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【2014青岛市一模第2套】山东省青岛市2014届高三第一次模拟考试 理科数学 Word版含答案


高三自评试卷

数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、 考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位臵上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应的位臵,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新 的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题
有一项是符合题目要求的. 1.复数 A. ?1

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只

2i ( i 是虚数单位)的虚部为 1? i B. i C. 1

D. 2

2.已知全集 U ? R ,集合 A ? x | x ? x ? 0 , B ? ? x | ln x ? 0? ,则 (CU A) ? B ?
2

?

?

A. (0,1]

B. (??,0) ? (1, ??)

C. ?

D. (0,1)

3.某中学高中一年级有 400 人,高中二年级有 320 人,高中三年级有 280 人,现从中抽 取一个容量为 200 人的样本,则高中二年级被抽取的人数为 A. 28
3

B. 32 B. x ? y ? 2 ? 0

C. 40 C. x ? y ? 2 ? 0

D. 64 D. x ? y ? 2 ? 0

4. 曲线 y ? x ? 2x 在 (1, ?1) 处的切线方程为 A. x ? y ? 2 ? 0

5.设 a 、 b 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列命题正确的是 A.若 a / /b, a / /? , 则 b / /? C.若 ? ? ? , a ? ? , 则 a / /? B.若 ? ? ? , a / /? , 则 a ? ? D.若 a ? b, a ? ? , b ? ? , 则 ? ? ?

?x ? 2 y ? 0 ? 6.设 z ? x ? y, 其中实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,若 z 的最大值为 12 ,则 z 的最小值为 ?0 ? y ? k ?
A. ?3 B. ?6 C. 3 D. 6
y

7.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 如图所示, 若 x1 , x2 ? (? A. 1 B.

?
2

) 的部分图象
1
?

? ?

且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则 f ( x1 ? x2 ) ? , ), 6 3 C.

? O
6

?

1 2

2 2

D.

3 2

3 (第 7 题)

x

8.在实验室进行的一项物理实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一 或最后一步,程序 B 和 C 在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有 A. 34 种 B. 48 种
2

C. 96 种

D. 144 种

9. 函数 f ( x) ? ln( x ? 2) 的图象大致是

10.如图,从点 M ( x0 , 4) 发出的光线,沿平行于抛物线 y ? 8 x 的
2

y
P
O
Q

对称轴方向射向此抛物线上的点 P ,经抛物线反射后,穿过焦点射 向抛物线上的点 Q ,再经抛物线反射后射向直线 l : x ? y ? 10 ? 0 上 的点 N ,经直线反射后又回到点 M ,则 x0 等于 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

M

x
N

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ? ? 11. 已知向量 a ? ? 2,1? , b ? ? ?1, k ? ,
开始

若 a ? b ,则实数 k ? ______; 12.圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心
2 2

输入 x

n ?1 n ? n ?1 x ? 2x ?1 n ?3?
否 是

到直线 l : 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离 d ?

;

13.如图是某算法的程序框图,若任意输入

[1,19] 中的实数 x ,则输出的 x 大于 49 的
概率为 ;

输出 x 结束

14.已知 x, y 均为正实数,且 xy ? x ? y ? 3 , 则 xy 的最小值为__________;

15. 如果对定义在 R 上的函数 f ( x) ,对任意两个不相等的实数 x1 , x2 ,都有

x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) ,则称函数 f ( x) 为“ H 函数”.给出
下列函数① y ? ? x3 ? x ? 1 ;② y ? 3x ? 2(sin x ? cos x) ;③ y ? e x ? 1 ;

? ?ln x x ? 0 ④ f ( x) ? ? .以上函数是“ H 函数”的所有序号为 0 x ? 0 ? ?
16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin(2 x ?

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

?
6

) , sin x) , n ? (1 , sin x) , f ( x) ? m ? n ?

1 . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递减区间; (Ⅱ)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, a ? 2 3 , f ( ) ? 若 3 sin(A ? C ) ? 2 cosC ,求 b 的大小.

A 2

1 , 2

(本小题满分 12 分) 17. 袋中装有大小相同的黑球和白球共 9 个,从中任取 2 个都是白球的概率为

5 .现甲、 12

乙两人从袋中轮流摸球,甲先取,乙后取,然后甲再取…,每次摸取 1 个球,取出的球不 放回,直到其中有一人取到白球时终止.用 X 表示取球终止时取球的总次数. (Ⅰ)求袋中原有白球的个数; (Ⅱ)求随机变量 X 的概率分布及数学期望 E ( X ) .

18. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 面 ABCD ,

P

E、 F 分别为 BD 、 PD 的中点, EA ? EB=AB ? 1 ,

F
A

PA ? 2 .
(Ⅰ)证明: PB ∥面 AEF ; (Ⅱ)求面 PBD 与面 AEF 所成锐角的余弦值.

D
B
C

E

(本小题满分 12 分) 19. 在数列 ?a n ? (n ? N ) 中,其前 n 项和为 S n ,满足 2S n ? n ? n .
?
2

(Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式;

?n ? 2 a n , n ? 2 k ? 1 ? (Ⅱ)设 bn ? ? 1 ( k 为正整数),求数列 ?bn ? 的前 2n 项和 T2 n . , n ? 2k ? 2 ? n ? 2n

(本小题满分 13 分) 20. 已知函数 f ( x) ? e ? 1 ? x .
x

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小值; (Ⅱ)当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时,这样的区间称为函数的 保值区间.设 g ( x) ? ( f ?( x) ? 1)( x ? 1) , 试问函数 g ( x) 在 (1, ??) 上是否存在保值区间?若
2

存在,请求出一个保值区间;若不存在,请说明理由.

(本小题满分 14 分) 21. 设 F1 , F2 分别是椭圆 D :

x2 y2 ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F2 作倾斜角为 2 3 a b

的直线交椭圆 D 于 A , B 两点, F1 到直线 AB 的距离为 3 ,连接椭圆 D 的四个顶点得到的 菱形面积为 4 . (Ⅰ)求椭圆 D 的方程; (Ⅱ) 已知点 M(?1 , 设 E 是椭圆 D 上的一点, 过 E 、M 两点的直线 l 交 y 轴于点 C , , 0) 若 CE ? ? EM , 求 ? 的取值范围; (Ⅲ)作直线 l1 与椭圆 D 交于不同的两点 P , Q ,其中 P 点的坐标为 (?2,0) ,若点 N (0, t ) 是 线段 PQ 垂直平分线上一点,且满足 NP ? NQ ? 4 ,求实数 t 的值.

??? ?

???? ?

高三自评试卷

数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分. CADAD BDCDB 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 2 12.

3

13.

2 3

14. 9

15.②③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) ? sin 2 x ?

1 2

?

3 3 1 1 ? cos 2 x 1 sin 2 x ……………………4 分 sin 2 x ? cos 2 x ? ? ? 2 2 2 2 2

? 3? ? ? 所以 f ( x) 递减区间是 ? k? ? , k? ? , k ? Z .……………………5 分 4 4 ? ? ?
(Ⅱ)由 f ( ) ? 若 cos A ?

A 2

3 1 3 sin 2 x 得: sin A ? 和 f ( x) ? ……………6 分 2 3 2

6 3 6 cosC ? sin C ,而 sin(A ? C ) ? 3 3 3

又 3 sin(A ? C ) ? 2 cosC ,所以 cosC ? 因为 0 ? C ? ? ,所以 cosC ? 若 cos A ? ?

2 sin C

6 3

6 6 ,同理可得: cos C ? ? ,显然不符合题意,舍去. …9 分 3 3
2 2 2 cos C ? ……………………10 分 3 3
……………………12 分

所以 sin B ? sin( A ? C ) ? 由正弦定理得: b ?

a sin B ?4 2 sin A

17. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)设袋中原有 n 个白球,则从 9 个球中任取 2 个球都是白球的概率为
2 Cn 5 ? ,化简得 n2 ? n ? 30 ? 0 . 2 C9 12 2 Cn …2 分 C92

由题意知

解得 n ? 6 或 n ? ?5 (舍去)……………………5 分 故袋中原有白球的个数为 6 ……………………6 分 (Ⅱ)由题意, X 的可能取值为 1, 2,3, 4 .

P( X ? 1) ?

2 3? 6 1 ; P( X ? 2) ? ? ; 3 9?8 4 3? 2 ? 6 1 3 ? 2 ?1? 6 1 . P( X ? 3) ? ? ; P( X ? 4) ? ? 9 ? 8 ? 7 14 9 ? 8 ? 7 ? 6 84

所以取球次数 X 的概率分布列为:

X
P

1
2 3

2
1 4

3
1 14

4
1 84

……………10 分

所求数学期望为 E ( X ) ? 1? 18. (本小题满分 12 分)

2 1 1 1 10 ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? …………………12 分 3 4 14 84 7

P

(Ⅰ)因为 E 、 F 分别为 BD 、 PD 的中点, 所以 EF ∥ PB ……………………2 分 因为 EF ? 面 AEF , PB ? 面 AEF 所以 PB ∥面 AEF ……………………4 分 (Ⅱ)因为 EA ? EB=AB ? 1 所以 ?ABE ? 60
?

F
A

D
B
C

E

又因为 E 为 BD 的中点 所以 ?ADE ? ?DAE

所以 2(?BAE ? ?DAE ) ? 180
?

?

得 ?BAE ? ?DAE ? 90 ,即 BA ? AD ……………6 分 因为 EA ? EB=AB ? 1 ,所以 AD ? 3 分别以 AB, AD, AP 为 x, y, z 轴建立坐标系

所以 B(1, 0, 0), D(0, 3, 0), P(0, 0, 2), F (0,

3 1 3 ,1), E ( , , 0) 2 2 2 ??? ? 1 3 3 , 0), AF ? (0, ,1) ………8 分 2 2 2

则 PB ? (1, 0, ?2), PD ? (0, 3, ?2), AE ? ( ,

??? ?
??

??? ?

??? ?

设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 、 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 分别是面 PBD 与面 AEF 的法向量 则?

?? ?

?? ? 2 3 ? x1 ? 2 z1 ? 0 ,1) ,令 n1 ? (2, 3 ? ? 3 y1 ? 2 z1 ? 0

? 3 y ?z ?0 ? ?? ? 3 ? 2 2 2 ) ……………11 分 又? ,令 n2 ? (? 3,1, ? 2 1 3 ? x ? y2 ? 0 2 ? ?2 2 ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 11 所以 cos n1 , n2 ? ?? ?? ? ? ……………12 分 n1 n2 19
19. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由题设得: 2S n ? n ? n ,所以 2Sn ?1 ? n ? 1 ? (n ? 1) (n ? 2)
2 2

所以 an ? Sn ? Sn ?1 ? 1 ? n

(n ? 2) ……………2 分

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 0 ,数列 ?an ? 是 a1 ? 0 为首项、公差为 ? 1 的等差数列 故 an ? 1 ? n .……………5 分

?n ? 21? n , n ? 2k ? 1 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知: bn ? ? 1 ? n ( n ? 2) , n ? 2 k ?

……………6 分

T2 n ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? b2 n
0 ?2 ?4 ?6 2?2 n ? ?? ?1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 ? ? (2n ? 1) ? 2 ?

?

1? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 2? 2 4 4 6 6 8 2 n 2 n ?2 ? ? ?
n 2 ……………9 分 n(? 2 ? 1)2?n ? 2 ? ? 4 (n ? 1)

0 ?2 6 ?? ? ? 2 ? ?5 ?24? ? 7 ?2 ? ? ?1 ? 2 ? 3

设 T ? 1 ? 3 ? 2?2 ? 5 ? 2?4 ? 7 ? 2?6 ? ? ? (2n ? 1) ? 22?2 n 则 2?2 ? T ? 2?2 ? 3 ? 2?4 ? 5 ? 2?6 ? 7 ? 2?8 ? ? ? (2n ? 3) ? 22?2 n ? (2n ? 1) ? 2?2 n

3 两式相减得: ? T ? 1 ? 2(2?2 ? 2?4 ? 2?6 ? 2?8 ? ? ? 22? 2 n ) ? (2n ? 1) ? 2?2 n 4 20 24n ? 20 整理得: T ? ……………11 分 ? 9 9 ? 22 n
所以 T2 n ?

20 24n ? 20 n ? ? 2n 9 9?2 4(n ? 1)

……………12 分

20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)求导数,得 f ?( x) ? e ? 1 .
x

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 .

……………2 分

当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (??, 0) 上是减函数; 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数. 故 f ( x) 在 x ? 0 处取得最小值 f (0) ? 0 . 假设函数 g ( x) 存在保值区间 ? a , b ? , 由 g ( x) ? ( x ? 1)e 得: g ?( x) ? ( x ? 2 x ? 1)e
2 x 2 x

……………6 分

(Ⅱ)函数 g ( x) 在 ?1, ?? ? 上不存在保值区间,证明如下:

因 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 为增函数,所以 ?

? g ( a ) ? (a 2 ? 1)e a ? a ? 2 b ? ?g(b) ? (b ? 1)e ? b

即方程 ( x ? 1)e ? x 有两个大于 1 的相异实根 ……………9 分
2 x

设 ? ( x) ? ( x ? 1)e ? x( x ? 1)
2 x

? ?( x) ? ( x 2 ? 2 x ? 1)e x ? 1
因 x ? 1 , ? ?( x) ? 0 ,所以 ? ( x) 在 (1, ??) 上单增 所以 ? ( x) 在区间 ?1, ?? ? 上至多有一个零点
2 x

……………12 分

这与方程 ( x ? 1) e ? x 有两个大于 1 的相异实根矛盾 所以假设不成立,即函数 h( x ) 在 ?1, ?? ? 上不存在保值区间. ……………13 分 21. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)设 F1 , F2 的坐标分别为 (?c,0), (c,0) ,其中 c ? 0 由题意得 AB 的方程为: y ?

3 ( x ? c)
? 3c ? 3c 3 ?1 ? 3 ,解得 c ? 3 ……………2 分

因 F1 到直线 AB 的距离为 3 ,所以有 所以有 a ? b ? c ? 3 ……①
2 2 2

由题意知:

1 ? 2a ? 2b ? 4 ,即 ab ? 2 ……② 2

联立①②解得: a ? 2, b ? 1

所求椭圆 D 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ……………4 分 4 x2 ? y2 ? 1 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆 D 的方程为

设 E ( x1 , y1 ) , C (0, m) ,由于 CE ? ? EM ,所以有 ( x1 , y1 ? m) ? ? (?1 ? x1 ,? y1 )

??? ?

???? ?

? x1 ? ?

?
1? ?

, y1 ?

m ……………7 分 1? ?

(?
又 E 是椭圆 D 上的一点,则 所以 m ?
2

?
1? ? 4

)2

(3? ? 2)(? ? 2) ?0 4

m 2 ?( ) ?1 1? ?

解得: ? ? ?

2 或 ? ? ?2 3

……………9 分

(Ⅲ)由 P(?2,0) , 设 Q( x1 , y1 ) 根据题意可知直线 l1 的斜率存在,可设直线斜率为 k ,则直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 2) 把它代入椭圆 D 的方程,消去 y ,整理得: (1 ? 4k ) x ? 16 k x ? (16 k ? 4) ? 0
2 2 2 2

16 k 2 2 ? 8k 2 4k ,则 x1 ? , y1 ? k ( x1 ? 2) ? 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2 8k 2 2k 所以线段 PQ 的中点坐标为 (? , ) 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
由韦达定理得 ? 2 ? x1 ? ? (1)当 k ? 0 时, 则有 Q(2,0) ,线段 PQ 垂直平分线为 y 轴 于是 NP ? (?2,?t ), NQ ? (2,?t ) 由 NP ? NQ ? ?4 ? t ? 4 ,解得: t ? ?2 2 ……………11 分
2

(2) 当 k ? 0 时, 则线段 PQ 垂直平分线的方程为 y ? 因为点 N (0, t ) 是线段 PQ 垂直平分线的一点 令 x ? 0 ,得: t ? ?

8k 2 2k 1 ) ? ? (x ? 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k k

6k 1 ? 4k 2

于是 NP ? (?2,?t ), NQ ? ( x1 , y1 ? t )

4(16 k 4 ? 15k 2 ? 1) 14 ? 4 ,解得: k ? ? 由 NP ? NQ ? ?2 x1 ? t ( y1 ? t ) ? 2 2 (1 ? 4k ) 7
代入 t ? ?

2 14 6k ,解得: t ? ? 2 5 1 ? 4k 2 14 . 5
……………14 分

综上, 满足条件的实数 t 的值为 t ? ?2 2 或 t ? ?


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