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2.3.2二次函数与一元二次方程的联系


1、理解二次函数图像与x轴的交点的个数 的情况
2.理解二次函数图像与一元二次方程的根的关 系 3.会用一元二次方程解决二次函数图象与x轴 的交点问题

? 定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常

二次函数

数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。 ? 图象:是一条抛物线。 ? 图象的特点:

(1)有开口方向,开口大小。 (2)有对称轴。(3)有顶点(最低点或最 高点)。 y y

o

x

o

x

二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=ax2+k的图象的关系
y=2x2+2 y=2x2 y=2x2-2
? 二次函数y=ax2+k的图象可由二次函数y=ax2

的图象向上(或向下)平移得到: ? 当k>0时,抛物线y=ax2向上平移k的绝对值 个单位,得y=ax2+k ? 当k<0时,抛物线y=ax2向下平移k的绝对值 个单位,得y=ax2+k

二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2的图象的关系

二次函数y=a(x-h) 2的图象可由二次函数y=ax2的图 象向左(或向右)平移得到: ? 当h>0时,抛物线y=ax2向左平移h的绝对值个单位, 得y=a(x-h) 2 ? 当h<0时,抛物线y=ax2向右平移h的绝对值个单位, 得y=a(x-h) 2
?

二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2+k的图象的关系

? 二次函数y=a(x-h) 2+k的图象可由抛物线

y=ax2向左(或向右)平移h的绝对值个单位,在 向上(或向下)平移k的绝对值个单位而得到.

? 当a﹥0时:抛物线开口向上。

二次函数y=ax2+bx+c的性质
2

b ,顶点坐标是 (- b ,4ac-b ) ? 对称轴是x=2a 2a 4a ? 当a﹥0时,在对称轴的左侧,即当x<- b 时, 2a

y随x的增大而减小;

在对称轴的右侧,即当x ﹥ - b 2a 时, y随x的增大而增大。 简记左减右增。抛物线有最 低点,当x=- b 时, y最 2a 2 小值= 4ac-b
4a

y

o

x

? 当a

< 0时:抛物线开口向下。 b 4ac-b2 b , ? 对称轴是x=) 2a ,顶点坐标是(- 2a 4a ? 在对称轴的左侧,即当x <- b 时,y随x的 2a 增大而增大;
在对称轴的右侧,即当 b x ﹥ - 2a 时, y随x的增 大而减小。简记左增右减。 抛物线有最高点, 当x=- b 2a 4ac-b2 时, y最大值=
4a
y

o

x

引言
在现实生活中,我们常常会遇到与二次函数 及其图象有关的问题。 如:被抛射出去的物体沿抛物线轨道飞行; 抛物线形拱桥的跨度、拱高的计算等. 利用二次函数的有关知识研究和解决这些问 题,具有很现实的意义。 本节课,我将和同学们共同研究解决这些问 题的方法,探寻其中的奥秘。

复习.
1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情 况可由 b2- 4ac 确定。
> 0 = 0 < 0

有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根


2、在式子h=50-20t2中,如果h=15,那么 50-20t2= 15 ,如果h=20,那50-20t2= 20
如果h=0,那50-20t2= 0

。如果要想求t的值,那么我

们可以求

方程

的解。

问题1:如图,以

40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度 角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑 空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单 位:s)之间具有关系:h= 20 t – 5 t2 2 考虑下列问题:

20= 20 t 20 ttt – 5 2t2 20.5= –20 – 5 t 15= 5

(1)球的飞行高度能否达到 15 m ? 若能,需要多少时间? (2)球的飞行高度能否达到 20 m ? 若能,需要多少时间? 0= 20 t – 5 t2 h=0 (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m ? 若能,需要多少时间?

(4)球从 飞出到落地 要用多少时间 ?
h t

解:(1)解方程15=20t-5t2

即: t2-4t+3=0

h
20 10 o

t1=1,t2=3
∴当球飞行1s和3s时,它的高度为15m。

(2)解方程20=20t-5t2
1 2 3 4

即: t2-4t+4=0

h ? 20t ? 5t

∴当球飞行2s时,它的高度为20m。 (3)解方程20.5=20t-5t2 即: t2-4t+4.1=0
2

t

t1=t2=2

因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无解, 那么为什么 你能结合图 那么为什么 只在一个时 从上面我们看出, 对于二次函数 形指出为什 ∴球的飞行高度达不到20.5m。 两个时间球 h= 20 t – 5 t2中,已知h的值,求时间 间求得高度 么在两个时 (4)解方程0=20t-5t2 即: t2-4t=0 的高度为零 为20m呢? 间球的高度t?其实就是把函数值h换成常数,求 呢? t1=0,t2=4 为15m吗?一元二次方程的解。
∴球的飞行0s和4s时,它的高度为0m。即 飞出到落地用了4s 。

为一个常数 (定值)

那么从上面,二次函数y=ax2+bx+c何时为 一元二次方程?它们的关系如何? 一般地,当y取定值时,二次函数为一元 二次方程。
如:y=5时,则5=ax2+bx+c就 是一个一元二次方程。

想一想,这一个旋转喷水 练习一: 头,水流落地覆盖的最大 如图设水管AB的高出地面2.5m,在B处有一自动旋 面积为多少呢?
转的喷水头,喷出的水呈抛物线状,可用二次函数 y=-0.5x2+2x+2.5描述,在所有的直角坐标系中,求 水流的落地点D到A的距离是多少?
分析:根据图象可知,水流的 落地点D的纵坐标为0,横坐 标即为落地点D到A的距离。
即:y=0 。
-1 A 0

y B

解:根据题意得 -0.5x2+2x+2.5 = 0,

D x

解得x1=5,x2=-1(不合题意舍去)
答:水流的落地点D到A的距离是5m。

边观察边思考
1、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 – x+ 1 的图象如图所示。 y ? x2 ? x ? 1 2 y ? x ? 6x ? 9 2 y ? x ? x?2

(1).每个图象与x轴有几个交点? 答:2个,1个,0个 (2).一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根? 验证一下一元二次方程x2 – x+ 1 =0有根吗? (3).二次函数y=ax +bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
分析

?2?.2个根,2个相等的根, 无实数根. 2

2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交 点,则b2-4ac的情况如何。
b2 – 4ac <0

Y

b2 – 4ac =0

b2 – 4ac >0

.
O X

二次函数与一元二次方程 的关系
(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共 点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函 数值为0,因此x=x0就是方程y=ax2+bx+c的 一个根

二次函数与一元二次方程
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 情况如何?(b2-4ac如何) b2 – 4ac > 0 (1)有两个交点 (2)有一个交点 (3)没有交点
b2 – 4ac= 0 b2 – 4ac< 0 (方程没有实数根)

(方程有两个不相等的实数根)

(方程有两个相等的实数根)

思考:若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则

b2-4ac ≥0

.

练习:看谁算的又快又准。 1.不与x轴相交的抛物线是( D ) A y=2x2 – 3 B y= - 2 x2 + 3 C y= - x2 – 2x D y=-2(x+1)2 - 3 2.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实 1 1 数根,则m=__,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有_ 个 交点. 16 3.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=____. (0,2) 4.抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点____,与x轴交 (1,0) 于点___ (2,0) _.

K≠0 5.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由 b2-4ac≥0 2
图象知,关于x的方程ax +bx+c=0的两个根分别是 x1=1.3 ,x2=___ -3.3 6.已知抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点,则 k的取值范围( B )
4 A:k ? ? 7 4 B : k ? ? 7 且k ? 0 4 C:k ? ? 7 4 D: k ? ? 7 且 k ? 0
B

例:已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1
(1)求证:无论m为何值,函数y的图像与x轴总有交点, 并指出当m为何值时,只有一个交点。
(2)当m为何值时,函数y的图像经过原点。

(3)指出(2)的图像中,使y<0时, x的取 值范围及使y>0时, x的取值范围

例2:王强在一次高尔夫球的练习中,在某处击 1 8 y ? ? x ? x 球,其飞行路线满足抛物线 ,其 5 5 中y(m)是球的飞行高度,x(m)是球飞出的水 平距离,结果球离球洞的水平距离还有2m. (1)请写出抛物线的开口方向、 顶点坐标、对称轴. (2)请求出球飞行 的最大水平距离.
2

(3)若王强再一次从此处击球,要想让球飞行 的最大高度不变且球刚好进洞,则球飞行路线应 满足怎样的抛物线,求出其解析式.

1 2 8 解:(1) y ? ? x ? x 5 5
抛物线 y ? ? (2)令 ,得: y?0

1 2 8 开口向下,顶点为 ? 16 ? ,对称轴为 x ? x ? 4, ? 5 5 ? 5? 1 2 8
? x ? x?0 5 5

1 16 2 ? ? ( x ? 4) ? 5 5

x?4

解得:x1 ? 0 x2 ? 8, ∴球飞行的最大水平距离是8m. (3)要让球刚好进洞而飞行最大高度不变,则球飞行的最大水平距离为10m 16 抛物线的对称轴为 x ? 5 ,顶点为 ? 5, ? 设此时对应的抛物线解析式为 ? ? 16 2 ? 5? y ? a ( x ? 5) ? 又 ∵点

(0, 0)
125

5

在此抛物线上, ? 25a ?

16 ?0 5 y?? 16 2 32 x ? x 125 25

∴ a ? ? 16

?y ??

16 16 ( x ? 5) 2 ? 125 5

(1)抛物线y ? x ? 2 x ? 3与x轴的交点个数有     ( C ).
2

A.0个   B.1个   C. 2个   D. 3个
1 3 (? , ) 顶点坐标为__________ . 2 4
2

(2)抛物线y ? m x ? 3x ? 3m ? m 经过原点, 则其顶点
2 2

(3)关于x的一元二次方程x ? x ? n ? 0没有实数根, 则
2

抛物线y ? x ? x ? n的顶点在(     A ). A.第一象限     .第二象限 B C.第三象限     .第四象限 D

4.已知二次函数 ? 2 x ? m x ? m . y
2 2

(1)求证 : 对于任意实数 , 该二次函数的图象与 轴总有公共点 m x ; (2)若该二次函数的图象与 轴有两个公共点 、B, 且A点坐标 x A 为(1,0), 求B点坐标.

(1)证明 : 令y ? 0, 得2 x ? m x ? m ? 0
2 2

? ? ? (?m) ? 4 ? 2 m ? 9m ? 0
2 2 2

? 不论m取何值, 抛物线与x轴总有公共点 .
(2) ? A(1,0)在抛物线y ? 2 x ? m x ? m 上
2 2

? 0 ? 2 ?1 ? m ?1 ? m
2 2

2

即 m ? m ? 2 ? 0, (m ? 2)(m ? 1) ? 0 ? m1 ? ?2, m2 ? 1   B点坐标为(?2,0) ?

5.在?ABC中, ?B ? 90?, 点P从点A开始沿AB边向点B 以1cm / s的速度移动 点Q从点B开始沿BC的边向点C , 以2cm / s的速度移动,设 PBQ的面积为y cm 运动 ?
2

时间为xs,如果P、Q分别从A、B同时出发: ( )写出y与x的函数关系式; 1 (2)几秒后?PBQ的面积等于 c m ? 8
2

●请你把这节课你学到了东西告诉你的同 讨 桌,然后告诉老师? 论
这节课应有以下内容:

二次函数与一 元二次方程的 关系 交

当二次函数y=ax2+bx+c中y的值 确定,求x的值时,二次函数就变 为一元二次方程。即当y取定值时, 二次函数就为一元二次方程。

两个交点
二 轴次 的函 交数 点与

b2-4ac>0
b2-4ac=0 b2-4ac<0

二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的解

x

一个交点 点

没有交点

y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图所示,那么关 1.已知函数 于 的根的情况 ax2 ?的方程? 0 bx ? c ? 2 D
A.无实数根 C.有两个异号实数根

是(



B.有两个相等实根 D.有两个同号不等实数根

y ? 2x2 ? 8x ? m 与轴只有一个公共点, 2.抛物线

则m的值为

8 .

3.如图,抛物线 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的对称轴是直 线 x ? 1且经过点(3,0),则 a ? b ? c的值为(A) A. 0 B. -1 C. 1 D. 2
4.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象如图所示,根据 图象解答下列问题: (1)写出方程 ax ? bx ? c ? 0
2

的两个根

2 3

(2)写出不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集. (3)写出y随x的增大而减小的自变量的取值范围. (4)若方程 ax 2 ? bx ? c ? k有两个不相等的实数根, 求的取值范围.

5.杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A处弹跳到人 梯顶端椅子B处,其身体(看成一点)的路线是抛物线
3 y=- x 2+3x+1 5

的一部分,如图

(1)求演员弹跳离地面的最大高度; (2)已知人梯高BC=3.4米,在一次表演中,人梯到起 跳点A的水平距离是4米,问这次表演是否成功?请说明 理由。

解(1)


3 y=- x 2+3x+1 5

=

3? 5 ? 19 - ? x- ? + 5? 2? 4

2

3 - <0 5

∴函数的最大值是

19 4 19 4

答:演员弹跳的最大高度是 (2)当x=4时,



3 y=- ? 42+3 ? 4+1 5

=3.4=BC,所以这次表演成功。

作业
选做题:如图,一位篮球运动员跳起投篮,球沿抛物线 y=-x2+3.5运行,然后准确落人篮框内。已知篮框的 中心离地面的距离为3.05米。 (1)球在空中运行的最大高度为多少米? (2)如果该运动员跳投时,球出手离地面 的高度为2.25米,请问他距离篮框中 心的水平距离是多少?

升华提高
弄清一种关系------函数与一元二次方程的关系
如果抛物线 y=ax 2 +bx+c 与x轴有公共点(x 0 ,o), 那么x=x 0 就是方程 ax 2 +bx+c=0的一个根.
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac

有两个交点 有一个交点 没有交点

有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根

b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0

体会两种思想:

数形结合思想

分类讨论思想

下课!

结束寄语

?

?

时间是一个常数,但对勤奋者来说, 是一个“变数”. 用“分”来计算时间的人比用“小 时”来计算时间的人时间多59倍.


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