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高一数学平面向量的数量积的坐标表示


平面向量的数量积的坐标表示

一、复习练习:
1. 若 | a |? 2, | b |? 1, a与b夹角为60 , ? b ?| a || b | cos ? a


(其中?是a与b的夹角) 则a ? b ? 1 ) ( a ?b | 2. 若a ? b ? 2,a |? 1, | b |? 2,

r />45。 则a与b夹角为 ) (
3. 若 与 垂 , a b 直 则 a ? b ? 0) (

cos ? ?

| a || b |

a ? b ? a ? b ? 0;
a ? a ?| a |2 | a |? a?a

则 ( ; 4. 若| a |? 2, a ? a ? 4 )

? 5. 若i , j分别为与 x轴、 y轴方向 相同的两个单位向量 , ? ? ? ? 则i ? i ? ( 1 ); j ? j ? ( 1 ); ? ? ? ? i ? j ? j ? i ? ( 0 ).

若a ? a ? 9, | a |? 3 ) 则 ( .

二.创设教学情境
? ? ? ? 已知a ? (?1, 3), b ? (1,1), a与b的夹角为? , 求cos? .

? ? a ?b 根据以前的知识, ? ? ? ? . cos | a || b |

我们学过两向量的和与差可以转化 为它们相应的坐标来运算,那么怎样 ? ? ? ? 用 a和b的坐标表示a ? b呢?

三、新课学习

1.平面向量数量积的坐标表示 如图,i 是x轴上的单位向量, j 是y 轴上的单位向量,
? ? ? ? 由于a ? b ? a ? b cos ?,所以

y A(x ,y ) 1 1
B(x2,y2)
b
j

i ? i ? . j ? j ?1 . 1
i ? j ? j ? i ?0 .

a

o

i

x

下面研究怎样用 a和b的坐标表示a ? b. 设两个非零向量

? ? ? ? ? ? a ? x1i ? y1 j,b ? x2 i ? y2 j,

a =(x1,y1), b=(x2,y2),则

? ? ? ? ? ? a ? b ? ( x1 i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ?2 ? ? ? ? ?2 ? x1 x2 i ? x1 y2 i ? j ? x2 y1 i ? j ? y1 y2 j ? x1 x2 ? y1 y2.

故两个向量的数量积等于它们对应坐 标的乘积的和.即 y
A(x1,y1)
a
j

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .

B(x2,y2)
b

o

i

x

根据平面向量数量积的坐标表示,向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算.

2.向量的模和两点间的距离公式
(1)a ? a ? a 或 a ?
2

a ? a;

(1)向量的模
? ?2 ? 2 2 设a ? ( x, y), 则 a ? x ? y , 或 a ? x2 ? y 2 .

(2)两点间的距离公式
??? ? 设A x1 , y1 )、B( x2 , y2 ), 则 AB ? (x1 ? x2 )2 ? y1 ? y2 )2 . ( (

3.两向量垂直和平行的坐标表示 (1)垂直 a ? b ? a ? b ? 0
? ? 设a ? x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), ( ? ? 则a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0.

(2)平行
设a ? x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 ( a// b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

四、基本技能的形成与巩固

? ? ? ? 例1.已知a ? (3, 2), b ? (1, ?1), 求向量a与b的

夹角的余弦值. ? ? 解:设向量a与b的夹角为?,则

26 cos ? ? ? . 2 26 32 ? 22 ? 12 ? (-1)

3 ?1 ? 2 ? (-1)

? ? 26 即向量a与b夹角的余弦值为 . 26

例2.求以点C (a, b)为圆心,r为半径的圆的方 程(如图).
???? ? ???? ???? ? ? 解:设M ( x, y)是圆上一点,则 | CM |? r,即CM ? CM ? r 2 . ???? ? 因为CM ? ( x ? a, y ? b), 所以(x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 , 即圆的标准方程. y M
如果圆心在坐标原点上,这时a ? 0,b ? 0, 那么圆的标准方程就是 x2 ? y 2 ? r 2 .

C

o

x

例3.已知圆C:(x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 , 求与圆C 相切于点P0 ( x0, y0 )的切线方程(如图).

解:设(x,y)为所求直线l上一点. P
??? ? ???? ???? 根据圆的切线性质,有CP ? l,即CP ? PP ? 0, 0 0

y
C
P0

???? ???? 因为CP0 ? ( x0 ? a, y0 ? b), PP0 ? ( x ? x0 , y ? y0 ), 所以(x0 ? a)(x ? x0 ) ? ( y0 ? b)( y ? y0 ) ? 0,
特别地,当圆心在坐标原点时,圆的标准方程为 x2 ? y 2 ? r 2,

P

O

x

与它相切于P ( x0 , y0 )的切线方程为 0 x0(x ? x0 )+y0(y-y0 )=0.

由于 x ? y ? r ,故此方程可化为x0 x ? y0 y ? r .
2 0 2 0 2 2

?? 由解析几何知,给定斜率为k的直线l,则向量m ? (1, k ) ?? 与直线l共线, 我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l 的方向向量.

例4.已知直线l1: ? 4 y ? 12 ? 0和l2:x ? y ? 28 ? 0, 3x 7 求直线l1和l2的夹角.
解:任取直线l1和l2的方向向量 ?? ? 3 m? (1, )和n ? (1,7). 4

?? ? ?? ? 设向量m与n夹角为?,因为m ? n ?| m || n | cos ?, 从而 ? 3? 1? 1 ? ? ? ? ? (-7) 2 ? 4? cos ? ? ? . 2 3 2 2 2 2 1 ? ? )? 1 ? ( (-7) 4

所以? ? 45?,即直线l1和l2的夹角为45?.

练习1:
? ? 1,已知a ? (2,2 3 -4), b ? 1 (1, ), 求: ? ? (1) ? b; a ? ? (2)与b的夹角?的大小. a

? ? 2,已知a ? (3,2),? b (6,9), ???? ? 求证a ? b.

本堂小结
理解和应用向量的坐标表示公式解决问题:
1.数量积的坐标表示

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2
AB ? (x1 ? x2 ) ? y1 ? y2 ) (
2 2

?2 ? 2 2 2.向量坐标表示的求模公式 a ? x ? y , 或 a ? x 2 ? y 2

3.平面内两点间的距离公式

4.两向量夹角的余弦

cos ? ?

x1 x2 ? y1 y2 x ?y ? x ?y
2 1 2 1 2 2 2 2

5.向量垂直的判定

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

练习2:以原点和A(5,2)为两 个顶点作等腰直角△OAB,?B=90?, 求点B的坐标. y
B

A
O
?3 7? ?7 3? 答案: B的坐标为 ? , ?或? , ?. ? ?2 2? ?2 2?

x

六、课后练习
1.已 OA ? (?3,1), ? (0,5), AC // OB, 知 OB 且 BC ? AB, 点 C的 标 则 坐 为
29 ? ? C ? ? 3, ? 3 ? ?

2.已知A(1,2)、B(4、0)、C(8,6)、D(5,8), 则四边形ABCD的形状是 矩形.

a = (1,2), = (-3,2), b 若 k a ? 2b 与 2 a - 4 b 平行,则k =- 1

3.已知

.


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