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高二上学期数学周测试题


高二数学文科周测试题 12.22
1. 如果 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是(
2 2



A. ?0,???

B. ?0,2 ?

C. ?1,?? ? )
2

D. ?0,1?

/>2. 给出下列四个命题:其中真命题的是(
2

A. 命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”; B. 命题“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”;
2 2

C.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题; D. “ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件.
2

3. 对于常数 m 、 n , mn ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 的曲线是椭圆”的( “
2 2



A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 4.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 为椭圆上一点,且∠PF1F2=30°, a2 b2
) C. 2- 3 D.

∠PF2F1=60°, 则椭圆的离心率 e=( A. 3-1 B.

2 2

3 3


5.已知直线 a( x ? 1) ? y ? A.两个交点 6. 双曲线

x2 1 ? 0 (a ? R) 和椭圆 ? y 2 ? 1 ,则直线和椭圆相交有( 2 3
C.没有交点 D.无法判断 )

B.一个交点

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则它的渐近线方程是( a2 b2
B. y ? ?

A. y ? ? 2 x

2 x 2

C. y ? ?2 x

D. y ? ?

1 x 2

7. F1 , F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点, A 为椭圆上一点,且∠ AF1 F2 ? 45 0 ,则 Δ AF1 F2 的面积为 9 7
B.



)A. 7

7 4

C.

7 2

D.

7 5 2

8.如图所示,椭圆 C1 、 C 2 与双曲线 C 3 、 C 4 的离心率分别是

e1 、 e 2 与 e 3 、 e 4 , 则 e1 、 e2 、 e 3 、 e 4 的大小关系是(
A. e2 ? e1 ? e3 ? e4 C. e1 ? e2 ? e3 ? e4 B. e2 ? e1 ? e4 ? e3 D. e1 ? e2 ? e4 ? e3



9. 已知点 P( x, y ) 在椭圆 A.

?2

x2 3 ? y 2 ? 1 上,则 x 2 ? 2 x ? y 2 的最大值为( 4 4
-1 , C. 2 D.7



B.

10. 已知椭圆

是椭圆长轴的一个端点,

是椭圆短轴的一个端点,

为椭圆的一

个焦点.若 AB⊥BF,则该椭圆的离心率为 ( A. B. C.

) D.

x2 y 2 ? ? 1 的一条弦被 A(4, 2) 平分,那么这条弦所在的直线方程是 ( 11.椭圆 36 9
A. x ? 2 y ? 0 B. 2 x ? y ? 10 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 D. x ? 2 y ? 8 ? 0

)

12. 双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的右焦点到它的渐近线的距离为 a2

13.若双曲线

x2 y2 3 x ,则双曲线的焦点坐标是_________ ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 2 4 m

3 . 4 15.已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点,在椭圆上满足 MF1 ? MF2 ? 0 的 M 点有四个,则椭圆离心率的取值
14.已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y= ± x ,则此双曲线的离心率为 范围是_____________。

x2 y2 16. 椭圆 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,过焦点 F1 的直线交该椭圆于 A, B 两点,若 ? ABF2 的内切 16 9
圆面积为 ? , A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 的值为
x


2

17.已知 c ? 0 且 c ? 1 ,设 p :指数函数 y ? (2c ? 1) 在 R 上为增函数, q :不等式 x ? ( x ? 2c) ? 2 的 解集为 R .若 p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,求 c 的取值范围.

x ? 10 ? 0, q : x 2 ? 2 x ? 1 ? a 2 ? 0(a ? 0), x?2 (1)若非 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 组成的集合 M. (2)对于 M 中的一切实数 x,不等式 ( x ? 2)m ? 2 x ? 1 恒成立,求实数 m 的取值范围
18.已知 p :

19.(Ⅰ) 设椭圆方程

x2 y2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 M 是椭圆上异于 A1 , A2 的任意一点,设 3 2

直线 MA1 , MA2 的斜率分别为 k1 , k 2 ,求证 k1 ? k2 为定值并求出此定值;

(Ⅱ)设椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 M 是椭圆上异于 A1 , A2 的任意 a 2 b2

一点,设直线 MA1 , MA2 的斜率分别为 k1 , k 2 ,利用(Ⅰ)的结论直接写出 k1 ? k2 的值。 (不必写出推理过程)

20.已知离心率为

x2 y 2 1 3 的椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 ,过(1, ) a b 2 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在实数 m ,使得在此椭圆 C 上存在不同两点关于直线 y ? 4 x ? m 对称,若存在请求出 m ,若 不存在请说明理由。

21. 已知离心率为

3 x2 y 2 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 M ? 2,1? , O 为坐标原点,平行于 OM 的直 2 a b

线 l 交椭圆于 C 不同的两点 A, B 。 (1)求椭圆的 C 方程。 (2)证明:若直线 MA, MB 的斜率分别为 k 1 、 k 2 ,求证:

k 1 + k 2 =0。

22. (本小题满分 12 分) 设双曲线

y2 x2 ? ? 1 的两个焦点分别为 F1 、F2 ,离心率为 2. 3 a2

(Ⅰ)求此双曲线的渐近线 l1 、l2 的方程; (Ⅱ)若 A 、 B 分别为 l1 、l2 上的点,且 2| AB| ? 5| F1 F2 | ,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程,并说明轨 迹是什么曲线;

DCBAA 12.1

ACADBD 15. (

2 8 7 ,1) 16. 2 7

解:当 p 为真命题时,

?函数 y ? (2c ? 1) x 在 R 上为增函数 ? 2c ? 1 ? 1 ,
∴当 p 为真命题时, c ? 1 ; 当 q 为真命题时, ∵不等式 x ? ( x ? 2c) ? 2 的解集为 R ,
2

?????????3 分

∴当 x ? R 时, x ? (4c ? 1) x ? (4c ? 2) ? 0 恒成立.
2 2

∴ ? ? (4c ? 1) ? 4 ? (4c ? 2) ? 0 ,∴ ?8c ? 9 ? 0
2 2

∴当 q 为真命题时, c ?

由题设,若 p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,则 p 和 q 有且只有一个为真,

9 . 8

?????????6 分

?c ? 1 ? (1)若 p 真 q 假,有 ? 9 ?c ? 8 ?

∴1 ? c ?

9 8

?????????8 分

?0 ? c ? 1 ? (2)若 q 真 p 假,∴有 ? 9 ? c ?? ?c ? 8 ?
(1)解: ?p : A ? ? x | x ? 10, 或x ? ?2?

?????????10 分

q : x 2 ? 2 x ? 1 ? a 2 ? 0,x ? 1 ? a, 或x ? 1 ? a, 记B ? ? x | x ? 1 ? a, 或x ? 1 ? a?

而 ?p ? q,? A

?1 ? a ? ?2 ?1 ? a ? ?2 ? ? B ,即 ?1 ? a ? 10 或 ?1 ? a ? 10 , ? M ? {a | 0 ? a ? 3} ?a ? 0 ?a ? 0 ? ?

(2)解:

若设

f ?x ? ? ?x ? 2?m ? ?2 x ? 1? ? ?m ? 2?x ? ?1 ? 2m? ,把它看成是关于 x 的直线,由
f ?0? ? 0
f ? 3? ? 0
解得:

题意知直线恒在 x 的轴的下方.所以

1 ?m?5 2
?????????12 分

∴综上所述,实数 c 的取值范围是 (1, ] 19.解: (Ⅰ) A1 ? 3, 0 , A2

?

? ?

3, 0 , M ? x0 , y0 ?

?

9 8

k1 ? k2 ?

y0

x0 ? 3 x0 ? 3

?

y0

?

y0 2 ??????????4 分 x0 2 ? 3

M ? x0 , y0 ? 在椭圆上有

x0 2 y0 2 2 ? ? 1 得 y0 2 ? ? 3 ? x0 2 ? ??????6 分 3 2 3

2 ? 3 ? x02 ? 2 y0 2 所以 k1 ? k2 ? 2 ?3 2 ? ? ??????????8 分 x0 ? 3 x0 ? 3 3
b2 (Ⅱ) k1 ? k2 ? ? 2 ??????????????????12 分 a
20.解: (1)

x2 y 2 ? ?1 4 3
y2 ? y1 1 ?? , x2 ? x1 4
2 2

(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 的中点 M ( x0 , y0 ) , k AB ?
2 2 2 2
2 2

而 3x1 ? 4 y1 ? 12, 3x2 ? 4 y2 ? 12, 相减得 3( x2 ? x1 ) ? 4( y2 ? y1 ) ? 0, 即 y1 ? y2 ? 3( x1 ? x2 ),? y0 ? 3x0 , 3x0 ? 4 x0 ? m, x0 ? ?m, y0 ? ?3m

而 M ( x0 , y0 ) 在椭圆内部,则

m 2 9m 2 2 3 2 3 ? ? 1, 即 ? ?m? 13 13 4 3
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a 2 b2

21. 解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为:

?c 3 2 , a ? b2 ? c2 ? ? ?a 2 ? 8 ? ? 2 ?? 2 由题意得: ? a ?b ? 2 ? 4 ? 1 ?1 ? ?a2 b2 ?
(Ⅱ)由直线 l // OM ,可设 l : y ?

∴ 椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 8 2

1 x ? m ,将式子代入椭圆 C 得: x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0 2

2 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m ? 4

设直线 MA 、 MB 的斜率分别为 k 1 、 k 2 ,则 k1 ?

y1 ? 1 x1 ? 2

k2 ?

y2 ? 1 x2 ? 2

1 1 x1 ? m ? 1 x2 ? m ? 1 2 2 下面只需证明: k1 ? k 2 ? 0 ,事实上, k1 ? k 2 ? ? x1 ? 2 x2 ? 2

? 1 ? m(

x1 ? x2 ? 4 1 1 ? 2m ? 4 ? ) ? 1? m ? ? 1? m ? 2 ? 0。 x1 ? 2 x2 ? 2 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 2m ? 4 ? 2(?2m) ? 4
2 2

22. 解: (Ⅰ)?e ? 2 , ? c ? 4a

?c 2 ? a 2 ? 3, ? a ? 1,c ? 2

? 双曲线方程为y 2 ?

x2 3 ? 1 ,渐近线方程为 y ? ? x 3 3

(Ⅱ)设 A( x1 ,y1 ) ,B( x2 ,y2 ) ,AB 的中点 M x,y

?

?

? 2| AB| ? 5| F1 F2 | ?| AB| ? 5 5 | F1 F2 | ? ? 2c ? 10 2 2

? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 10 3 3 x1 , y 2 ? ? x 2 , 2 x ? x 1 ? x 2 , 2 y ? y1 ? y 2 3 3 3 3 ? y1 ? y 2 ? ( x1 ? x 2 ) , y1 ? y 2 ? ( x1 ? x 2 ) 3 3 又 y1 ? ?

?

3 ( y1 ? y 2 )

?

2

? 3 ? ?? ( x1 ? x 2 ) ? ? 10 ? 3 ?

2

1 x 2 3y 2 ? 3(2 y ) 2 ? (2 x ) 2 ? 100,即 ? ?1 3 75 25
则 M 的轨迹是中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长为 10 3 ,短轴长为

10 3 的椭圆。 3


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