据概率之和为 1,求出 x= , 18 20 则 E(ξ)=0×2x+1×3x+?+5x=40x= . 9
b 13.一般地,如果对于任意实数 a<b,随机变量 X 满足 P(a<X≤b)=? a φμ,σ(x)dx,则称 X 的分

布为正态分布.正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定,因此正态分布常记作 N(μ,σ2).如果随机变 量 X 服从正态分布,则记为 X~N(μ,σ2).满足正态分布的三个基本概率的值是: ①P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6;②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4;③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4. [问题 13] 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ2),且 P(ξ<4)=0.8,则 P(0<ξ<2)等于( )

A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 答案 C 解析 ∵P(ξ<4)=0.8,∴P(ξ>4)=0.2, 由题意知图象的对称轴为直线 x=2, P(ξ<0)=P(ξ>4)=0.2, ∴P(0<ξ<4)=1-P(ξ<0)-P(ξ>4)=0.6. 1 ∴P(0<ξ<2)= P(0<ξ<4)=0.3. 2

易错点 1 统计图表识图不准致误 例 1 如图所示是某公司(共有员工 300 人)2012 年员工年薪情况的频率分布直方图, 由此可知, 员工中年薪在 1.4 万元~1.6 万元之间的大约有________人.

错解 由频率分布直方图,员工中年薪在 1.4 万元~1.6 万元之间的频率为 1-(0.02+0.08+ 0.10+0.10+0.08)=0.62. ∴估计年薪在 1.4 万元~1.6 万元之间约有 300×0.62=186(人). 找准失分点 本题主要混淆频率分布直方图与条形图纵轴的意义, 频率分布直方图中, 纵轴(矩 形高)表示“ 频率 ”,每个小矩形的面积才表示落在该区间上的频率,由于概念不清,识图不 组距

准导致计算错误. 正解 由所给图形可知,员工中年薪在 1.4 万元~1.6 万元之间的频率为 1-(0.02+0.08+0.08 +0.10+0.10)×2=0.24. 所以员工中年薪在 1.4 万元~1.6 万元之间的共有 300×0.24=72(人). 答案 72 易错点 2 在几何概型中“测度”确定不准致误 例 2 如图所示,在等腰 Rt△ABC 中,过直角顶点 C 在∠ACB 内部任意作 一条射线 CM,与线段 AB 交于点 M,求 AM<AC 的概率. 错解 记 AM<AC 为事件 E,设 CA=CB=a,因为△ABC 是直角三角形, 所以,AB= 2a,

在 AB 上取一点 D,使 AD=AC=a,那么对线段 AD 上的任意一点 M 都有 AM<AD,即 AM<AC, 因此 AM<AC 的概率为 P(E)= AD a 2 = = . AB 2a 2

找准失分点 据题意,过直角顶点 C 在∠ACB 内部作一条射线 CM,射线 CM 在∠ACB 内部 均匀分布,但是点 M 在 AB 上的分布不是均匀的. π 正解 在 AB 上取一点 D,使 AD=AC,因为 AD=AC=a,∠A= , 4 3π 所以∠ACD=∠ADC= , 8 3π ∠ACD 8 3 则 P(E)= = = . ∠ACB π 4 2 易错点 3 分不清是排列还是组合致误 例 3 如图所示,A,B,C,D 是海上的四个小岛,要建三座桥,将这四个岛连 接起来,不同的建桥方案共有多少种?
4 错解 对于有一个中心的结构形式有 A4 4,对于四个岛依次相连的形式有 A4,

∴共有 2A4 4=48(种). 找准失分点 没有分清是排列还是组合. 正解 由题意可能有两种结构,如图:

第一种:

,第二种:

对于第一种结构,连接方式只需考虑中心位置的情况,共有 C1 4种方法.
2 对于第二种结构,有 C2 4A2种方法. 2 2 ∴总共有 C1 4+C4A2=16(种).

易错点 4 均匀分组与非均匀分组混淆致误 例 4 4 个不同的小球放入编号为 1、 2、 3、 4 的 4 个盒中, 则恰有 1 个空盒的放法共有________ 种.(用数字作答) 错解 288 错误!未找到引用源。找准失分点错误!未找到引用源。 288.
1 1 C2 4C2C1 正解 把 4 个球分成 3 组, 每组至少 1 个, 即分的小球个数分别为 2,1,1 的 3 组, 有 种. 最 A2 2 1 1 C2 4C2C1 3 后将三组球放入 4 个盒中的 3 个,有分配方法数 A3 2 ×A4=144(种). 4种,因此,放法共有 A2 1 1 3 没有考虑均匀分组:C2 A4= 4C2C1·

答案 144

1. 在某次测量中得到的 A 样本数据如下: 82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都加 2 后所得数据,则 A,B 两样本的下列数字特征对应相同的是( A.众数 C.中位数 答案 D 解析 对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差,众数、中位数、 平均数都发生改变. 2.(2014· 湖北)根据如下样本数据 x y
^

)

B.平均数 D.标准差

3 4.0
^ ^

4 2.5

5 -0.5 )

6 0.5

7 -2.0

8 -3.0

得到的线性回归方程为y=bx+a,则(
^ ^ ^ ^

A.a>0,b>0 B.a>0,b<0
^ ^ ^ ^

C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 答案 B 解析 作出散点图如下:

^

^

^

^

观察图象可知,回归直线y=bx+a 的斜率b <0,
^ ^ ^ ^

当 x=0 时,y=a >0.故a>0,b<0. x≤0, ? ? ?x+y≤1, ? 3.(2014· 湖北)由不等式组?y≥0, 确定的平面区域记为 Ω1, 不等式组? 确定 ?x+y≥-2 ? ? ?y-x-2≤0 的平面区域为 Ω2,在 Ω1 中随机取一点,则该点恰好在 Ω2 内的概率为( 1 A. 8 3 C. 4 1 B. 4 7 D. 8 )

答案 D 解析 如图,平面区域 Ω1 就是三角形区域 OAB,平面区域 Ω2 与平面区域 Ω1 的重叠部分就是 区域 OACD,

1 3 易知 C(- , ),故由几何概型的概率公式, 2 2 得所求概率 1 2- 4 7 S四边形OACD P= = = . 2 8 S△OAB 1 4.(2014· 湖南)( x-2y)5 的展开式中 x2y3 的系数是( 2 A.-20 B.-5 C.5 D.20 答案 A 1 1 5-r 1 - - 解析 ( x-2y)5 展开式的通项公式为 Tr+1=Cr · (-2y)r=Cr ( )5 r· (-2)r· x5 r· yr. 5( x) 5· 2 2 2 12 当 r=3 时,C3 (-2)3=-20. 5( ) · 2 5.如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 上任意一点,若在矩形 ABCD 内部随机 取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( 1 A. 4 1 C. 2 答案 C 1 · |AB|· |AD| 2 1 解析 这是一道几何概型的概率问题, 点 Q 取自△ABE 内部的概率为 = = . |AD| 2 S矩形ABCD |AB|· S△ABE 故选 C. 6.(2014· 福建)如图,在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到 阴影部分的概率为________. 1 B. 3 2 D. 3 ) )

答案

2 e2

解析 由题意知,所给图中两阴影部分面积相等,故阴影部分面积为 S=2?1(e-ex)dx=2(ex

?0

-ex)|1 0=2[e-e-(0-1)]=2. 又该正方形面积为 e2, 2 故由几何概型的概率公式可得所求概率为 2. e 7.(2014· 江西)10 件产品中有 7 件正品,3 件次品,从中任取 4 件,则恰好取到 1 件次品的概 率是________. 答案 1 2

4 3 解析 从 10 件产品中取 4 件,共有 C10 种取法,取到 1 件次品的取法为 C1 3C7种,由古典概型 3 3×35 1 C1 3C7 概率计算公式得 P= 4 = = . C10 210 2

8.如图所示,图 2 中实线围成的部分是长方体(图 1)的平面展开图,其中四边形 ABCD 是边 长为 1 的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的 1 概率是 ,则此长方体的体积是________. 4

答案 3 解析 设长方体的高为 h,由几何概型的概率计算公式可知,质点落在长方体的平面展开图内 2+4h 1 1 的概率 P= = ,解得 h=3 或 h=- (舍去),故长方体的体积为 1×1×3=3. 2 ?2h+2??2h+1? 4 3 9.已知某人投篮的命中率为 ,则此人投篮 4 次,至少命中 3 次的概率是________. 4 答案 189 256

解析 该人投篮 4 次,命中 3 次的概率为 3 27 3?3?3? 1- ? = ; P1=C4 ?4? ? 4? 64

?3?4 81 , 该人投篮 4 次,命中 4 次的概率为 P2=C4 4 4 = ? ? 256
27 81 189 故至少命中 3 次的概率是 P= + = . 64 256 256 10.某路段检查站监控录像显示,在某时段内,有 1 000 辆汽车通过该站,现在随机抽取其中 的 200 辆汽车进行车速分析,分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图,则估计在这一 时段内通过该站的汽车中车速不小于 90 km/h 的约有________辆.(注:分析时车速均取整数)

答案 300 解析 由图可知,车速大于等于 90 km/h 的车辆未标出频率,而小于 90 km/h 的都标出了,故 考虑对立事件.由题图知车速小于 90 km/h 的汽车总数的频率之和为(0.01+0.02+0.04)× 10= 0.7,所以车速不小于 90 km/h 的汽车总数的频率之和为 1-0.7=0.3.因此在这一时段内通过该 站的车速不小于 90 km/h 的汽车有 1 000×0.3=300(辆).


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