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2.1曲线的参数方程 (第二课时)


2.1曲线的参数方程

复习回顾: 参数方程的定义
在平面直角坐标系中如果曲线上任意一点的 坐标x 、y都是某个变数t 的函数, 即:
x ? f (t ) y ? f (t )

并且对于t的每一个允许值,

由上述方程组所确定的点M(x,y) 都在这条曲线上,那么上述方程组 就叫做这条曲线的参数方程 联系x、y变数t叫做参变数,简称参数

参数方程与普通方程的同异点
(1)普通方程F(x,y)=0直接给出了曲线上点x, y 的坐标之间的关系,由于一个方程中含有两个 变量,因此自由变量有一个,而且给定其中任 意一个变量的值,都可以由方程F(x,y)=0确定另 一个变量的值;

(2)参数方程

x ? f (t ), y ? f (t ) 借助参数t,间接

给出曲线上点的坐标x ,y之间的关系,由于
是两个方程中含有x,y,t三个变量,因此自

由变量也只有一个,而且给定参数t的值,
就可以由方程组
x ? f (t ), 求出唯一对应x, y ? f (t )

y

的值,而且大多数情况下,参数方程中
参数的变化范围是有限制的.

研究两种抛射体运动:
1.斜抛运动 2.平抛运动

一.斜抛运动

1.斜抛运动的定义
斜抛运动是指以一 定的初速度将物体与 水平方向成一定角度 斜向上抛出,物体仅在 重力作用下所做的曲 线运动。

2.斜抛运动的特点与性质
(1)斜抛运动物体的特点:
初速度斜向上 仅受重力作用 加速度恒定 轨迹为抛物线 (2)斜抛运动物体的性质: 匀变速曲线运动

3.探究斜抛运动
火炮发射炮弹后,炮弹在空中形成一条轨 道曲线。为了简单起见,给出下面的 假设条件: (1)炮弹在空中的一个铅直平面上运动,即 轨道曲线为一平面曲线; (2)炮弹在运动中仅受重力作用,不计空 气阻力,也不受其他环境的影响; (3)炮弹的初速度为v0,发射角(仰角) 为α。

为了描述这一运动,就要建立轨道曲线的方程。 为此先在轨道曲线所在的平面上建立直角坐标系。 以火炮所在位置(炮口)为原点,地平线(水平 方向)为x轴,Y轴竖直向上,如图所示.把时间 记为t,开始发射时,记t=0. 设时刻t时炮弹所在位 y 置为点M(x,y),它是轨 道曲线上的动点。下面分 M(x,y) vo 别讨论坐标x,y与时间t之 vy 间的关系。 α
vx

x

y
M(x,y)

vy

vo

α
vx

x

由物理学知识可知,炮弹在水平方向作匀速直线 运动,在竖 直方向作竖直上抛运动,因此得:

{

x=v? cosα· t y=v? sinα· t— ?gt?

其中α、v ? 为常数,g是重力加速度 (一般g≈9.8m/s? )

4.斜抛运动物体的射高和射程
射高:在斜抛运动中,物体能到达的最大高度。 射程:物体从抛出点到落地点的水平距离。

射高 h ? ?v0 sin ? ?

射程

射高和射程 2g 都与初速度 大小和抛射 2 2 v0 sin ? 角有关系 h?
g

2

当抛射角α=45o时,射程最远

小练习 1.以初速度Vo,抛射角?向斜上方抛 出一个物体,由抛出到经过最高点的时间
V ? sin ? 是_____________ ,经过最高点的速度是 g
Vo cos ? ____________________ 。

2.做斜上抛运动的物体,在2s末经过 最高点时的速度是15m/s,g=10m/s2,则初速
o 53 度Vo=_______ m/s ,抛射角 α = ______ 。 25

Vx=Vo cos α=15 V o sinα =2 ty = g

Vo=25(m/s), α=53o

二.平抛运动 1.平抛运动定义
将物体用一定的初速度 沿水平方向抛出去,不考 虑空气阻力。物体只在重 力作用下的运动叫做平抛 运动。

2.平抛运动的运动性质
从受力情况看: a.竖直的重力与速度方向有夹角, 作曲线运动 b.水平方向不受外力作用,是匀 速运动 c.竖直方向受重力作用,没有初速度, 是自由落体运动

v0

mg

结论:平抛运动是匀变速曲线运动

3.平抛运动的规律
o

v0

x

⑴速度公式

v x ? v0 v y ? gt
2 2 vt ? v x ? vy
)

θ

v0

vy
o
y

v
X

gt tan ? ? ? v x v0 ⑵位移公式 x ? v0t
2 y?1 gt 2

vy



v0
s

x

y

)

θ

v0 v

s? x ?y
2

2

y gt 1 tan ? ? ? ? tg ? x 2v0 2

vy Y

例 题
飞机在高出地面0.81km的高度,以2.5×102 km/h的速度水平飞行。为了使飞机投下的炸弹落 在指定的轰炸目标上,应该在离轰炸目标的水平 距离多远处投弹?

解析:
飞机的飞行速度 炸弹做 平 抛 运动,初速度等于_______

由 y=

1 2

gt2

得:t=

2y g

炸弹飞行的水平距离x=v0t=v0×

2y g

2 9.8m/s 810 m 将 y= , g= , v0= 69.4m/s,代入上式得

x≈ 892.3 答:应该在……

m≈ 0.9 km

斜抛运动的定义
斜抛运动是指以一定的初速度将物体与水 平方向成一定角度抛出,物体仅在重力作用 下所做的曲线运动。

斜抛运动的特点
匀变速曲线运动

研究斜抛运动的方法
水平方向: 匀速直线运动

竖直方向: 竖直上抛运动

射高和射程与初速度大小和抛射角的关系
(V o sinα)2 h= 2g V o 2sin2α o时,射程最远 S= 当抛射角 ? = 45 g

平抛运动的定义
将物体用一定的初速度沿水平方向抛出 去,不考虑空气阻力。物体只在重力作用下 的运动叫做平抛运动。

平抛运动的特性
a.竖直的重力与速度方向有夹角,作曲线运动 b.水平方向不受外力作用,是匀速运动 c.竖直方向受重力作用,没有初速度,是自由落 体运动

平抛运动的规律
⑴速度公式 v x ? v0 v y ? gt
2 2 vt ? v x ? vy

o

v0


x

X

s

tan ? ? ⑵位移公式 x ? v0t

vy vx

?

gt v0

y

)

θ

v0

vy

v

2 y?1 gt 2

s? x ?y
2

2

Y y gt 1 tan ? ? ? ? tg ? x 2v0 2

1.有一辆在水平路面上匀速运动的汽车, 汽车里的某人手拿一个小球,松开手后小球开 始下落。在汽车里的人看来,小球做什么运动 ?在站在路边的人看来,小球做什么运动?

答:
自由落体 运动。 在汽车里的人看来,小球做_________

在站在路边的人看来,小球做 平抛

运动。

知识类比 平抛运动
Voy Vo

y

斜抛运动
Vo

x
VoX

x

mg

mg

y

水平方向:匀速直线运动
竖直方向:自由落体运动

水平方向:匀速直线运动 竖直方向:竖直上抛运动


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