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第1章集合与常用逻辑用语 集合的概念及其基本运算 教师版2012-10-21完成


第 1 章集合与常用逻辑用语

1.1 集合的概念及其运算 教师

第 1 章 集合与常用逻辑用语
高考导航
江苏考纲解读 1.了解集合的含义,理解子集、交集、并集、补集的概念. 2.了解空集和全集的意义,了解属于、包含、相等关系的意义. 3.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合. 4.了解命题的四种形

式,了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义,会分析四种命题 的相互关系. 5.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,会判断必要条件、充分条件与充要条件. 6.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义,能用“或”、“且”、“非”表达相关的数学内容. 7.了解全称量词与存在量词的含义,能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容,了解 对含有一个量词的命题否定的意义,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

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第 1 章集合与常用逻辑用语

1.1 集合的概念及其运算 教师

1.1 集合的概念及其基本运算
考情分析
纵观近几年江苏省的高考, 集合几乎是每年必考的内容之一, 一般是以一道填空题的形式出 现.在高考考查中,主要考查集合的概念,集合间的关系,以子集、真子集、空集的定义为 重点,突出考查对集合语言的认识和理解,同时,在集合题中结合了函数、不等式等有关的 知识,有时题目的序号还比较靠后,如 2009 年高考江苏卷第 11 题.

预测江苏高考中,集合题依然会以考查集合的概念、集合间的关系及运算等形式 出现,但是知识载体有可能与函数的定义域、值域、或不等式的解集有关. 基础梳理
1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特征:①_______;②________;③________. (2)元素与集合的关系:包括属于和不属于两种,分别用符号___和___来表示. (3)集合有三种表示方法:______、______、__________. 注意:区分集合中代表元素的形式:如:A={x|y=x2+2x+1};B={y|y=x2+2x+1};C= {(x,y)|y=x2+2x+1};D={x|x=x2+2x+1};E={(x,y)|y=x2+2x+1,x∈Z,y∈Z};F y ={z|y=x2+2x+1,z= }. x 2.常用数集及其符号表示 数集 记法 自然数集 N 正整数集
N *或N +

整数集 Z

有理数集 Q

实数集 R

思考感悟
1.?,{?},{0}有什么区别? 提示:集合{?}不是空集.空集是不含任何元素的集合,而集合{?}中有一个元素?.集合{?} 与集合{0}的区别是它们的元素不同,其中{?}的元素为?,{0}的元素为 0. 2.对集合符号??A,如何理解? 提示:空集?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,??A,说明集合 A≠?或 A=?, 即对集合 A 应分为两类情况讨论. 3.集合间的基本关系 表示 子集 集合 间的 关系 真子集 空集 相等 定义(文字语言) 集合 A 中的_________元素都是集合 B 中的元素 集合 A?B,并且 A≠B,则集合 A 是集合 B 的真子集 不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集 集合 A 与集合 B 中元素都相同 ____且___?A=B 记法(符号语言)

A?B 或 B?A

注意:条件为 A?B,在讨论的时候不要遗漏了 A=?的情况.

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4.集合的基本运算 集合的并集 符号 表示 图形 表示 _______ 集合的交集 ______ 集合的补集 若全集为 U,则集合 A 的补集 为_______

意义

A∪B={x|x∈A 或 x∈B}

A∩B={x|x∈A 且 x∈B}

?UA={x|x∈U 且 x?A}

课前热身
1.(高考江苏卷)设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a 的值为 ________. 解析:若 a+2=3,a=1.检验此时 A={-1,1,3},B={3,5},A∩B={3},满足题意. 答案:1 2.(高考课标全国卷改编)已知集合 A={x||x|≤2,x∈R},B={x| x≤4,x∈Z},则 A∩B= ________. 解析:由已知 A={x||x|≤2,x∈R}={x|-2≤x≤2},B={x| x≤4,x∈Z}={x|0≤x≤16,x ∈Z},则 A∩B={x|0≤x≤2,x∈Z}={0,1,2}. 答案:{0,1,2} 3. (徐州调研) 已知集合 A=[1,5), B=(-∞, a), 若 A?B, 则实数 a 的取值范围是________. 答案:a≥5 4.已知集合 P={1,2},那么满足 Q ?P 的集合 Q 的个数是______. 答案:4

考点突破
考点一 集合的表示方法 本考点意在说明集合的构成形式不惟一,可以是数、字母、点,还可以是具有其他性质的元 素,明确集合中的代表元素的性质,是解决集合问题的关键. 例 1 (苏州质检)设集合 M={x||x|≥3,x∈R},N={y|y=x2,x∈M},则 M 与 N 的关系为 ________. 【分析】集合 M 为不等式的解集,集合 N 为二次函数的值域,但是 x∈M 使范围有了限制. 【解析】 |x |? 3 ? x ? ?3或x ? 3 ∴集合 M={x|x≤-3 或 x≥3}. 由 y=x2,x∈M,∴x2≥9,∴y≥9,集合 N={y|y≥9}. 显然 N M. 【答案】 N M 【点评】 集合中元素的形式及满足的条件,是解答本题的基础,对于集合 N,易理解成 x ∈R,即 y≥0 而出错.因而读题要完整并准确. 考点二 集合中元素的特征 本考点主要是讲集合中元素的特征对解有关问题的影响, 元素与集合间的从属关系的准确把 握是作出判断的关键.

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例 2 (常州质检)已知集合 A ? {0,1}, B ? {a 2 , 2a}, a ? R ,我们把集合

{x | x ? x1 ? x2 , x1 ? A, x2 ? B} 记作 A×B,若集合 A×B 中的最大元素是 2a+1,则 a 的取值
范围是________. 【分析】 由元素的互异性知集合 B 中 a ? 2a ,写出 A×B 的元素,比较大小,限制是 2a +1 最大.
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【解析】 由题意知,集合 B 中, a ? 2a ,∴a≠0,a≠2.
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∵A×B= {x | x ? x1 ? x2 , x1 ? A, x2 ? B} ,∴A×B={ a ,2a,1+a2,1+2a}.
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∵a2<1+ a ,2a≤1+a2,∴元素 1+2a 最大,只需 1+2a>1+ a ,解得 0<a<2. ∴a 的取值范围是(0,2).【答案】 (0,2) 【点评】 本题易把 A×B 看成两个元素构成,即由 0+ a ,1+2a 构成;其次求出 A×B 中 四个元素后,应先观察其大小顺序,避免不必要的麻烦. 考点三 集合间的关系 本考点主要探究子集、真子集形成的集合间关系.判断集合与集合的关系,基本方法是归纳 为判断元素与集合的关系.对于用描述法表示的集合,要紧紧抓住代表元素及它的属性,可 将元素列举出来直接观察或通过元素特征,求同存异,定性分析. 例 3 设集合 A={x|x2+4x=0},B={x| x +2(a+1)x+ a -1=0},若 B?A,求实数 a 的取值范围. 【分析】 B?A,即 B 是 A 的子集,包括 B 可能是空集、解决有关集合之间的关系问题 ,空集这一重要的集合不能忘. 【解】由题意知 A={0,-4}.又 B?A,∴B=?或 B={0}或 B={-4}或 B={0,-4}. 当 B=?时,方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0 无实根, ∴Δ<0,即 4(a+1)2-4(a2-1)<0,∴a<-1. ?Δ=0, ? 当 B={0}时,由? 2 得 a=-1. ?a -1=0, ?
? ?Δ=0, 当 B={-4}时,由? 2 无解. ?a -8a+7=0, ? 当 B={0,-4}时,由根与系数的关系得 a=1. 综上所述,a=1 或 a≤-1. 【 点 评 】 (1) 元 素 与 集 合 之 间 的 关 系 用 “ ∈ ”“ ? ” , 集 合 与 集 合 之 间 的 关 系 用 “?”“ ”“ ? ? ”,注意两种关系的异同. (2)B?A,注意不要丢掉 B=?,空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. (3)A=B?A?B 且 B?A,用文字语言叙述为:两个集合相等,则这两个集合中的元素完全 相同. 互动探究 1 在例 3 中,条件“B?A”改为“A?B”,其他不变,结果如何? 【解】由例 3 知 A={0,-4}, 而 A?B,可知集合 B 中的一元二次方程有两根 0,-4, ∴由根与系数的关系可知, ?0+?-4?=-2?a+1? ? ? ,解之得 a=1. 2 ?0×?-4?=a -1 ? 考点四 集合的运算 主要涉及集合的交集、并集、补集或集合相等的运算.重点体现集合的有关概念及运算性质 的灵活运用.在求解时,应先将所给集合化简,再结合条件合理转化,必要时,要用好数轴、 Venn 图两个有利工具.
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1.1 集合的概念及其运算 教师

例 4 (无锡调研) 已知集合 A={x|y= 2x-x2}, B={y|y=2x, x>0}, R 是实数集, 则(?RB)∩A =________. 【分析】 集合 A 中元素为函数的定义域,集合 B 中元素为函数的值域. 【解析】 集合 A={x|y= 2x-x2}, 表示的是函数的定义域, 可得 A=[0,2]; 而集合 B={y|y =2x,x>0}表示的是函数的值域,显然函数 y=2x(x>0)的值域为(1,+∞),所以(?RB)∩A =(-∞,1]∩[0,2]=[0,1]. 【答案】 [0,1] 【点评】 集合的运算题要先确定集合中的元素类型,确定后再借助数轴等求交、并、补. 变式训练 2 (2010 年高考辽宁卷改编)已知 A,B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子

集,且 A∩B={3},(?UB)∩A={9},则 A=________.
【解】∵U={1,3,5,7,9},A?U,B?U,A∩B={3},∴3∈A,(?UB)∩A={9},∴9∈A,∴ A={3,9}. 【答案】{3,9}

方法感悟
方法技巧 1.掌握集合中元素的三个特点:确定性、互异性、无序性.它是正确解决有关集合问题的 关键之一,特别是集合元素的互异性,在解题中常常用到,如例 2. 2.弄清集合由哪些元素组成,这就需要我们把抽象的问题具体化、形象化,也就是善于对 集合的三种语言(文字、符号、图形)进行相互转化,如例 1. 3.关注空集“?”,在考查两个集合的关系时,不要忽视?.?是任何非空集合的真子集,如 例 3. 4.集合的运算常与其它知识相结合,先化简集合,再求交、并、补,要弄清集合中元素的 表达形式,如例 4. 失误防范 1.集合中元素的表达方式,尤其在描述法中,要看清是由什么样的元素构成,有无特别的 限制条件对集合产生影响. 2.集合间的关系中,子集描述了集合间的包含关系,易忽视的是空集这一特殊情况.可在 知识的记忆中把“?”纳入优先记忆与考虑的“重点”知识.

真题透析
例 (高考上海卷)已知集合 A={x|x≤1},B={x|x≥a},且 A∪B=R,则实数 a 的取值范围 是________. 【解析】 A=(-∞,1],B=[a,+∞),要使 A∪B=R,只需 a≤1. 【答案】 (-∞,1] 【名师点评】 利用数轴快速直观地得出答案.

名师预测
1.设 P={x|x<4},Q={x| x <4},则 P 与 Q 的关系是________. 解析:∵P={x|x<4},Q={x| x <4}={x|-2<x<2}, ∴Q P. 答案:Q P 2.若集合 A={x|-2<x<1},B={x|0<x<2},则集合 A∩B=________. 答案:{x|0<x<1}
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1.1 集合的概念及其运算 教师

3.已知集合 A={x|x2-x≤0,x∈R},设函数 f(x)=2-x+a(x∈A)的值域为 B,若 B?A, 则实数 a 的取值范围是________. 解析:A={x|x2-x≤0,x∈R}={x|0≤x≤1}. 1 1 1 - - - ∵f(x)=2 x+a,x∈A, ≤2 x≤1,∴ +a≤2 x+a≤1+a,即 B=[ +a,1+a].由 B?A, 2 2 2 1 1 ∴ +a≥0 且 1+a≤1,解得- ≤a≤0. 2 2 1 ∴a 的取值范围是[- ,0]. 2 1 答案:[- ,0] 2

随堂即时巩固
集合的概念 1.已知 A={1,2},B={x|x∈A},则集合 A 与 B 的关系为________. 解析:由集合 B={x|x∈A}知,B={1,2}.答案:A=B 2.若? {x|x2≤a,a∈R},则实数 a 的取值范围是________. 解析:由题意知,x2≤a 有解,故 a≥0.答案:a≥0 3.已知集合 A={y|y=x2-2x-1,x∈R},集合 B={x|-2≤x<8},则集合 A 与 B 的关 系是________. 解析:y=x2-2x-1=(x-1)2-2≥-2,∴A={y|y≥-2},∴B A.答案:B A 4.(2009 年高考广东卷改编)已知全集 U=R,则正确表示集合 M={-1,0,1}和 N={x|x2 +x=0}关系的韦恩(Venn)图是________.

解析:由 N={x|x2+x=0},得 N={-1,0},则 N 答案:②

M.

5.(2010 年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合 A={x|x>5},集合 B={x|x>a},若命题 “x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是________. 解析:命题“x∈A”是命题“x∈B” 的充分不必要条件,∴A B,∴a<5. 答案:a<5 6.(原创题)已知 m∈A,n∈B,且集合 A={x|x=2a,a∈Z},B={x|x=2a+1,a∈Z}, 又 C={x|x=4a+1,a∈Z},判断 m+n 属于哪一个集合? 解:∵m∈A,∴设 m=2a1,a1∈Z,又∵n∈B,∴设 n=2a2+1,a2∈Z,∴m+n=2(a1 +a2)+1,而 a1+a2∈Z,∴m+n∈B. 集合的基本运算 1.(高考浙江卷改编)设 U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则 A∩?UB=________. 解析:?UB={x|x≤1}, ∴A∩?UB={x|0<x≤1}. 答案:{x|0<x≤1} 2.(2009 年高考全国卷Ⅰ改编)设集合 A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集 U=A∪B, 则集合?U(A∩B)中的元素共有________个. 解析:A∩B={4,7,9},A∪B={3,4,5,7,8,9}, ?U(A∩B)={3,5,8}. 答案:3 3.已知集合 M={0,1,2},N={x|x=2a,a∈M},则集合 M∩N=________. 解析:由题意知,N={0,2,4},故 M∩N={0,2}.答案:{0,2}
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4. (原创题 ) 设 A,B 是非空集合,定义 A?B= {x|x∈A∪B 且 x?A∩B},已知 A= {x|0≤x≤2},B={y|y≥0},则 A?B=________. 解析:A∪B=[0,+∞),A∩B=[0,2],所以 A?B=(2,+∞).答案:(2,+∞) 5.(高考湖南卷)某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人 对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________. 解析:设两项运动都喜欢的人数为 x,画出韦恩图得 到方程 15-x+x+10-x+8=30 x=3,∴喜爱篮球运动但不喜 爱乒乓球运动的人数为 15-3=12(人). 答案:12 6 .( 浙江嘉兴质检) 已知集合 A= {x|x>1},集合 B= {x|m≤x≤m+3}. (1)当 m=-1 时,求 A∩B,A∪B; (2)若 B?A,求 m 的取值范围. 解:(1)当 m=-1 时,B={x|-1≤x≤2},∴A∩B={x|1<x≤2},A∪B={x|x≥-1}. (2)若 B?A,则 m>1,即 m 的取值范围为(1,+∞).

课后作业
集合的概念 a b ab 1.设 a,b 都是非零实数,y= + + 可能取的值组成的集合是________. |a| |b| |ab| 解析:分四种情况:(1)a>0 且 b>0;(2)a>0 且 b<0;(3)a<0 且 b>0;(4)a<0 且 b<0,讨 论得 y=3 或 y=-1. 答案:{3,-1} 2.已知集合 A={-1,3,2m-1},集合 B={3,m2}.若 B?A,则实数 m=________. 解析:∵B?A,显然 m2≠-1 且 m2≠3,故 m2=2m-1,即(m-1)2=0,∴m=1. 答案:1 3. 设 P, Q 为两个非空实数集合, 定义集合 P+Q={a+b|a∈P, b∈Q}, 若 P={0,2,5}, Q={1,2,6},则 P+Q 中元素的个数是________个. 解析:依次分别取 a=0,2,5;b=1,2,6,并分别求和,注意到集合元素的互异性,∴P+ Q={1,2,6,3,4,8,7,11}. 答案:8 4.已知集合 M={x|x2=1},集合 N={x|ax=1},若 N M,那么 a 的值是________. 解析:M={x|x=1 或 x=-1},N M,所以 N=?时,a=0; 1 当 a≠0 时,x= =1 或-1,∴a=1 或-1. 答案:0,1,-1 a 5.满足{1} A?{1,2,3}的集合 A 的个数是________个. 解析:A 中一定有元素 1,所以 A 有{1,2},{1,3},{1,2,3}. 答案:3 1 b 1 c 1 6.已知集合 A={x|x=a+ ,a∈Z},B={x|x= - ,b∈Z},C={x|x= + ,c∈Z}, 6 2 3 2 6 则 A、B、C 之间的关系是________. 解析:用列举法寻找规律. 答案:A B=C 7.集合 A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x<a},则“A?B”是“a>5”的________条件. 解析:结合数轴若 A?B?a≥4,故“A?B”是“a>5”的必要但不充分条件. 答案:必要不充分 8.(江苏启东模拟)设集合 M={m|m=2n,n∈N,且 m<500},则 M 中所有元素的和为 ________. 解析: ∵2n<500, ∴n=0,1,2,3,4,5,6,7,8. ∴M 中所有元素的和 S=1+2+22+?+28=511. 答案:511 9.(高考北京卷)设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k-1?A,且 k+1?A, 那么称 k 是 A 的一个“孤立元”.给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8},由 S 的 3 个元素构成的所有集 合中,不含“孤立元”的集合共有________个. 解析:依题可知,由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”,这三个元素一 定是相连的三个数.故这样的集合共有 6 个.答案:6
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1.1 集合的概念及其运算 教师

10.已知 A={x,xy,lg(xy)},B={0,|x|,y},且 A=B,试求 x,y 的值. 解:由 lg(xy)知,xy>0,故 x≠0,xy≠0,于是由 A=B 得 lg(xy)=0,xy=1. 1 1 ∴A={x,1,0},B={0,|x|, }.于是必有|x|=1, =x≠1,故 x=-1,从而 y=-1. x x 11.已知集合 A={x|x2-3x-10≤0}, (1)若 B?A,B={x|m+1≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围; (2)若 A?B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围; (3)若 A=B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围. 解:由 A={x|x2-3x-10≤0},得 A={x|-2≤x≤5}, (1)∵B?A,∴①若 B=?,则 m+1>2m-1,即 m<2,此时满足 B?A. m+1≤2m-1, ? ? ②若 B≠?, 则?-2≤m+1, ? ?2m-1≤5. 解得 2≤m≤3. 由①②得, m 的取值范围是(-∞, 3]. m>-5, ? ? 解得?m≤4, ? ?m≥3.

2m-1>m-6, ? ? (2)若 A? B,则依题意应有?m-6≤-2, ? ?2m-1≥5.

故 3≤m≤4,

∴m 的取值范围是[3,4]. ? ?m-6=-2, (3)若 A=B,则必有? 解得 m∈?. 即不存在 m 值使得 A=B. ?2m-1=5, ? 12.已知集合 A={x|x2-3x+2≤0},B={x|x2-(a+1)x+a≤0}. (1)若 A 是 B 的真子集,求 a 的取值范围;(2)若 B 是 A 的子集,求 a 的取值范围; (3)若 A=B,求 a 的取值范围. 解:由 x2-3x+2≤0,即(x-1)(x-2)≤0,得 1≤x≤2,故 A={x|1≤x≤2}, 而集合 B={x|(x-1)(x-a)≤0}, (1)若 A 是 B 的真子集,即 A B,则此时 B={x|1≤x ≤ a},故 a>2. (2)若 B 是 A 的子集,即 B? A, 由数轴可知 1≤a≤2.

(3)若 A=B,则必有 a=2 集合的基本运算 1.若集合 M={x∈R|-3<x<1},N={x∈Z|-1≤x≤2},则 M∩N=________. 解析:因为集合 N={-1,0,1,2},所以 M∩N={-1,0}. 答案:{-1,0} 2.已知全集 U={-1,0,1,2},集合 A={-1,2},B={0,2},则(?UA)∩B=________. 解析:?UA={0,1},故(?UA)∩B={0}. 答案:{0} 3. (2010 年济南市高三模拟)若全集 U=R, 集合 M={x|-2≤x≤2}, N={x|x2-3x≤0}, 则 M∩(?UN)=________. 解析:根据已知得 M∩(?UN)={x|-2≤x≤2}∩{x|x<0 或 x>3}={x|-2≤x<0}. 答案:{x|-2≤x<0} 4.集合 A={3,log2a},B={a,b},若 A∩B={2},则 A∪B=________. 解析:由 A∩B={2}得 log2a=2,∴a=4,从而 b=2,∴A∪B={2,3,4}. 答案:{2,3,4} 5.(2009 年高考江西卷改编)已知全集 U=A∪B 中有 m 个元素,(?UA)∪(?UB)中有 n 个 元素.若 A∩B 非空,则 A∩B 的元素个数为________. 解析:U=A∪B 中有 m 个元素, ∵(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B)中有 n 个元素,∴A∩B 中有 m-n 个 元素. 答案:m-n

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第 1 章集合与常用逻辑用语

1.1 集合的概念及其运算 教师

6.(高考重庆卷)设 U={n|n 是小于 9 的正整数},A={n∈U|n 是奇数},B={n∈U|n 是 3 的倍数},则?U(A∪B)=________. 解析:U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={3,6}, ∴A∪B={1,3,5,6,7},得?U(A∪B)={2,4,8}. 答案:{2,4,8} x 7.定义 A?B={z|z=xy+ ,x∈A,y∈B}.设集合 A={0,2},B={1,2},C={1},则集 y 合(A?B)?C 的所有元素之和为________. 解析:由题意可求(A?B)中所含的元素有 0,4,5,则(A?B)?C 中所含的元素有 0,8,10,故 所有元素之和为 18. 答案:18 8.若集合{(x,y)|x+y-2=0 且 x-2y+4= x,y)|y=3x+b},则 b=________. ?x+y-2=0, ?x=0, ? ? 解析:由? ?? 点(0,2)在 y=3x+b 上,∴b=2. 答案:2 ? ? ?x-2y+4=0. ?y=2. 9.设全集 I={2,3,a2+2a-3},A={2,|a+1|},?IA={5},M={x|x=log2|a|},则集 合 M 的所有子集是________. 解析:∵A∪(?IA)=I,∴{2,3,a2+2a-3}={2,5,|a+1|}, ∴|a+1|=3,且 a2+2a-3=5,解得 a=-4 或 a=2, ∴M={log22,log2|-4|}={1,2}. 答案:?,{1},{2},{1,2} 10.设集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}. (1)若 A∩B={2},求实数 a 的值;(2)若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围. 解:由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2,故集合 A={1,2}. (1)∵A∩B={2},∴2∈B,代入 B 中的方程,得 a2+4a+3=0? a=-1 或 a=-3; 当 a=-1 时,B={x|x2-4=0}={-2,2},满足条件; 当 a=-3 时,B={x|x2-4x+4=0}={2},满足条件; 综上,a 的值为-1 或-3. (2)对于集合 B,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).∵A∪B=A,∴B? A, ①当 Δ<0,即 a<-3 时,B=?满足条件; ②当 Δ=0,即 a=-3 时,B={2}满足条件; ③当 Δ>0,即 a>-3 时,B=A={1,2}才能满足条件, 5 ? ?1+2=-2(a+1) ?a=-2, ? 则由根与系数的关系得? ?? 矛盾. 2 ?1×2=a -5 ? 2 ? ?a =7, 综上,a 的取值范围是 a≤-3. 6 11.已知函数 f(x)= -1的定义域为集合 A,函数 g(x)=lg(-x2+2x+m)的定义 x+1 域为集合 B. (1)当 m=3 时,求 A∩(?RB); (2)若 A∩B={x|-1<x<4},求实数 m 的值. 解:A={x|-1<x≤5}. (1)当 m=3 时,B={x|-1<x<3}, 则?RB={x|x≤-1 或 x≥3}, ∴A∩(?RB)={x|3≤x≤5}. (2)∵A={x|-1<x≤5}, A∩B={x|-1<x<4}, ∴有-42+2×4+m=0,解得 m=8, 此时 B={x|-2<x<4},符合题意.

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第 1 章集合与常用逻辑用语

1.1 集合的概念及其运算 教师

12.已知集合 A={x∈R|ax2-3x+2=0}. (1)若 A=?,求实数 a 的取值范围; (2)若 A 是单元素集,求 a 的值及集合 A; (3)求集合 M={a∈R|A≠?}. 解:(1)A 是空集,即方程 ax2-3x+2=0 无解. 2 若 a=0,方程有一解 x= ,不合题意. 3 若 a≠0,要方程 ax2-3x+2=0 无解,则 Δ=9-8a<0, 9 则 a> . 8 9 综上可知,若 A=?,则 a 的取值范围应为 a> . 8 2 2 (2)当 a=0 时,方程 ax2-3x+2=0 只有一根 x= ,A={ }符合题意. 3 3 当 a≠0 时,则 Δ=9-8a=0, 9 4 4 即 a= 时,方程有两个相等的实数根 x= ,则 A={ }. 8 3 3 2 9 4 综上可知,当 a=0 时,A={ };当 a= 时,A={ }. 3 8 3 2 (3)当 a=0 时,A={ }≠?. 3 当 a≠0 时,要使方程有实数根, 9 则 Δ=9-8a≥0,即 a≤ . 8 9 9 综上可知,a 的取值范围是 a≤ ,即 M={a∈R|A≠?}={a|a≤ } 8 8

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