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上海市虹口区2013届高三数学二模试卷(含答案,文科)


虹口区 2013 年数学学科高考练习题(文科)
(时间 120 分钟,满分 150 分)
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、函数 f ( x) ? (2k ? 1) x ? 1在 R 上单调递减,则 k 的取值范围是 .

2013.4

(1 ? i) 3 2、已知复数 z ? ,则 z ? 1? i
3、已知



cos? sin ? 1 ? ,则 cos2(? ? ? ) ? sin ? cos ? 3



4、 (1 ? 2 x) n 展开式中二项式系数之和为 an , 设 各项系数之和为 bn , lim 则

a n ? bn ? n ?? a ? b n n



1 x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点,且渐近线方程为 y ? ? x ,则此双曲 5、已知双曲线与椭圆 2 16 6
线方程为 . . .

6、如果 loga 4b ? ?1,则 a ? b 的最小值为 7、数列 ?an ? 的通项 a n ? n ? sin 8、设 F1 、 F2 是椭圆

n? ,前 n 项和为 S n ,则 S13 ? 2

? x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,且满足 ?F1 PF2 ? ,则 2 4


?F1 PF2 的面积等于
9、从集合 ? , 1 的概率是

2, 3?的所有非空子集中,等可能地取出一个,所取出的子集中含数字 1
. . .

10、 对于 x ? R , 不等式 2 ? x ? 1 ? x ? a 2 ? 2a 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 11、 ?ABC 中,AB ? 1 ,AC ? 2 , AB ? AC) ? AB ? 2 , ?AC 面积等于 在 则 B (

12、将边长为 2 的正方形沿对角线 AC 折起,以 A , B , C , D 为顶点的三棱锥的体积 最大值等于 .

1/4

13、 an ? logn?1 (n ? 2) (n ? N ? ) , a1a2 a3 ?ak 为整数的 k 为 设 称 “希望数” 则在 (1, ,
内所有“希望数”的个数为

2013 )



14、已知函数 f ( x) ?

x 2 ? (a ? 1) x ? 2a ? 2 的定义域是使得解析式有意义的 x 的集合,如 2 x 2 ? ax ? 2a


果对于定义域内的任意实数 x , 函数值均为正, 则实数 a 的取值范围是

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分)

?x ? y ? 5 ? 15、已知不等式组 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 f ? x ? 2 y 的最大值是( ?y ? 0 ?
A. 1 B. 5 C. 7 D. 8



16、在正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中与异面直线 AB , CC1 均垂直的棱有(

)条.

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

17、已知函数 y ? 2 sin( x ?

?
2

) cos( x ?

?
2

) 与直线 y ?

1 相交,若在 y 轴右侧的交点自左向 2


右依次记为 M 1 , M 2 , M 3 ,??,则 M 1 M 13 等于(

A. 6?
18 、 若 ?

B. 7?

C. 12?

D. 13?
, m ? R , 如 果 有 ? 3 ? sin ? ? m ? 0 , ) .

?
2

?? ?

?
2

, ?

?
2

?? ?

?
2

? ? 3 ? sin ? ? m ? 0 ,则 cos(? ? ? ) 值为(
A. ? 1 B. 0 C.

1 2

D. 1

三、解答题(满分 74 分) 19、 (本题满分 12 分) 如图,PA ? 平面 ABCD ,PA ? 1 , 矩形 ABCD 的边长 AB ? 1 , BC ? 2 , E 为 BC 的中点. (1)求异面直线 PE 与 AB 所成的角的大小; (2)求四棱锥 P ? ABED 的侧面积.
B

P

A

D

E

C

2/4

20、 (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,向量

m ? (2 sin B, 2 cos B) , n ? ( 3 cos B, ? cos B) ,且 m ? n ? 1 .
(1)求角 B ; (2)若 a , b , c 成等差数列,且 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积.

21、 (本题满分 14 分)已知复数 z n ? an ? bn ? i ,其中 a n ? R , bn ? R , n ? N , i 是虚数 单位,且 z n?1 ? 2z n ? z n ? 2i , z1 ? 1 ? i . (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)求和:① z1 ? z 2 ? ? ? z n ;② a1b1 ? a2 b2 ? ? ? an bn .

?

22、 (本题满分 16 分)已知抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) ,直线 l 交此抛物线于不同的两个 点 A( x1 ,

y1 ) 、 B( x2 ,

y2 ) . 0) 时,证明 y1 ? y 2 为定值;

(1)当直线 l 过点 M (? p,

(2)当 y1 y 2 ? ? p 时,直线 l 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明 理由; (3)记 N ( p,

0) ,如果直线 l 过点 M (? p, 0) ,设线段 AB 的中点为 P ,线段 PN 的中点

为 Q .问是否存在一条直线和一个定点,使得点 Q 到它们的距离相等?若存在,求出这条直 线和这个定点;若不存在,请说明理由.

3/4

23、 (本题满分 18 分) 定义域为 D 的函数 f (x) , 如果对于区间 I 内 ( I ? D) 的任意两个数 x1 、

x2 都有 f (

x1 ? x 2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 成立,则称此函数在区间 I 上是“凸函数” . 2 2

(1)判断函数 f ( x) ? ? x 2 在 R 上是否是“凸函数” ,并证明你的结论; (2)如果函数 f ( x ) ? x ?
2

a 在区间 [1, 2] 上是“凸函数” ,求实数 a 的取值范围; x

(3)对于区间 [c,

d ] 上的“凸函数” f (x) ,在 [c, d ] 上的任取 x1 , x2 , x3 ,??, x 2n ,
)? 1 [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( x2n )] . 2n

证明: f (

x1 ? x2 ? ? ? x2n 2
n

4/4

虹口区 2013 年数学学科高考练习题答案(文)
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、( ? ?,

1 ); 2
7、7;

2、 2;

3、?

7 ; 9
9、

4、? 1 ;

5、

x2 y2 ? ? 1; 8 2

6、1;

8、1;

4 ; 7

10、 [? 1, 3] ; 14、 ? 7 ? a ? 0 或 a ? 2 ;

11、

3 ; 2

12、

2 2 ; 3

13、9;

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、 C ; 16、 D ; 17、 A ; 18、 D ;

三、解答题(满分 74 分) 19、(12 分) 解: (1)取 AD 的中点 F ,连 EF 、 PF .
P

? EF // AB , ?PEF 的大小等于异面直线 PE 与 AB 所成的角或 ?
其补角的大小.??2 分 由 PA ? 1 , AB ? BE ? 1 , PA ? 平面 ABCD , ABCD 是矩形, 得
A F D

EF ? 1 ,

AE ? 2



PF ? 2



PE ? 3



B

E

C

? cos?PEF ?

3 ?1? 2 2 3

?

3 .??????5 分 3
3 .??????6 分 3
1 , S ?PAD ? 1 . 2

? 异面直线 PE 与 AB 所成的角的大小等于 arccos

(2)? PA ? 平面 ABCD , PA ? 1 , AB ? 1 , AD ? 1 , S ?PAB ?

? PA ? BE , BE ? AB ,? BE ? 平面 PAB ,? BE ? PB , PB ? 2 , S ?PBE ?
??????????9 分 连 AE ,由 AB ? BE ? 1 ,得 AE ?

2 . 2

2 ,同理 DE ? 2 , PE ? PA2 ? AE2 ? 3 ,又

PD ? PA2 ? AD2 ? 5 ? PE 2 ? DE 2 ? PD 2 , 由勾股定 理逆定理得 ?AED ? 90? ,
? S ?PED ?
6 3? 2 ? 6 .? 四棱锥 P ? ABED 的侧面积为 .??????12 分 2 2
5/4

20、 14 分) (1) m ? n ? 1 , 2 sin B ? 3 cos B ? 2 cos B ? 1 , 3 sin 2B ? cos2B ? 2 , ( 解: ? ?
2

sin( 2 B ?

?
6

) ? 1 ,????????5 分

又 0 ? B ? ? ,? ?

?
6

? 2B ?

?
6

?

11? ? ? ? ,? 2 B ? ? ,? B ? ??????7 分 6 6 2 3

(2)? b ? 2 , 2b ? a ? c ,? a ? c ? 4 .
2 2 2 又 b ? a ? c ? 2ac ? cos B ,? 4 ? a ? c ? 2ac ? cos
2 2

?
3

,即 4 ? a ? c ? ac ??10 分
2 2

将 a ? c ? 4 代入得 a 2 ? 4a ? 4 ? 0 ,得 a ? 2 ,从而 c ? 2 ,三角形为等边三角形.??12 分

? S? ?

1 ac sin B ? 3 .??????14 分 2

21、 (14 分)解: (1)? z1 ? a1 ? b1 ? i ? 1 ? i ,? a1 ? 1 , b1 ? 1 . 由 z n?1 ? 2z n ? z n ? 2i 得 an?1 ? bn?1 ? i ? 2(an ? bn ? i) ? (an ? bn ? i) ? 2i ? 3an ? (bn ? 2) ? i ,

?a n ?1 ? 3a n ??????3 分 ?? ?bn ?1 ? bn ? 2
数列 ?bn ? 是以 1 为首项公差为 2 的等差数列, ? 数列 ?an ? 是以 1 为首项公比为 3 的等比数列,

? an ? 3n?1 , bn ? 2n ? 1.????????6 分
(2)由(1)知 an ? 3n?1 , bn ? 2n ? 1. ① z1 ? z 2 ? ? ? z n ? (a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? i ?

1 n (3 ? 1) ? n 2 ? i .??10 分 2
(Ⅰ)

②令 S n ? a1b1 ? a2 b2 ? ? ? an bn , S n ? 1 ? 3 ? 3 ? 32 ? 5 ? ? ? 3n?1 ? (2n ? 1) 将(Ⅰ)式两边乘以 3 得 3S n ? 3 ? 1 ? 32 ? 3 ? 33 ? 5 ? ? ? 3n ? (2n ? 1) (Ⅱ)

将(Ⅰ)减(Ⅱ)得 ? 2S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? 2 ? 33 ? ? ? 2 ? 3n?1 ? 3n ? (2n ? 1) .

? 2S n ? ?2 ? 3n (?2n ? 2) , S n ? (n ? 1) ? 3n ? 1 .????????14 分

22、 (16 分)解: (1) l 过点 M (? p,

0) 与抛物线有两个交点,可知其斜率一定存在,设

6/4

? y ? k ( x ? p) 得 l : y ? k ( x ? p) , 其 中 k ? 0 ( 若 k ? 0 时 不 合 题 意 ), 由 ? 2 ? y ? 2 px

k ? y 2 ? 2 py ? 2 p 2 k ? 0 ,? y1 ? y2 ? 2 p 2 .??????4 分
注:本题可设 l : x ? m y ? p ,以下同. (2)当直线 l 的斜率存在时,设 l : y ? kx ? b ,其中 k ? 0 (若 k ? 0 时不合题意) .

由?

? y ? kx ? b ? y ? 2 px
2

得 ky 2 ? 2 py ? 2 pb ? 0 .

? y1 y 2 ?

2 pb k ? ? p ,从而 b ? ? .??????6 分 k 2

假设直线 l 过定点 ( x0 ,

y0 ) ,则 y0 ? kx0 ? b ,从而 y 0 ? kx 0 ?

k 1 ,得 ( x0 ? )k ? y 0 ? 0 , 2 2

1 ? 1 ? x0 ? 即? 2 ,即过定点 ( , 0) .??????8 分 2 ? y0 ? 0 ?
当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 , 设 l : x ? x0 , 代 入 y 2 ? 2 px 得 y 2 ? 2 px0 , y ? ? 2 px0 ,

? y1 y 2 ? 2 px0 ? (? 2 px0 ) ? ?2 px0 ? ? p ,从而 x 0 ?
综上所述,当 y1 y 2 ? ? p 时,直线 l 过定点 ( ,

1 1 1 ,即 l : x ? ,也过 ( , 0) . 2 2 2

1 2

0) .??????10 分 1 p ( y1 ? y 2 ) ? , 2 k

(3)依题意直线 l 的斜率存在且不为零,由(1)得点 P 的纵坐标为 y P ? 代入 l : y ? k ( x ? p) 得 x P ?

p p ? p ,即 P ( 2 ? p, 2 k k

p ) .????12 分 k

设 Q( x,

1 p ? ? x ? 2 ( k 2 ? p ? p) p ? 2 消 k 得 y ? x ????14 分 y) ,则 ? 2 ?y ? 1 ? p ? 2 k ?
p p ,点 ( , 0) ,点 Q 到它们的距离相等.????16 分 8 8

由抛物线的定义知存在直线 x ? ?

23、 (18 分)解: (1)设 x1 , x2 是任意两个实数,则有

f(

x1 ? x2 x ? x2 2 1 1 1 2 2 ) ? ?( 1 ) ? (? x12 ? 2 x1 x 2 ? x2 ) ? (? x12 ? x2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] . 2 2 4 2 2

.??????4 分 ? 函数 f ( x) ? ? x 2 在 R 是“凸函数”
7/4

(2)若对于 [1,

2] 上的任意两个数 x1 , x2 ,均有 f (

x1 ? x 2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 成立,即 2 2

(

x1 ? x 2 2 a 1 a a 1 2 2 2 ) ? ? [(x12 ? ) ? ( x 2 ? )] , 整理得 ( x1 ? x 2 ) a ? ? ( x1 ? x 2 ) x1 x 2 ( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2 2 2 2 x1 x2 2

????????7 分 若 x1 ? x 2 , a 可以取任意值. 若 x1 ? x 2 ,得 a ? ?

1 1 x1 x 2 ( x1 ? x 2 ) ,? ? 8 ? ? x1 x 2 ( x1 ? x 2 ) ? ?1 ,? a ? ?8 . 2 2

综上所述得 a ? ?8 .??????10 分 (3)当 k ? 1 时由已知得 f (

x1 ? x 2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 成立. 2 2

假设当 k ? m (m ? N ? ) 时, 不等式成立即 f ( 成立. 那么,由 c ?

x1 ? x 2 ? ? ? x 2k 2
m ?1

)?

1 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x 2m )] 2m

x1 ? x 2 ? ? ? x 2m 2
m

? d ,c ?

x 2m ?1 ? x 2m ? 2 ? ? ? x 2m ? 2m 2m

?d

得 f(

x1 ? x 2 ? ? ? x 2m ?1 2 m?1

1 x1 ? x 2 ? ? ? x 2m x 2m ?1 ? x 2m ? 2 ? ? ? x 2m ? 2m ) ? f{ [ ? ]} 2 2m 2m

x1 ? x 2 ? ? ? x 2m x m ? x2m ? 2 ? ? ? x 2m ? 2m 1 ? [f( ) ? f ( 2 ?1 )] m 2 2 2m
1 1 1 ? { m [ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x 2m )] ? m [ f ( x 2m ?1 ) ? f ( x 2m ? 2 ) ? ? ? f ( x 2m ?1 )]} 2 2 2 1 ? m ?1 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x 2m ?1 )] . 2
即 k ? m ? 1 时,不等式也成立.根据数学归纳法原理不等式得证.??????18 分

8/4


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