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空间点、直线、平面之间的位置关系教案-数学必修2第二章-点、直线、平面之间的位置关系2.1第一课时人教A版


人教 A 版 数学教案 第二章 2.1 第一课时

必修 2

第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 第一课时 2.1.1 平面 1 教学目标
[1] 了解平面的描述性概念。 [2] 了解平面的表示方法和基本画法。 [3] 理解公理 1、公理 2、公理 3。 [4] 能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系。 [5] 感知数学语言的美,激发学习兴趣。

2 教学重点/难点
教学重点:平面的概念及表示理解三条公理,能用三种语言分别表示。 教学难点:平面基本性质的掌握与运用。

3 专家建议
通过学生熟知的正方体、生活中的实例使学生对平面有感性的、初步的认识,借助学生已 有的直线的描述性概念, 通过类比让学生体验获得平面的描述性概念。 然后讲解平面的三个公 理,让学生掌握与产生兴趣。

4 教学方法
类比探究 ? 归纳讲解 ? 总结 ? 练习提高。

5 教学过程
5.1 复习引入 【师】 同学们, 我们来复习一下正方体的 8 个顶点、 12 条棱所在直线、 6 个面之间和位置关系? D1 A1 B1 D A 【生】学生讨论回答
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C1

C B

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【师】8 个顶点为A、B、C、D、 A1、B1、C1、D1 ,12 条棱为 AB、BC、CD、AD、A1B1、B1C1

C1D1、A1D1、AA1、BB1、CC1、DD1 ,六个平面为平面 ABCD、平面 A1B1C1D1 、平面 ADD1A1 、
平面 ABB1A1 、平面 BCC1B1 、平面 CDD1C1 。 位置关系:点与直线,点与平面关系(在直线或者平面上,不在直线或者平面里) 直线与直线(相交、平行、异面),直线与平面(相交、平行、在平面上) 平面与平面(平行、相交、重合) 【师】生活中哪些物体给我们以平面的形象? 【生】自由回答

5.2 新知介绍 [1] 平面的概念及表示 【师】请同学们回答下,什么样的图形是平面? 【生】讨论回答 【师】总结 (1)平面是理想的、绝对的平且无限延展的。 (2)平面是由它内部的所有的点组成的点集,其中每个点都是它的元素。 【师】那么平面的特征有哪些? 【生】讨论回答 【师】总结 (1)平的; (2)无厚度; (3)无限延展(无边界) 【师】那么平面的特征,那么我们怎么出一个平面,请同学们自己画出一个平面在草稿纸上, 我们来讨论下平面怎么画? 【生】讨论回答 【师】总结 平面的画法:通常画平行四边形来表示平面。(注意通常两字) 水平平面:通常画成锐角成 45°,横边等于邻边的两倍。 非水平平面:只要画成平行四边形。 直立的平面:一组对边为铅垂线。 相交的平面:一定要画出交线;遮住部分的线段画虚线或不画。 【师】现在请同学们画出这四个平面。 【生】学生动手操作。 【师】现在请同学们回答下平面怎么表示? 【生】讨论回答
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【师】 总结: 平面的表示:通常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(通常写在一个锐角内);也可以用 两个相对顶点的字母来表示,如平面 AC;还可以用四个字母表示,如平面 ABCD。 【师】我们之前复习了正方形中点与平面的关系,现在请同学回答,有哪几种关系? 【生】回答 【师】 总结: 点与平面的关系:点 A 在平面 ? 内,记作 A ? ? ;点 A 不在平面 ? 内,记作 A ? ? [2] 公理 1: 【师】如果一条直线上的两个点在某个平面内,那么这条直线与这个平面有什么关系? 【生】讨论回答 【师】总结得公理 1: 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 (即直线在平面内,或者平面经过直线) 【师】哪些地方可以用到公理 1 呢? 【生】讨论回答 【师】检验桌面是否平; 判断直线是否在平面内 【师】我们如何用符号表示点与直线和直线与平面关系? 【生】讨论回答 【师】总结: 点 A 的直线 l 上,记作:A∈l; 点 A 在直线 l 外,记作 A ?l; 直线 l 的平面α 内,记作 l ? α 。 【师】我们如何用符号表示公理 1? 【生】讨论回答 【师】总结:

A ? l , B ? l, A ?? , B ?? ? l ? ?
【例】将手中的笔假想成一条直线,将课桌面假想成一个平面,你觉得在什么情况下,才能使 你的笔所代表的直线上所有的点都能在桌面上? 【生】谈论回答 【师】总结: 在笔上取任意两点 A、B,使 A、B 两点咋桌子上,则笔所代表的直线会在桌子上。

[3] 公理 2: 【师】如果才能使三个点确定一个平面? 【生】讨论回答 【师】总结得公理 2: 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
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【师】公理 2 理解为: (1)不在同一条直线上; (2)一点、两点、三点、四点的情况; (3)有且只有一个,等价于确定。 【师】哪些地方可以用到公理 2 呢? 【生】讨论回答 【师】一扇门确定; 【师】我们如何用符号表示公理 2 的平面呢? 【生】讨论回答 【师】总结: 平面 ABC。 【例】下列命题是真命题吗? (1)经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。 (2)经过两条相交直线,有且只有一个平面。 (3)经过两条平行直线,有且只有一个平面。 【生】讨论回答 【师】总结: (1)真命题。理由:一条直线由两个点确定,所以符合公理 2,三点确定一个平面。 (2)真命题。理由:相交点加上在两条直线上各取一个任意点,同样三点符合公理 2。 (3)真命题。理由在一条直线上取两点,一条直线上取一点,则符合公理 2。 [4] 公理 3: 【师】如果两个平面不平行,那么他们会? 【生】讨论回答 【师】总结: 会相交,且相交成一条直线 得公理 3: 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 【师】公理 3 理解的“只有一个”: (1)存在一个; (2)最多一个; 【师】哪些地方可以用到公理 3 呢? 【生】讨论回答 【师】例如墙角;
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【师】我们如何用符号表示公理 3 的平面呢? 【生】讨论回答 【师】总结: 平面α和β相交,交线是 a,记作α∩β=a。
P ? A ? B ? A ? B ? l, P ? l

【例】如图, P ? a, P ? b; a ?? , b ? ? ;? ? ? ? l ,求 P与l的关系? 【生】讨论回答 【师】 解:?? ? ? ? l , P ? a ? ? , P ? b ? ? ,? P ? 。 (? ? ?) ?? ? ? ? l ,? P ? l 。 a

??
ι b

??

P [5] 小结 公理 3 推论 推论 1:进过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面

[6] 课堂小结 1、平面 (1)平面概念 平面是理想的、绝对的平且无限延展的。 平面是由它内部的所有的点组成的点集,其中每个点都是它的元素。 (2)平面特征 平的; (3)平面画法 2、公理 1: 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 (即直线在平 面内,或者平面经过直线) 3、公理 2: 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 4、公理 3: 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 无厚度; 无限延展(无边界)

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5.3 复习总结和作业布置 [1] 课堂练习 1.判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打“×” (1)可画一个平面,使它的长为 4 cm ,宽为 2 cm . (3)一个平面的面积为 20 cm2 . ( ) ) ) (2)一条直线把它所在的平面分成两部分,一个平面把空间分成两部分. ( (

2.下面是一些命题的叙述语( A , B 表示点, a 表示直线, ? 、 ? 表示平面),其中命题和 叙述方法都正确的是( ) A.∵ A ? ? , B ? ? ,∴ AB ? ? . B.∵ a ?? , a ? ? ,∴ ? ? ? ? a . C.∵ A ? a , a ? ? ,∴ A ? ? . 3.下列命题正确的是( ) A.经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 4.如图在四面体中,若直线 EF 和 GH 相交,则它们的交点一定( A.在直线 DB 上 B.在直线 AB 上 C.在直线 CB 上 D.都不对 5.用符号表示下列语句,并画出相应的图形: (1)点 A 在平面 ? 内,但点 B 在平面 ? 外. (2)直线 a 经过平面 ? 外的一点 M.
A F B H E
G C

D.∵ A ? a , a ? ? ,∴ A ? ? .


D

6.如右图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)直线 AC1 在平面 CC1B1B 内. (2)设正方形 ABCD 与 A1B1C1D1 的中心分别为 O 、 O1 , 则平面 AAC 1 1C 与平面 BB 1D 1 D 的交线为 OO 1. (3)由点 A、O、C 可以确定一个平面. (4)由 A、 C1 、 B1 确定的平面与由 A、 C1 、D 确定的平面 是同一平面. A D O B C A1 D1 O1 B1 C1

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课堂练习【参考答案】 1、(1)× 解析:平面是无限延伸的,没有长度; (2)√ 解析:直线与平面都是无限延伸的; (3)× 解析:平面是无限延伸的,没有大小; 2、A 解析:两点确定一条直线,直线上的两点在一个平面上,则这条直线在这个平面上。 3、D 解析:两两相交不共点的三条直线确定三个不在同一直线上的三点,则由公理 3 得到平 面。 4、A 解析: 平面 ABD 与平面 BCD 相交直线 BD, 直线 EF 在平面 ABD 里, GH 在平面 BCD 里, 它们相交一定在 DB 上。 5、解: (1) A ? ?;B ? ? ; (2) M ? a, M ? ? ; 6、解:(1)错误,理由:因为 A ? 平面BCC1B1 ;所以直线 AC1 不在平面 CC1B1B 内; (2)正确,理由:平面 AAC 1 1C 与平面 BB 1D 1 D 的交线为为 O和O1 ,两点确定一条直线,所以 交线是 OO1 (3)错误,理由:三点确定一个平面是不共线点 (4)正确,理由: A、D、B1、C1四点都在同一平面 ADC1B1内。

[2] 作业布置 1、复习本节课所讲内容 2、预习下一节课内容(向量加法运算及其几何意义)

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6 板书设计
第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 第三课时

一、复习上节课内容 1、正方体 8 个定点、12 条棱、6 个面的表示 2、正方体点直线与面的位置关系 二、公理 1 1、文字表示:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 2、举例:检验桌面是否平; 判断直线是否在平面内 3、符号表示: 4、例题

A ? l , B ? l, A ?? , B ?? ? l ? ?

三、公理 2 1、文字表示:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 2、举例:一扇门确定 3、符号表示:平面 ABC。 4、例题

四、公理 3 1、 文字表示: 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 2、举例:墙角 3、符号表示: 平面α和β相交,交线是 a,记作α∩β=a。
P ? A ? B ? A ? B ? l, P ? l

4、例题

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