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第一至第二十四届中国数学奥林匹克竞赛试题


第一届中国数学奥林匹克 (1986 年) 1. 已知 a1, a2, ... , an 为实数,如果它们中任意两数之和非负,那么对于满足 x1+ x2+ ... +xn=1 的任意非负实数 x1, x2, ... , xn,有不等式 +anxn≧a1x1 + a2x2 + ...
2 2

a1x1+ a2x2+ ... 题。

+anxn 成立。请证明上述命题及其逆命

2

2. 在三角形 ABC 中, 边上的高 AD=12, BC ∠A 的平分线 AE=13, BC 边上的中线 AF=m, 设 问 m 在甚么范围内取值时,∠A 分别为锐角,直角、钝角? 3. 设 z1, z2, ... , zn 为复数,满足| z1|+ | z2 |+ ... +| zn|=1。求证:上述 n 个

复数中,必存在若干个复数,它们的和的模不小于 1/6。 4. 已知:四边形的 P1P2P3P4 的四个顶点位于三角形 ABC 的边上。求证:四个三角形 △ P1P2P3、△P1P2P4、△P1P3P4、△P2P3P4 中,至少有一个的面积不大于 ABC 的面积的四分 之一。 5. 能否把 1, 1, 2, 2, ... , 1986, 1986 这些数排成一行,使得两个 1 之间夹着一个 数,两个 2 之间夹着两个数,....,两个 1986 之间夹着一千九百八十六个数。请证 明你的结论。 6. 用任意的方式,给平面上的每一点染上黑色或白色。求证:一定存在一个边长为 1 或 3 的正三角形,它的三个顶点是同色的。

第二届中国数学奥林匹克 (1987 年) 1. 设 n 为自然数,求方程 z -z -1=0 有模为 1 的复根的充份必要条件是 n+2 可被 6 整 除。 2. 把边长为 1 的正三角形 ABC 的各边都 n 等分,过各分点平行于其它两边的直线,将 这三角形分成小三角形,和小三角形的顶点都称为结点,在第一结点上放置了一个 实数。已知 i. ii. A、B、C 三点上放置的数分别为 a、b、c。 在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中, 两组相对顶点上放置 的数之和相等。
n+1 n

试求

(1)放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。

(2)所有结点上数的总和 S。

3. 某次体育比赛,每两名选手都进行一场比赛,每场比赛一定决出胜负,通过比赛确 定优秀选手,选手 A 被确定为优秀选手的条件是:对任何其它选手 B,或者 A 胜 B, 或者存在选手 C,C 胜 B,A 胜 C。 结果按上述规则确定的优秀选手只有一名,求证这名选手胜所有其它选手。 4. 在一个面积为 1 的正三角形内部,任意放五个点,试证:在此正三角形内,一定可 以作三个正三角形盖住这五个点, 这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边, 并且它们的面积之和不超过 0.64。 5. 设 A1A2A3A4 是一个四面体,S1, S2, S3, S4 分别是以 A1, A2, A3, A4 为球心的球,它们 两两相切。如果存在一点 O,以这点为球心可作一个半径为 r 的球与 S1, S2, S3, S4 都相切,还可以作一个半径为 R 的球积四面体的各棱都相切,求证这个四面体是正 四面体。 6. m 个互不相同的正偶数与 n 个互不相同的正奇数的总和为 1987,对于所有这样的 m 与 n,问 3m+4 的最大值是多少?请证明你的结论。 第三届中国数学奥林匹克 第三届中国数学奥林匹克 (1988 年) 1. 设 a1, a2, ... , an 是给定的不全为零的实数,r1, r2, ... , rn 为实数,如果不等 式 r1(x1-a1)+r2(x2-a2)+...+rn(xn-an)≦√(x1 + x2 + ... + xn ) + √(a1 + a2 + ... + an ) 对任何实数 x1, x2, ... , xn 成立,求 r1, r2, ... , rn 的值。 2. 设 C1、C2 为同心圆,C2 的半径是 C1 的半径的 2 倍,四边形 A1A2A3A4 内接于 C1,将 A1A4 延长,交圆 C2 于 B1。设 A1A2 延长线交 C2 于 B2,A2A3 延长线交圆 C2 于 B3,A3A4 延长线 交圆 C2 于 B4。试证:四边形 B1B2B3B4 的周长 2(四边形 A1A2A3A4 的周长)。并确定的号 成立的条件。 3. 在有限的实数列 a1, a2, ... , an 中,如果一段数 ak, ak+1, ... , ak+l-1 的算术平均 值大于 1988, 那么我们把这段数叫做一条“龙”, 并把 ak 叫做这条龙的“龙头”(如 果某一项 an>1988,那么单独这一项也叫龙)。
2 2 2 2 2 2

假设以上的数列中至少存在一条龙,证明:这数列中全体可以作为龙弄的项的算术 平均数也必定大于 1988。 4. (1)设三个正实数 a、b、c 满足(a +b +c ) >2(a +b +c )。 求证:a、b、c 一定是某个三角形的三条边长。 (2)设 n 个正实数 a1, a2, ... , an 满足 (a1 + a2 + ... + an ) >(n-1)(a1 + a2 + ... + an )其中 n≧3。 求证:这些数中任何三个一定是某个三角形的三条边长。 5. 给出三个四面体 AiBiCiDi(i=1, 2, 3),过点 Bi、Ci、Di 作平面 αi、βi、γi(i=1, 2, 3),分别与棱 AiBi、AiCi、AiDi 垂直(i=1, 2, 3),如果九个平面 αi、βi、γi(i=1, 2, 3)相交于一点 E,而三点 A1、A2、A3 在同一直线 l 上,求三个四面体的外接球面的放 条(形状怎样?位置如何?)。 6. 如 n 是不小于 3 的自然数,以 f(n)表示不是 n 的因子的最小自然数,例如 f(12)=5。 如果 f(n)3,又可作 f(f(n))。类似地,如果,f( f(n) )≧3,又可作 f( f( f(n))) 等等。如果 f( f(...f(n) ...)) =2,共有 k 个 f,就把 k 叫做 n 的“长度”。如果
2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 4 4 4

ln 表示 n 的长度,试对任意自然数 n (n≧3),求 ln。并证明你的结论。

第四届中国数学奥林匹克 (1989 年) 1. 在半径为 1 的圆周上, 任意给定两个点集 A、 它们都由有限段互不相交的弧组成, B, 其中 B 的每段的长度都等于 π/m,m 是自然数。用 A 表示将集合 A 反时针方向在圆 同上转动 jπ/m 弧度所得的集合(j=1, 2, ...)。 求证:存在自然数 k,使得 L(A ∩B)≧L(A)L(B)/(2π)。这里 L(x)表示组成点集 x 的互示相交的弧段的长度之和。 2. 设 x1, x2, ... , xn 都是正数(n≧2)且 x1+ x2+ ... +xn=1。求证:
j j

。 3. 设 S 为复平面上的单位圆同(即模为 1 的复数的集合),f 为从 S 到 S 的映射,对于 任意 S 的元素 z,定义 f (z)=f(z),f (z)=f( f(z)),...,f (z)=f( f 如果 S 的元素 c,使得 f (z)≠c,f (c)≠c,...,f
(1) (2) (n-1) (n) (1) (2) (k) (k-1)

(z) )。

(c)≠c,f (c)≠c。则称

c 为 f 的 n─周期点。设 m 是大于 1 的自然数,f 定义为 f(z)=z ,试计算 f 的 1989 ─周期点的总数。 4. 设点 D、E、F 分别在△ABC 的三边 BC、CA、AB 上,且△AEF、△BFD、△CDE 的内切 圆有相等的半径 r, 又以 r0 的 R 分别表示△DEF 和△ABC 的内切圆半径。 求证: 0=R。 r+r 5. 空间中有 1989 个点,其中任何三点不共线,把它们分成点数各不相同的 30 组,在 任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形。 6. 设 f: +∞)→(0, +∞)满足以下条件: (1, 对于任意实数 x、 y>1, u、 及 v>0, f(x y ) 有 ≦f(x)
1/(4u) u v

m

f(y)

1/(4v)

。试确定所有这样的函数。

第五届中国数学奥林匹克 (1990 年) 1. 如下图,在凸四边形 ABCD 中,AB 与 CD 不平行,圆 O1 过 A、B 且与边 CD 相切于 P, 圆 O2 过 C,D 且与边 AB 相切于 Q,圆 O1 与 O2 相交于 E、F。求证:EF 平分线段 PQ 的 充要条件是 BC//AD。

2. 设 x 是一个自然数, 若一串自然数 x0=1,

x2, ... , xn=x 满足

xi-1<i=1, 2, ...,l,

则称{ x0 , x1 , ... , xn}为 x 的一条因子链。l 称为该因子链的长度。L(x)与 R(x) 分别表示 x 的最长因子链的长度和最长因子链的条数。 对于 x=5 ×31 ×1990 , m、 k、 n 都是自然数,试求 L(x)与 R(x)。 3. 设函数 f(x)对 x>0 有定义,且满足条件: i. ii. 对任何 x、y≧0,f(x)f(y)≦x f(x/2) +y f(y/x); 存在常数 M>0, 当 0≦x≦1 时,| f(x) | ≦M。
2 2 2 k m n

求证:f(x)≦x 。

4. 设 a 是给定的正整数,A 和 B 是两个实数,试确定方程组: x +y +z =(13a) ,x (Ax +By )+y (Ay +Bz )+z (Az +Bx )=(2A+B)(13a) /3 有整数解的充份必要条件(用 A、B 的关系式表示,并予以证明)。 5. 设 X 是一个有限集合,法则 f 使的 X 的每一个偶子集 E(偶数个元素组成的子集)都 对应一个实数 f(E),满足条件: a. 存在一个偶子集 D,使得 f(D)>1990; b. 对于 X 的任意两个示相交的偶子集 A、B,有 f(A∪B)=f(A)+f(B)-1990。
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

求证:存在 X 的子集 P、Q,满足

iii. P∩Q 是空集,P∪Q=X; iv. 对 P 的任何非空偶子集 S,有 f(S)>1990 v. 对 Q 的任何偶子集 T,有 f(T)≦1990。 6. 凸 n 边形及 n-3 条在 n 边形内不相交的对角线组成的图形称为一个剖分图。求证: 当且仅当 3|n 时,存在一个剖分图是可以一笔划的圈(即可以从一个顶点出发,经过 图中各线段恰一次,最后回到出发点)。 第六届中国数学奥林匹克 (1991 年) 1. 平面上有一凸四边形 ABCD。 i. 如果平面上存在一点 P,使得 ΔABP、ΔBCP、ΔCDP、ΔDAP 面积都相等, 问四边形 ABCD 应满足甚么条件? ii. 满足(i)的点 P,平面上最多有几个?证明你的结论。

2. 设 I=[0,1],G={ (x, y) | x、y 为 I 的元素},求 G 到 I 的所有映像 f,使得对 I 的任何 x、y、z 有 i. ii. iii. f( f(x,y), z) =f( x, f(y,z) ); f(x, 1) =x, f(1,y)=y; f(zx, zy) =z f(x,y)。
k

这里,k 是与 x、y、z 无关的正数。

3. 地面上有 10 只小鸟在啄食,其中任意 5 只小鸟中至少有 4 只在一个圆上,问有鸟最 多的圆上最少有几只鸟? 4. 求满足方程 x
2n+1

-y

2n+1

=xyz+2

2n+1

的所有正整数解组(x, y, z, n), 这里 n≧2, z≦5×2 。
2 2

2n

5. 求所有自然数 n,使得 min 自然数 k( k +[n/k ] )=1991。这里[n/k]表示 n/k 的整数部 份。 6. MO 牌足球由若干多边形皮块用三种示同颜色的丝线缝制而成,有以下特点: i. 任一多边形皮块的一条边恰与另一多边形皮块同样长的一条用一种六色的 丝线缝合; ii. 足球上每结点,恰好是三个多边形的顶点,每一结点的三条缝线不相同。

求证:可以在 MO 牌足球的每一结点上放置一个不等于 1 的复数,使得每一多边形的 所有顶点上放置的复数的乘积都相等。


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