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第七章 第二节空间几何体的表面积与体积


第二节 空间几何体的表面积与体积

1.多面体的侧面积和表面积 因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是侧面 展开图的面积,表面积是侧面积与底面积的和.

2.旋转体的侧面积和表面积

①若圆柱的底面半径为r,母线长为l,则
2π r l 表=____________=__________. 2π

r2+2π r l 2π r(r+ l) S侧=______,S

②若圆锥的底面半径为r,母线长为l ,则 π r l ,S表=_________=________ π r2+π rl π r(r+l) . S侧=_____
③若圆台的上下底面半径分别为r′,r,母线长为l, π (r′+r)l ,S表=__________________ π (r′2+r2+r′l+rl) . 则S侧=__________

4 π R2 ④若球的半径为R,则它的表面积S=_____.

3.几何体的体积公式

几何体名称 棱( 圆) 柱
棱( 圆) 锥

体积
Sh V=___(S为底面面积,h为高)
1 Sh (S为底面面积,h为高) V= ____ 3 1   V= (S? ? S?S ? S)h (S′,S为上、下底 ______________ 3

棱( 圆) 台

面面积,h为高) 球
4 3 ?R (R为球半径) V= _____ 3

考向 1

空间几何体的表面积和体积

【例1】(1)(2013·湖南高考)已知棱长为1的正方体的俯视图 是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能 等于( C )

? A ?1

? B?

2

?C?

2 ?1 2

?D?

2 ?1 2

【例2】(2012·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位: 18+9π m3. m),则该几何体的体积为____

例3.已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , 用一个平面 去截这个棱柱,截面为 ?A2 B2C2 .设AA2 ? h1 , BB2 ? h2 , CC2 ? h3 , 棱柱的底面面积为 S,试 求截面与棱柱下底面之 间的几何体的体积?

割补法

考向 2

几何体的折叠与展开

【例4】(1)如图,在三棱柱ABC-A′B′C′中, △ABC为等边三角形,AA′⊥平面ABC,AB=3,AA′

=4,M为AA′的中点,P是BC上一点,且由P沿棱柱
侧面经过棱CC′到M的最短路线长为 29, 设这条路线与CC′的

交点为N,则PC=____, NC=____. 2

4 5

空间问题平面化

【互动探究】保持本例题(1)条件不变,则一只蚂蚁从B点出
发沿三棱柱的三个侧面绕一周,到达B′点的最短路线的长为

97 . ____

(2)如图为一几何体的展开图,其中四边形ABCD是边长为6的正 方形,SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP,点S,D,A,Q及点P,D,C, R分别共线,沿图中虚线将它们折叠起来,使P,Q,R,S四点 重合,则需要____个这样的几何体,可以拼成一个棱长为 3 6的正方体.

例5.已知斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1的底面是边长 为a的正三角形,侧棱长为 b,一条侧棱与底 面相邻两边AB, AC都成450 角,求这个三棱柱 的侧面积和体积?

能力提升
1.已知四面体有5条棱长为2,当第六条棱长为 多少时,四面体的体积最大,并求其最大值?

2.

3.(2013·衡水模拟)如图,正四面体ABCD的棱长为1,则这个 四面体的外接球的体积为
6 3 ?a . 8

变式.已知三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上, 若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( C )

?A?

3 17 2

? B? 2 10

? C?

13 2

? D? 3

10


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