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高三数学中档题训练11-15(带详细答案)


高三数学中档题训练 11
班级 姓名
1、一次口试中,每位考生要在 8 道口试题中随机抽出 2 道题回答,若答对其中 1 题即为及格.(1)某位 考生会答 8 道题中的 5 道题,这位考生及格的概率有多大? (2)若一位考生及格的概率小于 50%,则他最多只会几道题?

2 2.已知函数 y ? sin x ? 2sin x sin(

/>
?
2

? x) ? 3sin 2 (

⑴若 tan x ?

1 ? ,求 y 的值;⑵若 x ? [0, ] ,求 y 的值域. 2 2

3? ? x) . 2

3.某商品每件成本 9 元,售价为 30 元,每星期卖出 432 件,如果降低价格,销售量可以增加,且每星期 多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x (单位:元, 0 ? x ? 30 )的平方成正比,已知商品单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?

4、已知圆锥曲线 C 的焦点为 F (1, 0) ,相应的准线方程为 x ? 2 ,且曲线 C 过定点 B(0,1) .又直线 l 与曲 线 C 交于 M , N 两点. (1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)试判断是否存在直线 l ,使得点 F 是△ BMN 的重心 .若存在,求出对应的直线 l 的方程;若不存 .. 在,请说明理由; (3)试判断是否存在直线 l ,使得点 F 是△ BMN 的的垂心 .若存在,求出对应的直线 l 的方程;若不存 .. 在,请说明理由.

高三数学中档题训练 12
班级 姓名
1 、 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 a ? (3 cos? ,3sin ? ),b ? (2 cos? ,2 sin ? ) , 直 线 l 的 方 程 为 :

x cos ? ? y sin ? ?

1 1 ? 0 ,圆 C 的方程为 ( x ? cos ? ) 2 ? ( y ? sin ? ) 2 ? . 2 2

(1)若 a和b 的夹角为 60°时,直线 l 和圆 C 的位置关系如何?请说明理由; (2)若 a和b 的夹角为θ ,则当直线 l 和圆 C 相交时,求θ 的取值范围。

2.已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 . (Ⅰ)若 f ( x) ? 0 的解集是 (?1,3) ,求实数 a , b 的值; (Ⅱ)若 a 为整数, b ? a ? 2 ,且函数 f ( x) 在 ( ?2, ?1) 上恰有一个零点,求 a 的值.

3. 数列 {an } 满足 an ? 2an?1 ? 2n ? 1(n ? N , n ? 2), a3 ? 27. (1)求 a1 , a 2 的值; (2)记 bn ?

1 (a n ? t )( n ? N *) ,是否存在一个实数 t,使数列 {bn } 为等差数 2n

列?若存在,求出实数 t;若不存在,请说明理由; (3)求数列{ an }的前 n 项和 Sn.

4、已知⊙ Q 过定点 A(0, p)( p ? 0) ,圆心 Q 在抛物线 x2 ? 2 py 上运动, MN 为圆 Q 在 x 轴上所截得的 弦. (1)当 Q 点运动时, MN 是否有变化?并证明你的结论; (2)当 OA 是 OM 与 ON 的等差中项时,试判断抛物线 C 的准线与圆 Q 的位置关系,并说明理由.

y

Q
A

o

M

N

x

高三数学中档题训练 13
班级 姓名
1.如图已知在三棱柱 ABC——A1B1C1 中,AA1⊥面 ABC,AC=BC,M、N、P、Q 分别是 AA1、BB1、AB、B1C1 的 中点. (Ⅰ)求证:面 PCC1⊥面 MNQ; (Ⅱ)求证:PC1∥面 MNQ. C1 C Q B P A M A1 N B1

2.将圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 按向量

a ? (1, ?1) 平移得到圆 O .直线 l 与圆 O 相交于 P1 、 P2 两点,

l 若在圆 O 上存在点 P 3 ,使 OP 1 ? OP 2 ? OP 3 ? 0 ,且 OP 3 ? ? a(? ? R) ,求直线 的方程.

3. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直线 x ? 1 对称. ⑴证明: f ( x ) 是周期为 4 的周期函数; ⑵若 f ( x) ?

x (0 ? x ? 1) ,求 x ?[?5, ?4] 时,函数 f ( x) 的解析式.

4. 某地正处于地震带上,预计 20 年后该地将发生地震.当地决定重新选址建设新城区,同时对旧城区进 2 行拆除.已知旧城区的住房总面积为 64a m ,每年拆除的数量相同;新城区计划第一年建设住房面 2 积 a m ,开始几年每年以 100% 的增长率建设新住房,然后从第五年开始,每年都比上一年增加 a m 2 .设第 n (n ? 1, 且n ?N)年新城区的住房总面积为 an m 2 ,该地的住房总面积为 bn m 2 .
2 ⑴求 an ;⑵若每年拆除 4 a m ,比较 an +1 与 bn 的大小.

高三数学中档题训练 14
班级
1.已知复数 z ?

姓名

a 2 ? 7a ? 6 ? (a 2 ? 5a ? 6)i(a ? R) ,试求实数 a 分别为什么值时, z 分别为: (Ⅰ) a ?1

实数; (Ⅱ)虚数; (Ⅲ)纯虚数

x2 y2 3 2、若椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点(-3,2) ,离心率为 ,⊙的圆心为原点,直径为椭圆的短轴, 3 a b ⊙M 的方程为 ( x ? 8) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 4 ,过⊙M 上任一点 P 作⊙O 的切线 PA、PB,切点为 A、B.
(1)求椭圆的方程; (2)若直线 PA 与⊙M 的另一交点为 Q,当弦 PQ 最大时,求直线 PA 的直线方程; (3)求 OA ? OB 的最大值与最小值.

?n(n ? N * , n为奇数) ? 3、设函数 f (n) ? ? n , 数列{an }的通项 an ? f (1) ? f (2) ? f (3) * f ( )( n ? N , n 为偶数 ) ? ? 2 n ? ? f (2 )(n ? N * ) (1)求 a1,a2,a4 的值;
(2)写出 an 与 an—1 的一个递推关系式,并求出 an 关于 n 的表达式。 (3)设数列 {bn } 的通项为 bn ? log2 (3an ? 2) ? 10(n ? N * ),前n项和为S n ,整数 103 是否为数列

{bn ? S n } 中的项:若是,则求出相应的项数;若不是,则说明理由。

4.某地政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划成一个矩形高科技工业园区.已知

AB ? BC , DA ∥ BC 且 AB ? BC ? 2 AD ? 4 km ,曲线段 OC 是以点 O 为顶点且开口向右的抛物线的一段.
(1) 建立适当的坐标系,求曲线段的方程; (2)如果要使矩形的相邻两边分别落在 AB、BC 上,且一 个顶点落在 DC 上,问如何规划才能使矩形工业园区的用地面积 C 最大?并求出最大的用地面积(精确到 0.1km2).

O

A

B

高三数学中档题训练 15
班级 姓名
1、某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,并统计了他们的物理成绩(成绩均为整数且 满分为 100 分) ,把其中不低于 50 分的分成五段 ?50,60? , ?60,70? ? ?90,100? 后画出如下部分 频率分布 .. 直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (Ⅰ)求出物理成绩低于 50 分的学生人数; (Ⅱ)估计这次考试物理学科及格率(60 分及 以上为及格) (Ⅲ) 从物理成绩不及格的学生中选两人,求 他们成绩至少有一个不低于 50 分的概率.

组距 组数

0.03 0.025 0.015 0.005 50 60 70 80 90 100

分数

2.如图所示,在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,DB=BC, DB ? AC ,点 M 是棱 BB1 上一 点. (1)求证: B1 D1 // 面 A1 BD ; (2)求证: MD ? AC ;
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(3)试确定点 M 的位置,使得平面 DMC1 ? 平面 CC1 D1 D .

D1 A1 B1

C1

D A 3.已知双曲线的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,过双曲 点 F2 且斜率为 1 的 直线交双曲线于 A、B 两点,弦 AB 的中点为 T,OT 的斜率为

M

C

B

线右焦

1 , 3

(1)求双曲线的离心率; ( 2 )若 M 、 N 是双曲线上关于原点对称的两个点,点 P 是双曲线上任意一点,当直线 PN 斜率

? 1 1? k PN ? ? , ? ,试求直线 PM 的斜率 k PM 的范围。 ? 3 2?

4.已知函数 y ? f ( x ) ?

ln x . x
1 处的切线方程; e

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的图像在 x ? (Ⅱ)求 y ? f ( x) 的最大值;

(Ⅲ) 设实数 a ? 0 ,求函数 F ( x) ? af ( x) 在 ?a,2a? 上的最小值.

高三数学中档题训练 11
1、解: (1)8 道题中任抽出 2 道题的方法有 28 种,其中两题都在不会答的 3 道题中抽出的方法有 3 种, 25 故他及格的概率= 28
(2)如果他会 3 道题,那么两题不会答的方法有 10 种,他及格的概率仍大于 50%.当他只会 2 道题时, 抽 到 2 题 不 会 的 方 法 有 15 种 , 此 时 他 及 格 的 概 率 =

x? y ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos2 x ? 2 s i n ( 2
⑴ y?

?
4

13 ? 50 % . 即 他 最 多 会 2 题 . 2 . 解 : 28

) ? 2

sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos 2 x tan 2 x ? 2 tan x ? 3 17 ? ? . 5 sin 2 x ? cos 2 x tan 2 x ? 1
2 sin(2 x ? ) ? 2 在 [0, ] 上单调递增,在 [ , ] 上单调递减. 4 8 8 2
时, ymax ? 2 ? 2 ;当 x ?

⑵ 函数 y ? 所以,当 x ?

?

?

? ?

?

?

8

2

时, ymin ? 1.

故 y 的值域为 [1, 2 ? 2] . 3. 解: (1)设商品 降价x 元,则多卖的商品数为 kx ,若记商品在一个星期的获利 为 f ( x ) ,则依题意有 f ( x) ? (30 ? x ? 9)(432 ? kx2 ) ? (21 ? x)(432 ? kx2 ) ,
2

· 22 ,于是有 k ? 6 , 又由已知条件, 24 ? k
所以 f ( x) ? ?6x ? 126x ? 432x ? 9072 ,x ?[0, 30] .-------------8 分
3 2

(2)根据(1) ,我们有 f ?( x) ? ?18x ? 252x ? 432 ? ?18( x ? 2)( x ? 12) .
2

x
f ?( x )
f ( x)

2? ?0,
?


2 0 极小

(2, 12)

12 0 极大

30? ?12,
?


?


故 x ? 12 时, f ( x ) 达到极大值.因为 f (0) ? 9072 , f (12) ? 11264 , 所以定价为 30 ? 12 ? 18 元能使一个星期的商品销售利润最大. --------16 分 4.解:(1)根据圆锥曲线的第二定义知,曲线 C 的离心率根据圆锥曲线的第二定义知,曲线 C 的离心率 e = (1-0)2+(0-1)2 x 2 ? y2 ? 1 . = <1,故为椭圆,根据条件解得曲线 C 的轨迹方程为: 2 2-0 2
2

-----------------4 分;

x2 ? y 2 ? 1 .的交点 M、N 的坐标 (2)假设存在直线 l,使得点 F 是△BMN 的重心. 再设直线 l 与椭圆 2
分别为 M(x1,y1)、N(x2,y2),则由椭圆几何性质的范围性知:- 2≤x1≤ 2, - 2≤x2≤ 2,则 -2 2≤x1+x2≤2 2<3, 另一方面, F(1,0)是△BMN 的重心, 结合 B(0,1)及重心坐标公式知 3 ×1=0+x1+x2,即 x1+x2=3,这与 x1+x2≤2 2<3 矛盾, 故满足要求的直线 l 不存在. --------------8 分; (3)假设存在直线 l,使得点 F 是△BMN 的垂心. 由 B(0,1)、F(1,0),知直线 BF 的斜率为-1. 于是,

由 BF⊥MN,知直线 l 的斜率为 1. +4bx+2(b -1)=0 (*)
2

设直线 l 方程为 y=x+b. 与

x2 2 ? y 2 ? 1 联立消去 y, 得 3x 2

4b 2b -2 设 M(x1,y1)、N(x2,y2),根据韦达定理得 x1+x2=- , x1x2= . 3 3 若再能保证 NF⊥BM,即·=0,则 F 必为△BMN 的垂心. ∵=(1-x2,-y2), =(x1,y1-1) ·=(1-x2)x1-y2(y1-1)=x1+y2-x1x2-y1y2=x1+(x2+b)-x1x2-(x1+b)(x2+b) =-2x1x2+(1-b)(x1+x2)+b-b =-2·
2 2

2

2b -2 4b 2 +(1-b)(- )+b-b =0 3 3

4 2 即 3b +b-4=0,解得 b=1 或 b=- . 3 当 b=1 时,点 B 即为直线 l 与椭圆的交点,不合题意; 4 16 14 162 14 88 当 b=- 时,代入方程(*)得 3x2- x+ =0,其判别式△= -4× 3× = >0,则两端点存在, 3 3 9 9 9 9 4 满足题设.综上得,存在直线 l: y=x- ,使得点 F 是△BMN 的垂心. ---------------------16 分高三数 3

学中档题训练 12
1.解: (1) a ? b ? 6 cos? cos? ? 6 sin ? sin ? ? 6 cos(? ? ? ) ?| a | ? | b | ? cos60? =3

? cos( ? ? ? ) ?

1 2

????2 分

设圆心到直线 l 的距离为 d,则

d?

| cos? cos ? ? sin ? sin ? ? 1

1 | 2 ?| cos(? ? ? ) ? 1 |? 1 ? 2 ? r 2 2
????6 分

? d ? r 即直线 l 与圆 C 相离

(2)由 a ? b ? 6 cos(? ? ? ) ? 6 cos? ? cos(? ? ? ) ? cos? ????8 分 由条件可知, d ?| cos? ?

1 2 |? 2 2

????10 分

又∵向量的夹角的取值范围是[0,π ]

? ?1 ? cos? ? ?? ? (arccos

2 ?1 2

????12 分 ????14 分 2.解: (Ⅰ)? 不等式 ax 2 ? bx ? 1 ? 0 解集是 (?1,3) ,故

方程 ax 2 ? bx ? 1 ? 0 的两根是 x1 ? ?1, x2 ? 3 ,

2 ?1 ,? ) 2

1 b ? x1 x2 ? ?3 , ? x1 ? x2 ? 2 . a a 1 2 所以 a ? ? , b ? ? . 3 3 1 (Ⅱ)当 a=0 时,f(x)=0,x= ,不合题意. 2

4分 6分 8分

当 a≠0 时,

b ? a ? 2,? f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? 1, ? ? (a ? 2)2 ? 4a ? 0
函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 必有两个零点, 又函数 f ( x) 在 ( ?2, ?1) 上恰有 一个零点,故 f (?2) f (?1) ? 0 , 9分 11 分

(6a ? 5)(2a ? 3) ? 0 ,

3 5 ? ?a?? 2 6,
又 a ? Z ,? a ? ?1 . 3. 解: (1)由 a 3 ? 27,27 ? 2a 2 ?23 ? 1

13 分 14 分

?a 2 ? 9
? 9 ? 2a1 ?2 2 ?1

?a1 ? 2 ??????????4 分
(2)假设存在实数 t,使得 {bn } 为等差数列。 则 2b n ?b n?1 ?b n?1

?2?

1 1 1 (a n ?t ) ? n ?1 (a n ?1 ?t ) ? n ?1 (a n ?1 ?t ) n 2 2 2

? 4a n ? 4a n?1 ?a n?1 ?t
? 4a n ? 4 ?
?t ? 1

a n ?2 n ? 1 ? 2a n ?2 n?1 ? t ? 1 2

? 存在 t=1,使得数列 {b n } 为等差数列。??????????9 分
(3)由(1) 、 (2)知: b1 ? 又 {b n } 为等差数列。

3 5 ,b 2 ? 2 2

bn ? n ?

1 2

1 ?a n ? (n ? ) ? 2 n ? 1 ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 ? 1??????11 分 2

?S n ? 3 ? 20 ? 1 ? 5 ? 21 ? 1 ? 7 ? 22 ? 1 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n?1 ? 1

? 3 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ? n

? 2S n ? 3 ? 2 ? 5 ? 22 ? 7 ? 23 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? 2n

??S n? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ?? 2 ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n ? n
? 1? 2? 1 ? 2n ? (2n ? 1) ? 2 n ? n 1? 2

? (1 ? 2n) ? 2 n ? n ? 1
?S n ? (2n ? 1) ? 2n ? n ? 1 ??????????14 分
2 4、解: (1)设 Q( x0 , y0 ), 则 x0 ? 2 py0 ( y0 ? 0)

则⊙ Q 的半径 | QA |?

2 x0 ? ( y0 ? p) 2 ,

2 ⊙ Q 的方程为 ( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y 0) 2 ? x 0 ? ( y 0 ? p) 2

令 y ? 0 ,并把 x02 ? 2 py0 代入得 x2 ? 2x0 x ? x02 ? p2 ? 0 , 解得 x1 ? x0 ? p , x2 ? x0 ? p , ∴ | MN |?| x1 ? x2 |? 2 p , ∴ | MN | 不变化,为定值 2 p . (2)不妨设 M ( x 0 ? p,0), N ( x 0 ? p,0) 由题义: 2 | OA |?| OM | ? | ON | ,得 2 p ?| x 0 ? p | ? | x 0 ? p | ∴ ? p ? x0 ? p

Q 到抛物线准线 y ? ?

p x2 ? p2 p 的距离 d ? y 0 ? ? 0 2 2p 2
2 x0 1 4 x0 ? 4p4 x ? ( y0 ? p) ? x ? ( ? p) 2 ? 2 p 2p 2 0 2 2 0

⊙ Q 的半径 r = | QA |?

3 2 ( p 2 ? x0 ) 4 4 2 2 2 2 2 x ? 4 p ( x ? p ) ? 2 x ? 3 p 2 2 0 0 0 2 r ?d ? ? ? ? 4 p2 4 p2 2

2 x0 ? p2 ?

3 2 p ( p ? 0) ,故 r ? d , 2

y

即⊙ Q 与抛物线的准线总相交.

高三数学中档题训练 13
1. (Ⅰ)∵AC=BC, P 是 AB 的中点

Q
A

o

M

C

N
B

x
N M

C1 Q B1 A1

P A

∴AB⊥PC ∵AA1⊥面 ABC,CC1∥AA1, ∴CC1⊥面 ABC 而 AB 在平面 ABC 内 ∴CC1⊥AB, ∵CC1∩PC=C ∴AB⊥面 PCC1; 5分 又∵M、N 分别是 AA1、BB1 的中点,四边形 AA1B1B 是平行四边形,MN∥AB, ∴MN⊥面 PCC1 ∵MN 在平面 MNQ 内, ∴面 PCC1⊥面 MNQ; 8分 (Ⅱ)连 PB1 与 MN 相交于 K,连 KQ, ∵MN∥PB,N 为 BB1 的中点, ∴K 为 PB1 的中点. 又∵Q 是 C1B1 的中点 ∴PC1∥KQ 14 分 而 KQ ? 平面 MNQ,PC1 ? 平面 MNQ ∴PC1∥面 MNQ. 的方程为 x2 ? y 2 ? 2 ,于是 ? ? ?1 . 16 分 2. 解: 由题意可知圆 O

? ? 1 时,设 P1 ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) ,则由 OP 1 ? OP 2 ? OP 3 ? 0 得,
1 1 , ). x1 ? x2 ? ?1 , y1 ? y2 ? 1 . 所以 PP 1 2 的中点坐标为 ( ? 2 2

l l 1 又由 OP 1 ? OP 2 ? ?OP 3 ,且 | OP 1 |?| OP 2 | ,可知直线 与直线 OP 3 垂直,即直线 的斜率为 .
1 1 此时直线 l 的方程为 y ? ? x ? ,即 x ? y ? 1 ? 0 . 2 2

? ? ?1 时,同理可得直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 .
故直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 .3.证明:⑴由函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称,有

f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ,
即有 f (? x) ? f ( x ? 2) . 又函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,有 f (? x) ? ? f ( x) . 故 f ( x ? 2) ? ? f ( x) . 从而 f ( x ? 4) ? ? f ( x ? 2) ? f ( x) . 即 f ( x ) 是周期为 4 的周期函数. ⑵由函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,有 f (0) ? 0 .

x ?[?1, 0) 时, ? x ? (0,1] , f ( x) ? ? f (?x) ? ? ? x .故 x ?[?1, 0] 时, f ( x) ? ? ? x . x ?[?5, ?4] 时, x ? 4 ?[?1,0] , f ( x) ? f ( x ? 4) ? ? ?x ? 4 .
从而, x ?[?5, ?4] 时,函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? ? ? x ? 4

4.解:⑴设第 n 年新城区的住房建设面积为 cn m 2 ,则 当 1 ? n ? 4 时, cn ? 2n?1 a ;当 n ? 5 时, cn ? (n ? 4)a . 所以, 当 1 ? n ? 4 时, an ? (2n ?1)a ; 当 n ? 5 时, an ? a ? 2a ? 4a ? 8a ? 9a ? …? (n ? 4)a ?
?(2n ? 1)a(1 ? n ? 4), ? 故 an ? ? n2 ? 9n ? 22 . a(n ? 5). ? ? 2

n 2 ? 9n ? 22 a. 2

⑵ 1 ? n ? 3 时, an?1 ? (2n?1 ?1)a , bn ? (2n ?1)a ? 64a ? 4na ,显然有 an?1 ? bn .

n ? 4 时, an?1 ? a5 ? 24a , bn ? b4 ? 63a ,此时 an?1 ? bn . 5 ? n ? 1 6 时, an ?1 ?

n 2 ? 11n ? 12 n2 ? 9n ? 22 a , bn ? a ? 64a ? 4na , 2 2

an?1 ? bn ? (5n ? 59)a . 所以, 5 ? n ? 11 时, an?1 ? bn ;12 ? n ? 16 时, an?1 ? bn .
n ? 17 时,显然 an?1 ? bn . 故当 1 ? n ? 11 时, an?1 ? bn ;当 n ? 12 时, an?1 ? bn .

高三数学

中档题训练 14
?a 2 ? 5a ? 6 ? 0 1.解: (Ⅰ)当 z 为实数时,则 ? ?a ? 1 ? 0
? a ? ?1 或 a ? 6 ,且 a ? ?1,?当 a ? 6 时, z 为实数.
5分

?a 2 ? 5a ? 6 ? 0 (Ⅱ)当 z 为虚数时,则 ? ?a ? 1 ? 0
? a ? ?1 且 a ? 6 , z 为虚数.
10 分

?a ? 5a ? 6 ? 0 ? 2 (Ⅲ)当 z 为纯虚数时,则 ?a ? 7a ? 6 ? 0 ?a ? 1 ? 0 ?
2

? a ? 1 , z 为纯虚数.

14 分 2.解: (1)由题意得:

4 ?9 ?a2 ? b2 ? 1 ? 2 ? 3 ?c ?a ? 15 ? ? ? ? 2 3 ? ?a ?b ? 10 2 2 2 ?a ? b ? c ? ?

所以椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 15 10

????????5 分

(2)由题可知当直线 PA 过圆 M 的圆心(8,6)时,弦 PQ 最大 因为直线 PA 的斜率一定存在, 设直线 PA 的方程为:y-6=k(x-8) 又因为 PA 与圆 O 相切,所以圆心(0,0)到直线 PA 的距离为 10 即

| 8k ? 6 | 1? k
2

? 10

可得 k ?

1 13 或k ? 3 9

所以直线 PA 的方程为: x ? 3 y ? 10 ? 0或13x ? 9 y ? 50 ? 0 ?????11 分 (3)设 ?AOP ? ? 则 ?AOP ? ?BOP, ?AOB ? 2?

OA 2 20 ) ?1 ? ?1 OP OP 2 ? | OP |max ? 10 ? 2 ? 12, | OP |min ? 10 ? 2 ? 8 200 ? OA ? OB ?| OA | ? | OB | cos ?AOB ? ? 10 OP 2 55 155 ? (OA ? OB ) max ? ? , (OA ? OB ) min ? ? ? ? ? ? 16 8 18
2 则 cos ?AOB ? 2 cos ? ? 1 ? 2(



3.

解 : (

1



a1 ? f (1) ? f (2) ? f (1) ? f (1) ? 2 a2 ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (1) ? f (3) ? f (1) ? f (2) ? 1 ? 3 ? a1 ? 6 a4 ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (16) ? 86
(2) an?1 ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2 n?1 ) ????4 分 ????5 分

a n ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2 n ) ? f (1) ? f (3) ? f (5) ? ? ? f (2 n ? 1) ? f (2) ? f (4) ? f (6) ? ? ? f (2 n ) ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2 n ? 1) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2 n ?1 )

? an ? an?1 ? 4 n?1 (n ? 2)
? a n ? 2 ? 4 ? 4 2 ? ? ? 4 n ?1 ?
(3)? bn ? 2n ? 10, S n ?

????8 分

4n ? 2 3

????10 分

n(b1 ? bn ) ? n(n ? 9) 2
????12 分

? bn ? sn ? 2n(n ? 5)(n ? 9)
而b1 S1 ? 64, b2 S 2 ? 84, b3 S 3 ? 72, b4 S 4 ? 40 5 ? n ? 9时, bn S n ? 0 10 ? n ? 13时, bn S n ? b13 S13 ? 832 ? 103 n ? 14时, bn S n ? b14 S14 ? 1260 ? 103
故 10 不是数列 {bn S n } 中的项
3

????16 分

4. 解 ( Ⅰ ) 以 O 为原点, OA 所在直线为 y 轴建立直角坐标系如图,依题意可设抛物线方程为

y 2 ? 2 px( p ? 0)





C



4



2



.

? 22 ? 2 p ? 4 ? p ?

1 . 2
O (Ⅱ) 则在矩 积

故曲线段 DC 的方程为 y 2 ? x(0 ? x ? 4,y ? 0) . 设 P( y 2 ,y)(0 ? y ? 2) 是曲线段 OC 上的任意一点, 形 PQBN 中, | PQ| ? 2 ? y,| PN | ? 4 ? y 2 . ? 工业区面

S ?| PQ | ?PN |? (2 ? y)(4 ? y 2 ) ? ? y3 ? 2 y 2 ? 4 y ? 8 .



S ? ? ?3 y 2 ? 4 y ? 4





S' ? 0



2 2 2 2 S? ? 0 , S 是 y 的增函数; 当 y ? ( , 2) 时, y1 ? ,y1 ? ?2 . 0 ? y ? 2, ? y ? .当 y ? (0, ) 时, S' ? 0 , 3 3 3 3 2 32 8 2 S 是 y 的减函数. ? y ? 时,S 取到极大值,此时 | PQ| ? 2 ? y ? | PN | ? 4 ? y ? 3 9 3 32 8 8 32 256 km , 故S ? ? 当矩形的长为 宽为 km ? ? 9.5 . ? y ? 0 时 S ? 8 ,? Smax ? 9.5( km2 ) . 答: 9 3 3 9 27 2 时,园区面积最大,约为 9.5km .

高三数学中档题训练 15
1、 (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为各组的频率和等于 1,故低于 50 分的频率为: f1 ? 1 ? (0.015? 2 ? 0.03 ? 0.025? 0.005) ?10 ? 0.1 ????????????3 分

所以低于 50 分的人数为 60 ? 0.1 ? 6 (人)????????????????.5 分 (Ⅱ)依题意,成绩 60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组(低于 50 分的为第一组) , 频率和为 (0.015 ? 0.03 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? 0.75 所以,抽样学生成绩的合格率是 75 %????????????????????8 分. 于是,可以估计这次考试物理学科及格率约为 75 %??????????????9 分. (Ⅲ) “成绩低于 50 分”及“[50,60)”的人数分别是 6,9。所以从成绩不及格的学生中选两人,他们成绩 至少有一个不低于 50 分的概率为:

P ? 1?


6?5 6 ? 15 ? 14 7

?????????????????14 分

2. (1)证明:由直四棱柱,得 BB1 // DD1 , 且BB1 ? DD1 , …………………(3 分)

所以 BB1D1D 是平行四边形,所以 B1D1 // BD

而 BD ? 平面A 1 BD ………(4 分) 1BD , B 1D 1 ? 平面A 1 BD ,所以 B1 D1 // 面 A (2)证明:因为 BB1 ? 面ABCD,AC ? 面ABCD , 所以 BB1 ? AC ……(6 分) 又因为 BD ? AC ,且 BD ? BB1 ? B ,所以 AC ? 面BB1D 而 MD ? 面BB1D ,所以 MD ? AC ……… ……(8 分)

…………………………(9 分)

(3)当点 M 为棱 BB1 的中点时,平面 DMC1 ? 平面 CC1 D1 D …………………(10 分) 取 DC 的中点 N, D1C1的中点N1 ,连结 NN1 交 DC1 于 O ,连结 OM . 因为 N 是 DC 中点,BD=BC,所以 BN ? DC ;又因为 DC 是面 ABCD 与面 DCC1D1 的交线,而面 ABCD⊥面 DCC1D1 , 所以 BN ? 面DCC1D1 ……………(12 分) 又可证得 , O 是 NN1 的中点 , 所以 BM ∥ ON 且 BM=ON, 即 BMON 是平行四边形,所以 BN∥OM,所以 OM ? 平面 CC1 D1 D , 因为 OM D A B D1 A1 O N B1 M N1 C1

C

DMC1,所以平面 DMC1 ? 平面 CC1 D1 D ………………………(14 分)3.解: (1)根据题意

设双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) a2 b2 点 A 为 ( x1 , y1 ) B 点为 ( x2 , y 2 )

T 点为 ( x0 , y0 )

? x1 2 y1 2 ? 2 ? 2 ?1 1 1 ?a b ? ( x ? x )( x ? x ) ? ( y 2 ? y1 )( y 2 ? y1 ) ? 0 则? 2 1 2 1 2 2 2 2 a b x y ? 2 ? 2 ?1 ? b2 ? a2 y0 1 y 2 ? y1 y 2 ? y1 1 1 ? 2 x ? ? 2 y ? ? , ?1 ,又 0 0 x2 ? x1 x0 3 x2 ? x1 a2 b2 1 1 2 ? 2 ? 2 x0 ? 2 ( x0 ) ? 1 ? a 2 ? 3b 2 即 a ? 3b a b 3 c 2 3 ? c ? 2b ?????????????(10 分) e? ? a 3 (2)设 M ( x1 , y1 ), P 为 ( x, y ) ,则 N (? x1 ,? y1 )
? x1 2 y1 2 ? 2 ? 2 ?1 1 1 ? b ? 2 ( x ? x1 )( x ? x1 ) ? 2 ( y ? y1 )( y ? y1 ) ? 0 则?a 2 2 a b ?x ? y ?1 ? ?a2 b2 1 1 y ? y1 y ? y1 1 1 1 ? 2? ? ,即 2 ? 2 ? k PM ? k PN ,? k PM ? 2 3b b 3k PN a b x ? x1 x ? x1 1 1 2 ? k PM ? [ ,1] ?????????? 又 k PN ? ( , ] 3 2 3 4.解(Ⅰ)? f ( x) 定义域为 ?0,??? 1 - lnx ? f / (x) ? 2分 x2 1 ? f ( ) ? ?e e / 1 2 又 ? k ? f ( ) ? 2e 4分 e

?(16 分)

? 函数 y ? f ( x) 的在 x ?

1 处的切线方程为: e
5分 6分

1 y ? e ? 2e 2 ( x ? ) ,即 y ? 2e 2 x ? 3e e
(Ⅱ)令 f / ( x) ? 0 得 x ? e

? 当 x ? (0, e) 时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, e) 上为增函数
当 x ? (e,??) 时, f / ( x) ? 0 ,在 (e,??) 上为减函数 8分 10 分

? f max ( x) ? f (e) ?

1 e

(Ⅲ)? a ? 0 ,由(2)知:

F ( x) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e,??) 上单调递减.

? F ( x) 在 ?a,2a? 上的最小值 f min ( x) ? min{F (a), F (2a)}
? F ( a ) ? F ( 2a ) ? 1 a ln 2 2
12 分 14 分 16 分

? 当 0 ? a ? 2 时, F (a) ? F (2a) ? 0, f min ( x) ? F (a) ? ln a
当 2 ? a 时 F (a) ? F (2a) ? 0 , f min ( x) ? F ( 2a ) ?

1 ln 2a 2


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