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21.拉格朗日中值定理


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高考数学母题
[母题]Ⅰ(8-21):拉格朗日中值定理(183)

513

拉格朗日中值定理
sin x [母题]Ⅰ(8-21):(2008 全国Ⅱ高考试题)设函数 f(x)= 2 ? .如果对任何 x≥0,都有 f(x)≤ax,则 a 的取 cos x

值范围是

.
f ( x ) f ( x ) ? f ( 0) = ,由拉格朗日中值定理知,存在 t∈(0,x),使得: x?0 x

[解析]:①当 x=0 时,a∈R;②当 x>0 时,f(x)≤ax ? a≥
f ? (t)=

f ( x ) ? f ( 0) 1 1 2 sin t (cos t ? 1) ? f ?? (t)= ? f ?? max(t)=max{ f ?? (0), f ?? (2π )}= f ?? (0)= ? a 的取值范围[ ,+∞). x?0 3 3 (2 ? cos t )3

[点评]:本解法为作者给出,其中巧用了拉格朗日中值定理.拉格朗日中值定理:若函数 f(x)在区间[a,b]上连续可导,则
在区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得: f ? (ξ)=
f (b ) ? f ( a ) .拉格朗日中值定理是微分学中的重要定理,他勾通了切线与割 b?a

线斜率之间的联系,具有较为直观的几何意义,因此,受到高考命题者的青睐,使得拉格朗日中值定理成为高观点下的高考 母题之一.在此值得指出的是拉格朗日中值定理的逆命题不成立,在什么条件下拉格朗日中值定理的逆命题成立?若函数 f(x)在区间[m,M]上连续可导,且 f ?? (x)=0(使得 f ?? (x)=0 的点是函数 f(x)的拐点)无解,则逆命题成立,这样我们可总结如 下:若函数 f(x)在区间[a,b]上连续可导,记函数 f(x)在区间(a,b)上的割线斜率的取值范围为 S,f(x)在区间(a,b)上的切 线斜率的取值范围,即 f ? (x)在区间(a,b)上的值域为 T,则 S ? T,当且仅当 f ?? (x)=0 在区间(a,b)上无解时,S=T.

[子题](1): (2006 年北京高考试题)在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意 x1,x2(x≠x2),|f(x1)f(x2)|<|x2-x1|恒成立”的只有( )
-2

(A)f(x)=

1 x

(B)f(x)=|x|

(C)f(x)=2

x

(D)f(x)=x

2

[解析]:当 x∈(1,2)时,f(x)=x-1 ?

f ? (x)=x <1,由拉格朗日中值定理知|f(x1)-f(x2)|<|x2-x1|恒成立.故选(A).

注:拉格朗日中值定理在中学范围内的表现形式是|f(x1)-f(x2)|与 M|x2-x1|的大小关系型问题.

[子题](2): (2009 年浙江高考试题)对于正实数α ,记 Mα 为满足下述条件的函数 f(x)构成的集合: ? x1,x2∈R,且 x2>x1
有:-α (x2-x1)<f(x2)-f(x1)<α (x2-x1).下列结论中正确的是( (A)若 f(x)∈ M ? 1 ,g(x)∈ M ? 2 ,则 f(x)g(x)∈ M ?1? 2 )
f ( x) ∈ M ?1 g ( x)

(B)若 f(x)∈ M ? 1 ,g(x)∈ M ? 2 ,且 g(x)≠0,则

?2

(C)若 f(x)∈ M ? 1 ,g(x)∈ M ? 2 ,则 f(x)+g(x)∈ M ? 1 ?? 2 (D)若 f(x)∈ M ? 1 ,g(x)∈ M ? 2 ,且α 1>α 2 则 f(x)-g(x)∈ M ? 1 ?? 2

[解析]:由-α (x2-x1)<f(x2)-f(x1)<α (x2-x1) ? -α <

f ? (x)<α ;若 f(x)∈ M ? 1 ,g(x)∈ M ? 2 ,则-α 1< f ? (x)<α 1,-α 2<

g ? (x)<α 2 ? -(α 1+α 2)< f ? (x)+ g ? (x)<α 1+α 2 ? f(x)+g(x)∈ M ? 1 ?? 2 .故选(C).

注:本题把拉格朗日中值定理与不等式的性质有机结合,重点是拉格朗日中值定理.

[子题](3): (2006 年广东高考试题)A 是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数 ? (x)组成的集合:①对任意的 x∈
[1,2],都有 ? (2x)∈(1,2);②存在常数 L(0<L<1),使得对任意的 x1,x2∈[1,2],都有| ? (2x1)- ? (2x2)|≤L|x1-x2|. (Ⅰ)设 ? (2x)= 3 1 ? x ,x∈[1,2],证明: ? (x)∈A; (Ⅱ)设 ? (x)∈A,如果存在 x0∈(1,2),使得 x0= ? (2x0),那么这样的 x0 是唯一的.
1 3 (1 ? x)
3 2

[解析]:(Ⅰ)对任意 x∈[1,2],φ (2x)= 3 1 ? x ∈[ 3 2 , 3 3 ] ? [1,2]; ? ? (2x)=

<

1 33 4

<1 ? ? (x)∈A;

(Ⅱ)反证法:设存在两个 x0,x1∈(1,2),x0≠x1,,使得 x0= ? (2x0),x1= ? (2x1),则由| ? (2x0)- ? (2x1)|≤L|x0-x1| ? |x0-x1| ≤L|x0-x1| ? L≥1,矛盾. 注:本题 A 中的函数可称之为“压缩函数”,它与数列有密切联系.

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[子题系列]:

[母题]Ⅰ(8-21):拉格朗日中值定理(183)
x1 ? ?x2 x ? ?x1 ,β = 2 ,若|f(x1)1? ? 1? ?

1.(2005 年辽宁高考试题)已知 y=f(x)是定义在 R 上的单调函数,实数 x1≠x2,λ =-1,α = f(x2)|<|f(α )-f(β )|,则( ) (A)λ <0

(B)λ =0

(C)0<λ <1

(D)λ ≥1

2.(2006 年全国高中数学江西初赛联赛试题)集合 M 由满足如下条件的函数 f(x)组成:当 x1,x2∈[-1,1]时,有|f(x1)f(x2)|≤4|x1-x2|,对于两个函数 f1(x)=x -2x+5,f2(x)= | x | ,以下关系中成立的是( (A)f1∈M,f2∈M (B)f1 ? M,f2 ? M (C)f1 ? M,f2∈M
2

) (D)f1∈M,f2 ? M .

3.(原创题)已知 P、 Q 是函数 f(x)=2x-sinx(x∈[-

? ? , ])图像上任意两不同点,则直线 PQ 的斜率的取值范围是 4 3

4.(原创题)若函数 f(x)满足: ? x1,x2∈[0,1],且 x1≠x2,都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|恒成立,则称函数 f(x)为 “压缩函数” , 给出下列函数:①f(x)=
1 1 2 1 x x;②f(x)=- x ;③f(x)=2sinx;④f(x)= e ;⑤f(x)=ln(x+1).其中是 “压缩函数” 的为 2 2 3

(写

出所有压缩函数的编号). 5.(2012 年福建省普通高中毕业班质量检测试题)设函数 f(x)及其导函数 f ? (x)都是定义在 R 上的函数,则“ ? x1,x2∈R, 且 x1≠x2,|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|”是“ ? x∈R,| f ? (x)|<1”的( (A)充分不必要条件 <x +1 的解集为
2

) (D)即不充分不必要条件
2

(B)必要不充分条件 .

(C)充要条件

6.(2009 年南通市高三质量检测试题)已知函数 f(x)(x∈R)满足:f(2)=3,且 f(x)在 R 上的导函数 f ? (x)<1,则不等式 f(x )

[子题详解]:
1.解:①当λ =0 时,|f(x1)-f(x2)|=|f(α )-f(β )|;当λ >0 时,不妨设 x1<x2,则 x1<α <x2,x1<β <x2, ? f(x1)<f(α )<f(x2), f(x1)<f(β )<f(x2) ? f(x1)-f(x2)<f(α )-f(β )<f(x2)-f(x1) ? |f(x1)-f(x2)|>|f(α )-f(β )|.故选(A). 2.解:由 f ? (x)=2x-2∈[-4,0] ? f1∈M;取 x1= 3.解:当 x∈(1 ,x2=0 ? |f(x1)-f(x2)|>4|x1-x2| ? f2 ? M.故选(D). 64

? ? 3 , )时, f ? (x)=2-cosx∈[1, ) ? f ?? (x)=sinx=0 ? x=0 ? f(x)的图像上有一拐点 x=0,且在拐点处的 4 3 2
3 ). 2 1 ? | f ? (x)|<1;② f ? (x)=-x∈(-1,0) ? 2 1 1 ∈( ,1) ? | f ? (x)| x ?1 2

切线斜率= f ? (0)=1 ? 直线 PQ 的斜率≠1 ? 线 PQ 的斜率的取值范围是(1,

4.解:由母题知,若当 x∈(0,1)时,| f ? (x)|<1,则 f(x)为 “压缩函数” .① f ? (x)=
1 3
x

| f ? (x)|<1;③ f ? (x)=2cosx∈(2cos1,2);④ f ? (x)= e ∈( , ) ? | f ? (x)|<1;⑤ f ? (x)= <1.故选①②④⑤. 5.解:(法一)令 f(x)=

1 3

e 3

1 1 1 1 1 sinx ? f ? (x)= cosx∈[- , ],但斜率为 (实质是 f(x)的图像在拐点处的切线斜率)的直线 2 2 2 2 2 1 的割线.故选(B). 2

与 f(x)的图像只有一点交点,即不存在斜率为

(法二)令 S={f(x)| ? x1,x2∈R,x1≠x2,|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|},T={f(x)| ? x∈R,| f ? (x)|<1},由母题知,S ? T.故选(B). 6.解:(法一)令 g(x)=f(x)-(x+1),则 g ? (x)= f ? (x)-1<0 ? g(x)在 R 上单调递减,又 g(2)=0 ? g(x)<0 ? g(x)<g(2) ? x>2;
2 2 2 2 所以,f(x )<x +1 ? g(x )<0 ? x >2 ? x∈(-∞,- 2 )∪( 2 ,+∞);

(法二)由 f(x )<x +1 ? f(x )-3<x -2 ? f(x )-f(2)<x -2;又由 f ? (x)<1 ? 函数 f(x)上 P(x ,f(x )),Q(2,f(2))两点连线的
2 2 2 2 2 2 2 2

斜率 k=

f ( x 2 ) ? f (2) x2 ? 2

2 2 2 <1,结合 f(x )-f(2)<x -2 知,x -2>0 ? x∈(-∞,- 2 )∪( 2 ,+∞);


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