当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.2知识点总结含同步练习及答案


高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法

一、学习任务 能从实际情境中抽象出一元二次不等式;了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系;掌握一 元二次不等式的解决.了解简单的分式不等式、含参不等式和简单高次不等式的解法. 二、知识清单
一次不等式的解法 高次不等式的解法 二次不等式的解法 无理不等式的解法 分式不等式的解法 绝对值不等式的解法

三、知识讲解
1.一次不等式的解法 描述: 一元一次不等式的概念 不等式的左右两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1 ,像这样的不等式 叫做一元一次不等式. 例题: 解下列不等式: (1)2x + 1 ? ?x ? 5 ; (2)?2x ? 3 < 7 ; (3)ax + 1 < 0. 解:(1)因为 2x + 1 ? ?x ? 5 ,所以 3x ? ?6 ,即 x ? ?2,故原不等式的解集为 {x|x ? ?2} ; (2)因为 ?2x ? 3 < 7 ,所以 ?2x < 10,即 x > ?5,故原不等式的解集为 {x|x > ?5} ; (3)因为 ax + 1 < 0,所以 ax < ?1 . 当 a = 0 时,原不等式的解集为?;

1 ,所以原不等式的解集为 {x|x < ? a 1 当 a < 0 时,x > ? ,所以原不等式的解集为 {x|x > ? a
当 a > 0 时,x < ?

1 }; a 1 }. a

2.二次不等式的解法 描述: 一元二次不等式的概念 我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元二次不等式. 一元二次不等式的解法

①将原不等式化为标准形式 ax 2 + bx + c > 0 或 ax2 + bx + c < 0(a > 0); ②画出对应函数 y = ax 2 + bx + c 的图象简图; ③由图象得出不等式的解集. 例题: 解下列不等式. (1)x 2 ? 2x ? 3 > 0; (2)9x 2 ? 6x + 1 ? 0; (3)?4x 2 + 4x ? 1 > 0 . 解:(1)方程 x 2 ? 2x ? 3 = 0 的两根是 x1 = ?1 ,x2 = 3. 函数 y = x 2 ? 2x ? 3 的图象是开口向上的抛物线,与 x 轴有两个交点 (?1, 0) 和 (3, 0),如 图所示:

  观察图象可得不等式的解集为 {x | x < ?1或x > 3}. (2)方程 9x 2 ? 6x + 1 = 0 有两个相等的实数解,x1 = x2 =

函数 y = 9x 2 ? 6x + 1 的图象是开口向上的抛物线,与 x 轴仅有一个交点 ( 示:

1 . 3

1 , 0) ,如图所 3

1 }. 3 (3)?4x 2 + 4x ? 1 > 0 等价于 4x 2 ? 4x + 1 < 0,且方程 4x2 ? 4x + 1 = 0 有两个相等实 1 根 x1 = x2 = . 2 1 2 函数 y = 4x ? 4x + 1 的图象是开口向上的抛物线,与 x 轴仅有一个交点 ( , 0) ,如图所 2
观察图象可得不等式的解集是 {x | x = 示:

观察图象可得原不等式的解集为 ?.

1

1

已知不等式 ax 2 + bx + 2 > 0 的解集为 {x| ? 解集.

1 1 < x < } ,求不等式 2x2 + bx + a < 0 的 2 3 1 1 1 1 < x < } ,所以 ? , 是方程 2 3 2 3

解:因为不等式 ax 2 + bx + 2 > 0 的解集为 {x| ?

ax2 + bx + 2 = 0 的两实根.
由根与系数的关系可得

1 b ? 1 ? ? + =? 2 3 a ? ? ?? 1 × 1 = 2 , 2 3 a
解方程组,得

{ a = ?12 b = ?2.
所以不等式 2x 2 + bx + a < 0 可化为

2x2 ? 2x ? 12 < 0,
即 (x ? 3)(x + 2) < 0,故不等式 2x2 + bx + a < 0 的解集为

{x| ? 2 < x < 3}.
解关于 x 的不等式:ax 2 ? (a2 + 2)x + 2a ? 0. 解:(1)当 a = 0 时,原不等式的解集为{x|x ? 0}. (2)当 a > 0 时,原不等式化为 (x ?

2 )(x ? a) ? 0 . a 2 2 ① 当 < a ,即 a > √2 时,原不等式的解集为 {x| ? x ? a}. a a 2 2 ② 当 > a ,即 0 < a < √2 时,原不等式的解集为 {x|a ? x ? }. a a 2 ③ 当 = a ,即 a = √2 时,原不等式的解集为 {x|x = √2 } . a 2 (3)当 a < 0 时,原不等式化为 (x ? )(x ? a) ? 0 . a 2 2 ① 当 < a ,即 ?√2 < a < 0 时,原不等式的解集为 {x|x ? 或x ? a} . a a 2 2 ② 当 > a ,即 a < ?√2 时,原不等式的解集为 {x|x ? a或x ? }. a a 2 ③ 当 = a ,即 a = ?√2 时,原不等式的解集为 R. a

3.分式不等式的解法 描述: 分式不等式的概念 分母中含有未知数的不等式称为分式不等式. 例题: 解下列不等式: (1)

x?1 x?1 x+1 < 0 ;(2) ? 0 (3) < 1 ;. x+2 2x + 1 2x ? 3

解:(1)原不等式可化为

x+2

2x + 1 (x ? 1)(x + 2) < 0,

解得 ?2 < x < 1 ,所以原不等式的解集为

{x| ? 2 < x < 1}.
(3)原不等式可化为

{
解得 ?

(x ? 1)(2x + 1) ? 0 , 2x + 1 ≠ 0

1 < x ? 1 ,所以原不等式的解集为 2 ∣ 1 {x ∣ ? < x ? 1} . ∣ 2 x+1 x+1 ?x + 4 x?4 < 1 ,所以 ? 1 < 0 ,通分,得 < 0 ,即 > 0 .化 2x ? 3 2x ? 3 2x ? 3 2x ? 3 (x ? 4)(2x ? 3) > 0,

(2)因为

为整式不等式

解得 x <

3 或 x > 4,所以原不等式的解集为 2 3 ∣ {x ∣ x < 或x > 4} . ∣ 2

4.高次不等式的解法 描述: 高次不等式的解法 解一元高次不等式一般利用数轴穿根法(或称根轴法)求解,其步骤是: (1)将 f (x) 最高次项系数化为正数; (2)将 f (x) 分解为若干个一次因式的乘积或二次不可分因式的乘积; (3)求出各因式的零点,并在数轴上依次标出; (4)从最右端上方起,自右至左依次通过各根画曲线,遇到奇次重根要一次穿过,遇到偶次重根 要穿而不过; (5)记数轴上方为正,下方为负,根据曲线显现出的 f (x) 的值的符号变化规律,写出不等式 的解集. 例题: 解不等式 (x + 2)(x + 1)2 (x ? 1)3 (x ? 2) < 0 . 解:不等式中各因式的实数根为 ?2,?1,1 ,2 . 利用根轴法,如图所示.

所以原不等式的解集为{x | x < ?2或1 < x < 2}.

5.无理不等式的解法 描述: 无理不等式 一般地,根号下含有未知数的不等式称为无理不等式. 例题: 解不等式 √4x ? x 2 < x . 解:原不等式等价于不等式组

? ? ? ?? ?

? 4x ? x2 ? 0 ?x > 0 ? 4x ? x2 < x2
解不等式组,得 2 < x ? 4 ,所以原不等式的解集为

? ? ? 解不等式 √? 8? ? x > x?3 . 解:原不式等价于不等式组

{x|2 < x ? 4}.

解不等式组,得

3?x<

? 5 + √? 21 或 x < 3 ,故原不等式的解集为 2 ? 5 + √? 21 {x | x < }. 2

?8 ? x ? 0 8?x ? 0 或{ ?x ? 3 ? 0 ? x?3 < 0 8 ? x > (x ? 3)2

6.绝对值不等式的解法 描述: 绝对值不等式的解法 解含绝对值的不等式主要依据绝对值的定义、几何意义及不等式的基本性质. (1)|f (x)| > |g(x)| ? f 2 (x) > g 2 (x); (2)|f (x)| > g(x)(g(x) > 0) ? f (x) > g(x) 或 f (x) < ?g(x); (3)|f (x)| < g(x)(g(x) > 0) ? ?g(x) < f (x) < g(x); (4)含两个及两个以上绝对值符号的不等式可用零点分段法求解,也可用图象法去求解. 例题: 解不等式 1 < |x + 1| < 3 .

解:原不等式等价于

1 < x + 1 < 3 或 ? 3 < x + 1 < ?1,
解得 0 < x < 2 或 ?4 < x < ?2,故原不等式的解集为

{x | 0 < x < 2 或 ? 4 < x < ?2}.
解不等式: x + |2x ? 1| < 3 . 解:因为 x + |2x ? 1| < 3 ,所以 |2x ? 1| < 3 ? x,等价于

x ? 3 < 2x ? 1 < 3 ? x,
解得 ?2 < x <

4 ,故原不等式的解集为 3 4 ∣ {x ∣ ? 2 < x < } . ∣ 3

解不等式 |x ? 1| + |x + 2| ? 5 . 解:当 x < ?2 时,原不等式化为 1 ? x ? x ? 2 ? 5 ,解得 x ? ?3; 当 ?2 ? x ? 1 时,原不等式化为 1 ? x + x + 2 ? 5 ,不等式无解; 当 x > 1 时,原不等式化为 x ? 1 + x + 2 ? 5 ,解得 x ? 2. 综上,原不等式的解集为 {x | x ? ?3或x ? 2}. 若不等式 |x ? 4| + |x ? 3| > a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:由绝对值的几何意义可知,|x ? 4| + |x ? 3| 表示的是数轴上点 x 到 3 和 4 的距离之 和. 若不等式 |x ? 4| + |x ? 3| > a 对一切实数 x 恒成立,则 (|x ? 4| + |x ? 3|)min > a ,因为 (|x ? 4| + |x ? 3|)min = 1 ,所以 a < 1.

四、课后作业
1. 不等式

(查看更多本章节同步练习题,请到快乐学kuailexue.com)

1 1 < 的解集是 ( x 2 A.(?∞, 2)
C.(0, 2)
答案: D 解析:

)
B.(2, +∞) D.(?∞, 0) ∪ (2, +∞)



1 1 1 1 2?x < 得: ? = < 0 ,即 x (2 ? x) < 0 . x 2 x 2 2x ∣ 2n ∣ ? 2∣ < 0.01 的解集为 ( ∣n+1 ∣ )

2. 已知 n ∈ N ? ,则不等式 ∣ A.{n|n ? 199, n ∈ N ? }
答案: B 解析:

C.{n|n ? 201, n ∈ N ? }

B.{n|n ? 200, n ∈ N ? }

D.{n|n ? 202, n ∈ N ? }

∣ 2n ∣ ∣ 2 ∣ ? 2∣ = ∣ ∣ ∣ < 0.01 ? n > 199 ,即 n ? 200 . ∣n+1 ∣ ∣ n+1∣

∣n+1



∣ n+1∣ )

,即



3. 不等式 √x2 ? 5x + 6 > x ? 1 的解集是 ( A.(?∞, 1)
答案: D 解析:

? ? ? ?? ? ?? ?

B.(2, +∞)

C.[1,

5 ) 3

D.(?∞,

5 ) 3

? x2 ? 5x + 6 ? 0 2 ? ? ? ?? ? ?? ? 2 √x ? 5x + 6 > x ? 1 ? ? x ? 1 ? 0 或{ x ? 5x + 6 ? 0 ? 2 x?1 < 0 x ? 5x + 6 > (x ? 1)2 ∣ ∣ 1 < x < 2} ,则不等式 cx2 + bx + a < 0 的解是 3 ∣ ∣ ∣ D.{x ∣ x < ?2 或 x > ∣
B.{x ∣ x < ?3 或 x >

4. 已知不等式 ax 2 + bx + c > 0 的解集为 {x ∣ ?

(

)

∣ ∣ ∣ C.{x ∣ ? 2 < x < ∣
A.{x ∣ ? 3 < x <
答案: A

1 } 2 1 } 3

1 } 2 1 } 3

高考不提分,赔付1万元,关注快乐学kuailexue.com了解详情。


相关文章:
高中数学必修5__第三章《不等式》复习知识点总结与练习...
高中数学必修5__第三章不等式》复习知识点总结与...点 A(5,0),且斜率 k=-2<kAB=- ,即直 3 ...与平面区域仅有一个公共点 A(5,0). [答案] B...
高中数学人教版_必修五_不等式_知识点最完全精炼总结_...
高中数学人教版_必修五_不等式_知识点最完全精炼总结_高二数学_数学_高中教育_教育专区。好 2012.3.26 一.不等式(淮上陌客) 1.两实数大小的比较 ?a ? b ...
数学必修五 第三章 不等式 知识点总结
数学必修五 第三章 不等式 知识点总结_高一数学_数学_高中教育_教育专区。数学...1 ? a ? b b b b 2、 不等式的性质 性质 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...
高中数学必修五第三章不等式复习(知识点与例题)
人教版高中数学必修五第三章不等式复习(知识点与...1 练习: 1、不等式 2 x 2 ?3 2 ? 1 ,则 ...高中数学必修5(人教A版)... 3页 免费 高中数学...
必修5-第三章不等式知识点总结
必修5-第三章不等式知识点总结_高二数学_数学_高中教育_教育专区。不等式知识总结一、不等式的主要性质: (1)对称性: a ? b ? b ? a (3)加法法则: a ...
人教版高中数学必修5第三章不等式3(附答案)
高一数学必修4同步练习:3... 暂无评价 10页 10财富...人教版高中数学必修5第三章不等式3(答案) 隐藏>...b 1 3 D. a ? b 2 3 2 3 3.若关于 x ...
人教版高中数学必修5必修5第三章不等式练习题及答案ABC卷
人教版高中数学必修5必修5第三章不等式练习题及答案ABC卷_数学_高中教育_教育专区。数学 5(必修)第三章:不等式 [基础训练 A 组] 一、选择题 1.若 ? 2 x...
...第二课时练习与答案-数学必修五第三章不等式3.2人教...
一元二次不等式及其解法第二课时练习答案-数学必修五第三章不等式3.2人教A版_数学_高中教育_教育专区。一元二次不等式及其解法第二课时练习答案-数学必修五...
高中数学必修5第三章不等式练习题含答案解析
高中数学必修5第三章不等式练习题含答案解析_数学_高中教育_教育专区。人教版高中...(a-3),a∈R,则有( ) A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 2x-y+2≥...
人教版高中数学必修5第三章不等式单元测试题及答案
人教版高中数学必修5第三章不等式单元测试题及答案_数学_高中教育_教育专区。人教...x+2?2-3 的结果为( ) 3x-5 A.y=-4x B.y=2-x C.y=3x-4 D.y=...
更多相关标签: