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高中数学 第一册 第三章 函数的应用


高中数学第一册
【基础知识】
1、函数的零点与方程根的关系

第三章 函数的应用(2014.1)

① 方程 f ( x) ? 0 有实根 ? 函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴有交点

? 函数 y ? f ( x) 有零点
②方程 f1 ( x) ? f 2 ( x) ? 0

有实根 ? 函数 y ? f1 ( x)与y ? f 2 ( x) 两个函数的图像有交点, 且原方程的根是这两个函数图像交点的横坐标。 2、函数零点的判断 函数 y ? f ( x) 在 ?a, b?上图像连续,且有f (a) ? f (b) ? 0, 那么函数y ? f ( x)在? a, b ? 内有零点,即存在 c ? ? a, b? , 使f (c) ? 0

【基本题型】
一、判断方程根所在的区间
1、 (1) (2011 新课标)在下列区间中,函数 f ( x) ? e ? 4 x ? 3 的零点所在的区间为(
x



(A) (? ,0)

1 4

(B) (0, )

1 4

(C.) ( , )

1 1 4 2

(D) ( , )

1 3 2 4

练习 1: (2011 天津理)函数 f ( x) ? 2 ? 3x 的零点所在的一个区间是(
x



A. ? ?2, ?1?

B、 ? ?1,0?
x

C. ? 0,1?

D. ?1, 2 ? )

练习 2: (2010 天津文)函数 f ( x) ? e ? x ? 2 的零点所在的一个区间是( A. ? ?2, ?1? B. ? ?1,0?
x

C、 ? 0,1? )

D. ?1, 2 ?

练习 3:函数 f ( x) ? ln x ? e 的零点所在的区间是( A. ?1,e ? 练习 4:函数 f ( x ) ? e ?
x

B.

?1 ? ? ,1? ?e ?

C、 ? 0, ? )

? ?

1? e?

D.

?e, ???

1 的零点所在的区间是 ( x
1

A.(0, )

1 2

B、 ( ,1)

1 2

C. (1, )

3 2

D. ( ,2) )

3 2

练习 5:已知函数 f ( x) ? xe x ? ax ?1 ,则关于 f ( x ) 零点叙述正确的是( A.当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 有两个零点 C.当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 有两个零点 (2)函数 f ( x ) ? lg x ?

B、函数 f ( x ) 必有一个零点是正数 D.当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 只有一个零点 )

1 的零点所在的区间是( x
(B).(2,3)

(A)(3,4) 练习 1:函数 f (x) ? ln x ?

(C)(1,2)

(D)(0,1) )

2 的零点所在的大致区间是( x
B、 (2,3)

A. (1,2)

C. (1, ) 和 (3,4)

1 e

D. (e,??)

练习 2: (2009 天津理)设函数 f ( x) ?

1 x ? ln x( x ? 0), 则 y ? f ( x) 3 1 1 A、在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点。 C、在区间 ( ,1) 内有零点,在区间 (1, e) 内无零点 e e 1 1 B、在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点。 D、在区间 ( ,1) 内无零点,在区间 (1, e) 内有零点 e e


w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

练习 3:设 x0 是函数 f ( x) ? 1nx ? x ? 4 的零点,则 x0 所在的区间为( A. (0, 1) B. (1, 2) C、 (2, 3)

D. (3, 4) )

练习 4: 【2014 北京文】已知函数 f ? x ? ? A. ? 0,1? B. ?1, 2 ?

6 ? log 2 x ,在下列区间中,包含 f ? x ? 零点的区间是( x
C、 ? 2, 4 ? D. ? 4, ???

练习 5:右图是函数 f ?x ? ? x 2 ? ax ? b 的部分图像, 则 g ?x? ? ln x ? f ??x? 的零点所在的区间是( ) A. ?

?1 1? , ? ?4 2?

B. ?1,2?

C、 ? ,1?

?1 ? ?2 ?

D. ?2,3?

(3) (2013 重庆理)若 a ? b ? c ,则函数 f ? x ? ? ? x ? a ?? x ? b ? ? ? x ? b ?? x ? c ? ? ? x ? c ?? x ? a ? 的两个零 点分别位于区间( ) A. ? a, b ? 和 ? b, c ? 内 C、 ? b, c ? 和 ? c, ??? 内 B、 ? ??, a ? 和 ? a, b ? 内 D、 ? ??, a ? 和 ? c, ??? 内

2

练习:对于函数 f ( x) ? x2 ? mx ? n, 若f (a) ? 0, f (b) ? 0 ,判断 f ( x)在(a, b) 内零点的情况? (4)方程 x ? 3 ? lg x 的解在区间( )内 A. (1,2) B. (2,3) C.(3,4) ) D. (0,1)

练习:下列方程在区间(0,1)内存在实数解的是(

A.x 2 ? x ? 3 ? 0
(5)设函数 y ? x 与y ? ( )
3

1 B. ? 1 ? 0 x

x C. ? ln x ? 0 . 2

D.x2 ? l gx ? 0

1 2

x?2

的图像的交点为 ( x0 , y0 ) ,则 x0 所在的区间是( ) C、 ? 2,3? D. ? 3, 4 ? )

A. ? 0,1?

B. ?1, 2 ?

练习: 函数 f ? x ? ? lg x与g ? x ? ? 7 ? 2x 图像交点的横坐标所在区间是 ( A. (1,2) B. (2,3)
x

C、 (3,4)

D. (4,5)

(6)根据表格,可判断方程 e ? x ? 2 ? 0 的一根在区间( )

x
ex
x?2

?1
0.37 1

0 1 2

1 2.72 3

2 7.39 4

3 20.09 5

A. (-1,0)

B.(0,1)

C、(1,2)

D.(2,3)

练习:已知函数 f (x) 的图像是连续不间断的,有如下的 x, f (x) 对应值表 1 2 3 f (x) 123.56 21.45 -7.82 函数 f (x) 在区间 [1,6] 上的零点至少有( A.2 个 B、3 个 C.4 个

x

4 11.57 )

5 53.76

6 -126.49

D.5 个 ( ? 或0 ) ( ?3 )

2 2、已知 f ( x) ? ax ? b 的零点为 2,求函数 g ( x) ? bx ? ax 的零点

1 2

练习 1:函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? c(a ? 0) 的一个零点为 1,求另一个零点。
2

?2 x ? 1, x ? 1, 练习 2:已知函数 f ( x) ? ? 则函数 f ( x) 的零点为( ?1 ? log 2 x, x ? 1.
A.



1 ,0 2

B.—2,0

C.

1 2

D、0

练习 3: 【2014 湖北文】已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) = x2 ? 3x . 则函数
g ( x) ? f ( x) ? x + 3 的零点的集合为( )
3

A. {1, 3}

B. { ? 3, ?1,1, 3}

C. {2 ? 7 ,1, 3} )

D、 { ? 2 ? 7 , 1, 3} b

3、下列函数中,不能用二分法求零点的是(

练习:若函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考值如下表,则方程

x3 ? x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似解为( ) f (1) ? ?2 f (1.5) ? 0.625

f (1.25) ? ?0.984
f (1.4375) ? 0.162
A.1.2
B.1.3 C.1.4

f (1.375) ? ?0.26
f (1.40625) ? ?0.054
D.1.5


3、 (1)已知 x0 是 f ( x ) ? ( ) ?
x

1 2

1 的一个零点。若 x1 ? (??, x0 ), x2 ? ( x0 ,0) ,则( x
B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0
x

A. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 C、 f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

练习 1: (2013 上期末) f ( x) ? ( ) ? log 3 x ,若 x0 是 f ( x ) 的零点,且 0 ? x1 ? x0 ,则 f ( x1 ) 的值为( ) A、恒为正值 B. 恒为负值 C.等于 0 D.不大于 0

1 5

练习 2: 【2012 山东文理】 设函数 f ( x) ?

1 , g ( x) ? ax 2 ? bx(a, b ? R, a ? 0) , 若 y ? f ( x) 的图像与 y ? g ( x) x

图像有且仅有两个不同的公共点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则下列判断正确的是( ) A.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 C. 当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 B、 当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 D. 当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0

(提示:法 1:A 或 B 点关于原点对称;法 2: f ( x) ?

1 , g ( x) ? ax ? b 数形结合) x2

练习 3: (2013 天津文) 设函数 f ( x) ? ex ? x ? 2, g ( x) ? ln x ? x2 ? 3 . 若实数 a, b 满足 f (a) ? 0, g (b) ? 0 , 则 (A). g (a) ? 0 ? f (b) (B) f (b) ? 0 ? g (a)
4

(C) 0 ? g (a) ? f (b)

(D) f (b) ? g (a) ? 0

练习 4:(2013 浙江文)已知 a, b, c ? R ,函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1),则( ) A. a>0, 4a+b=0 B、a<0, 4a+b=0 C、a>0, 2a+b=0 D、a<0, 2a+b=0

(2)已知 f ( x) 唯一的零点在区间 (1,3) 、 (1, 4) 、 (1,5) 内,那么下面命题错误的( ) A.函数 f ( x) 在 (1, 2) 或 ? 2,3? 内有零点 C、函数 f ( x) 在 (2,5) 内有零点 B.函数 f ( x) 在 (3,5) 内无零点 D.函数 f ( x) 在 (2, 4) 内不一定有零点

练习:偶函数 f ( x)在?0,a? (a ? 0)上单调,且f (0) ? f (a) ? 0, 讨论f ( x) ? 0在??a, a? 上的根的个数。

二、零点的个数问题
1、(1) f ( x ) 是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,在(0,+∞)上单调递减,且 f ( ) ? 0 ? f ( ? 3) , 则方程 f ( x) ? 0 的根的个数为( ) A.0 B.1 C、2 D.3

1 2

练习: y ? f ( x)对?x ? R都有f (3 ? x)=f (3 ? x), 且f ( x)=0 的所有实数根之和为 18,求 f ( x)=0 的所有实 数根的个数 (2) (2011 山东理)已知 f ( x ) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? x3 ? x ,则函数

y ? f ( x) 的图像在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为( )
A.6 B、7 C.8 D.9

练习:已知 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1), f ( x) ? f (? x ? 2) ,方程 f ( x) ? 0 在[0,1]内有且只有一个根 x ?

1 ,则 2

f ( x) ? 0 在区间 ?0,2013 ? 内根的个数为(
A.2011 B.1006 C、2013

) D.1007

2、 (1)若定义在 R 上的偶函数 f ( x)满足f ( x ? 2) ? f ( x), 且当x ??0,1?时,f ( x) ? x, 则方程 f ( x) ? log3 x 零点的个数为( ) A.多于 4 个 B.4 C.3 个 D、2 个
2

练习 1: f ( x)是R上的偶函数,且f (1 ? x)=f (1 ? x),当x ??0,1?时,f ( x)=x ,求 y ? f ( x) ? log5 x 零点 个数。
5

练习 2: (2013 临沂一模)定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 对任意的 x ? R 有 f ( 1 ? x ) ? f ( 1 ? x ) ,且当 x ?[2, 3]时, f ( x ) ? ? x2 ? 6x ? 9 . 若 y ? f(x) o lg? x (2)函数 f ( x) ? 3sin
a

在(0, +∞)上有四个零点, 则 a 的值为 (5)

.(

1 ) 4

?x
2

? log 1 x 的零点个数为
2

练习:函数 f ( x) ? 3cos

?x
2

? log 2 x ?

1 的零点个数为 2

(3) )

(3)【2013 湖南理】 f ? x ? ? 2ln x 的图像与 g ? x ? ? x2 ? 4x ? 5 的图像的交点个数为( A.3 B、2 C.1 D.0

练习 1: 【2013 湖南文】函数 f ? x ? ? ln x 的图像与函数 g ? x ? ? x2 ? 4x ? 4 的图像的交点个数为( ) A.0 练习 2:函数 f ( x) ? ? B.1 C、2 D.3

?2 x ? 2,

x ?1

2 ? x ? 4 x ? 3, x ? 1

的图像和函数 g ( x) ? ln(x ? 1) 的图像的交点个数是

(2)

2 (4) (2011 新课标)已知函数 y ? f ( x) 的周期为 2,当 x ?[?1,1] 时 f ( x) ? x ,那么函数 y ? f ( x) 的图像

与函数 y ?| lg x | 的图像的交点共有( (A)10 个。 (B)9 个

) (D)1 个

(C)8 个

2 练习 1:已知偶函数 y ? f ( x) ( x ? R)满足f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,当 x ? [?1,0] 时 f ( x) ? x ,那么函数

g ( x) ? f ( x)? | lg x | 的零点个数有(
(A)10 个. (B)9 个

) (D)7 个 (2)

(C)8 个

练习 2:已知 0 ? a ? 1, 求方程a|x| =|loga x| 的实根个数 练习 3:(2013 天津理)函数 f ( x) ? 2 x | log 0.5 x | ?1 的零点个数为( ) (A) 1 (B.) 2 (C) 3 (D) 4

(5)偶函数 f ( x)( x ? R)满足f ( x+2)=f ( x),且?x ??0,1?时 f ( x)=x ,讨论 f ( x) ? log3 | x | 根的个数。 练习 1: 若在 R 上的偶函数 f ( x)满足f ( x ?1) ? ? f ( x), 且当x ??0,1?时,f ( x) ? x, 则 y ? f ( x) ? log3 | x | 零 点的个数为( ) A.多于 4 个 B、4 C.3 个 D.2 个

练习 3: (2013 临沂二模理)已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 对任意的 x 都满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,当

6

?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? x3 ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? loga x 至少 6 个零点,则 a 取值范围是( )

1 ]( 5 , ??) 5 1 1 ( , ] (5, 7) (C) 7 5 (0 , (A. )

1 5 1 1 ( , ) [5, 7) (D) 7 5

(0, ) [5, ??) (B)

3、求函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? 1在?0,2?上零点的个数。 练习 1: (2011 湖南理)已知 f ( x) ? x3 , g ( x) ? x ? x ,求 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的零点个数。并说明理由 练习2:求函数 f ( x) ? 2 x 3 ? 3x ? 1 零点的个数为( A、 1 B. 2 C. 3 ) D. 4

4、 (1)讨论方程 2? x ? log2 x 实根的个数。
1

练习 1: 【2012 北京文 5】函数 f ( x) ? x 2 ? ( ) 的零点个数为( )
x

1 2

(A)0

(B.)1
?x

(C)2

(D)3 2

练习 3:函数 f ( x) ? 2

? x 2 ? 3 的零点个数是________.

(2) 【2012 天津理】 f ( x) ? 2 x ? x 3 ? 2 在区间(0,1)内的零点个数是( ) (A)0 (B.)1 (C)2 (D)3

x 练习: (2011 新课标)函数 f ( x) ? e ? 4 x ? 3 在区间 ( , ) 有几个零点?

1 1 4 2

(3) (2009 辽宁理)设 ? 、 ? 分别是方程 log2 x ? x ? 4 ? 0和2x ? x ? 4 ? 0 的根,则 ? + ? = 练习:方程 x ? lg x ? 3, x ? 10x ? 3 的根分别为 x1 , x2 , 则x1 ? x2 =( )

(4)

( A)6

( B)3 .

(C )1

( D )2

5、 (1) (2011 陕西文)方程 x ? cos x 在 ? ??, ??? 内, ( ) A.没有根 B.有且仅有一个根 C.有且仅有两个根 ). C.2 D.3 D.有无穷多个根

练习 1:函数 f(x)=sin x-x 零点的个数是( A.0 B、1

练习 2: (2010 浙江理)设函数 f ( x) ? 4sin(2 x ? 1) ? x ,则在下列区间中函数 f ( x ) 不 存在零点的是( ) . (A) ? ?4, ?2? (B) ? ?2,0? (C) ?0, 2?
7

(D) ? 2, 4?

(2) (2012 福建文) 已知函数 f ( x) ? ax sin x ?

3 ? ? ?3 (a ? R ), 且在 [0, ] 上的最大值为 , ①求函数 f ( x ) 的 2 2 2 ? 3 解析式;②判断函数 f ( x ) 在(0, )内的零点个数,并加以证明。 ( f ( x ) = x sin x ? ;1) 2 2

练习 1: 【2012 辽宁理】设函数 f(x) ( x ? R) 满足 f( ?x )=f(x),f(x)=f(2 ? x),且当 x ? [0,1] 时,f(x)=x3.又函数

1 3 g ( x) ?| x ? cos(? x) | ,则函数 h(x)=g(x) ? f(x)在 [? , ] 上的零点个数为( ) 2 2
A.8 B.5 C、6 D.7 练习 2: 【2012 湖北文 3】函数 f ( x) ? x ? cos 2 x 在区间 [0, 2? ] 上的零点个数为( ) A 、2 B 、3 C 、4 D. 5

练习 3:已知定义域为 R 的函数 f ? x ? 既是奇函数,又是周期为 3 的周期函数,当 x ? ? 0, ? 时,

? ?

3? 2?

?3? f ?x ? ? sin ?x, f ? ? ? 0 ,则函数 f ?x ? 在区间 ?0,6? 上的零点个数是( ) ?2?
A、9 B.7 C.5 D.3

(3) 【2012 湖南文 9】 设定义在 R 上的偶函数 f ( x ) , 最小正周期 T ? 2? ,f ?( x ) 是 f ( x ) 的导函数, 当 x ??0, ? ? 时,0< f ( x ) <1;当 x ? (0, ?) 且x ? 上的零点个数为( ) A .2

?
2

时 ,( x ? B. 4

?
2

) f ?( x) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) ? sin x 在 [?2? , 2? ]
C.5 D. 8

练习: 设定义在 R 上的偶函数 f ( x ) , 最小正周期 T ? 2? ,f ?( x ) 是 f ( x ) 的导函数, 当 x ??0, ? ? 时, 0< f ( x ) <1;当 x ? (0, ? ) 且x ? ( ) A .2

?
2

时 , (x ? B 、4

?
2

) f ?( x) ? 0 ,则方程 f ( x) ? cos x 在 [?2? , 2? ] 上的根的个数为
C.5 D. 8

? x 2 ? 2 x ? 3, x ? 0 6、 (2010 福建文)函数 f ( x) ? ? 的零点个数为( ) ? ?2 ? ln x, x ? 0
A.2 B、2 C.1 D.0

练习 1: 【2014 福建文】函数 f ?x ? ? ?

? x 2 ? 2,

x?0 的零点个数是_________(1) ?2 x ? 6 ? ln x, x ? 0

2 练习 2:定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x), 且x ?[?1,1]时,f ( x)=1 ? x ,

8

?1 x, x ? ? 0, ??) ? ?4 g ( x) ? ? ,则关于 x 的函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 [?5,5] 的零点的个数为( ) 1 ? , x ? (??, 0) ? ?x
(A).8 (B)7 (C)9 (D)10

7、 (1)已知函数 y ? f ( x) 为偶函数,其图像与 x 轴有四个交点,则该函数的所有零点之和为( ) (A)4 (B)2 (C)1 (D)0

练习: (2009 山东理)在 R 上的奇函数 f ( x ) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x), 且在x ??0,2?上为单调 递增函数,

若方程f ( x)=m(m ? 0)在??8,8? 上有 4 个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 , 求x1 +x2 +x3 +x4
(2) (2011 全国Ⅰ 理)函数 y ? ( ) (A)2

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于 x ?1
(B) 4 (C) 6 (D)8.

练习 1:函数 f ? x ? ? cos ? x 与函数 g ? x ? ? log 2 x ? 1 的图像所有交点的横坐标之和为( ) A.2 B、4 C.6 D.8

练习 2: (2012 临沂一轮)求函数 f ( x) ? ( )

1 2

| x ?1|

? 2 cos ? x( ?2 ? x ? 4)的所有零点之和

(6)

三、根据零点的个数求参量(值)范围
(??, ?1) ? ( , ??) 1、 (1) 若 f ( x) ? 3ax ?1 ? 2a在??1,1?上存在x0,使f ( x0 )=0( x0 ? ?1), 求a 的取值范围。
练习:已知方程 f ( x) ? 2mx ? 4在??2,1?上存在x0,使f ( x0 )=0, 求m 的取值范围。 (2)已知函数 f ( x) ?

1 5

a 3 3 2 x ? x ? (a ? 1) x ? 1, 其中a为实数。 ①已知 f ( x) 在 x ? 1处取得极值, 求a; 3 2
2

②已知不等式 f ?( x) ? x ? x ? a ? 1对任意a ? (0, ??)都成立, 求实数 x 的取值范围。 练习:若方程 f ( x) ? 2ax ? 2x ? 3 ? a(a ? R)在??1,1?上存在x0,使f ( x0 )=0, 求a 的取值范围
2

2、 (1)若方程 2ax ? x ? 1 ? 0 在 x ? ? 0,1? 内,恒有一解,求 a 的取值范围。
2

练习 1: f ( x) ? mx ? 2 x ? 1有且仅有一个正实数的零点, 则实数 m 的取值范围是________. ((-∞, 0]∪{1})
2

练习 2: 若方程 x ? 2mx ? 4 ? 0 的两根满足一根大于 2, 一根小于 1, 则 m 的取值范围是_____
2

(?

?5 ? , ?? ? ) ?2 ?

练习 3: 已知 f ( x) ? 1 ? ( x ? a)( x ? b), 且m, n是方程f ( x)=0的两根,则实数a, b, m, n 的大小关系可能为 ()
9

A、 m ? a ? b ? n

B. a ? m ? n ? b
2

C. a ? m ? b ? n

D. m ? a ? n ? b

练习 4: (2011 福建文)若方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围是( ) A. (-1,1) B. (-2,2) C. (-∞,-2)∪ (2,+∞) D. (-∞,-1)∪ (1,+∞)

(2)定义在 R 上的偶函数 f ( x ) ,且对任意实数 x 都有 f ( x ? 2) ? f ( x ) ,当 x ? ?0,1? 时, f ( x) ? x 2 ,若

1 (0, ] 4 2 练习:已知函数 y ? f ( x) ( x ? R) 是以 2 为周期的偶函数,当 x ? [0,1] 时 f ( x) ? x ,如果直线 y ? x ? a 与
在区间 ? ?1,3? 内,函数 g ( x ) ? f ( x ) ? kx ? k 有 4 个零点,则实数 k 的取值范围是 . 曲线 y ? f ( x) 恰有两个不同的交点,则实数 a 的值为( A. 2k (k ? Z ) B、 2 k 或 2 k ? ) D. 2k 或2k ?

1 (k ? Z ) 4

C.0

1 (k ? Z ) 4

(3) (2010 湖北文)若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围是( ) A. ? ?1,1 ? 2 2 ?

?

?

B. ?1 ? 2 2,1 ? 2 2 ?

?

?

C. ?1 ? 2 2,3?

?

?

D. ?1 ? 2,3?

?

?

练习:已知集合 M ? ( x, y) | y ? 9 ? x2 , N ? ?( x, y) | y ? x ? b? , 且M ? N =?,在b 的范围为( ) A. | b |? 3 2 B. 0 ? b ?

?

?

2

C. ?3 ? b ? 3 2

D、 b ? 3 2或b ? ?3 其中 a >0.(I)求函数 f ( x) 的单调区间;

3、 【2012 天津文】已知函数 f ( x) ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a ,x 3 2

(II)若函数 f ( x) 在区间( ? 2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围。 练习:若函数 f(x)=x3-3x+a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是( A、(-2,2) B.[-2,2]
x

).

C.(-∞,-1)

D.(1,+∞)

4、 (2009 山东文理)若函数 f ( x) ? a ? x ? a ( a >0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是 练习 1:若方程 2
x ?1

? 2 x2 ? a ? 0 有两解,求 a 的取值范围。

(a ?

1 ) 2
(-∞,2ln 2-2] )

练习 2:(2011· 辽宁)f(x)=ex-2x+a 有零点,则 a 的取值范围是________.
x

练习 3:(2013 新课标Ⅱ文)若存在正数 x 使 2 ( x ? a) ? 1 成立,则 a 的取值范围是( (A) (??, ??)
x

(B) (?2, ??)

(C) (0, ??)

(D.) (?1, ??) ( (2,3) )

5、 (1)若方程 | a ?1| ?2 ? a(a ? 1) 有两解,求 a 的取值范围。

? 1? x 练习:若 y ? 2a与y ?| a ? 1| ( a >0,且 a ≠1)的图像有两个公共点,则 a 的取值范围是____. ?0, ? 2 ? ?
10

(2)若方程 | x2 ? 2 x ? 3|? a 有两解,求 a 的取值范围。 练习 1:若方程 x | x ? 4 | ?5 ? a 有三解,求 a 的取值范围。

( a ? 0或a ? 4 )

练习 2:若函数 f(x)=|4x-x |+a 有 4 个零点,求实数 a 的取值范围.(-4,0) 练习 3:方程|x -2x|=a +1(a>0)的解的个数是( A.1 B、2 C.3 D.4
2 2

2

).

练习 4: (2010 全国)直线 y ? 1 与曲线 y ? x2 ? | x | ?a 有 4 个交点,求 a 的取值范围。

?( x ? 1)3 , x ? 2 ? 6、 (1)(2011 北京)已知函数 f ( x) ? ? 2 ,关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同的实根,则实数 k ? ,x ? 2 ?x
的取值范围是________. (0,1)
2 ? ?a ? ab, a ? b , 2 ? b ? ab , a ? b ?

练习 1: 【2012 福建理改 15】对于实数 a 和 b,定义运算“﹡” : a ?b ? ?

设 f ( x) ? (2 x ? 1) ? ( x ? 1) ,关于 x 的方程为 f ( x) ? m, (m ? R) 恰有三个互不相等的实数根 x1,x2, x3,则 m 的取值范围是_______________ 练习 2: (2011 天津理) 对a 和b , 定义运算 “? ” : a ?b ? ?

, b ? ? , 1 ?aa 1 . ?b, a ? b ?

2 2 设 f ( x) ? x ? 2 ? x ? x , x ? R.

?

? ?

?

若 y ? f ( x) ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则 c 的取值范围是( ) A. ? ??, ?2? ? ? ?1, ?

? ?

3? 2? ? ?

B、 ? ??, ?2? ? ? ?1, ?

? ?

3? ? 4? ? ?

C. ? ?1, ? ? ? , ?? ?

? ?

1? 4?

?1 ?4

D. ? ?1, ? ? ? ? , ?? ?

? ?

3? 4?

?1 ?4

? 1 ? 3, x ? (?1, 0] ? 练习 3: 【2014 重庆文】已知函数 f ( x) ? ? x ? 1 , 且g ( x) ? f ( x) ? mx ? m在(? 1,1] 内有且 ? ? x, x ? (0,1]
仅有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是( )

9 1 A、 ( ? , ?2] ? (0, ] 4 2 9 2 C.( ? , ?2] ? (0, ] 4 3

11 1 , ?2] ? (0, ] 4 2 11 2 D.(? , ?2] ? (0, ] 4 3 B.(?
11

练习 4:已知 f ( x ) ? ?

? x, x ? 0
2 ? x ? x, x ? 0

,若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有三个不同的零点,则实数 m 的取值范围为

A. [ ?

1 ,1] 2

B. [ ?

1 ,1) 2

C、 ( ?

1 , 0) 4

D. (? , 0]

1 4

(2) 【2012 天津理 14】已知函数 y ? 值范围是_________.

x2 ?1 x ?1

的图像与函数 y ? kx ? 2 的图像恰有两个交点,则实数 k 的取

(① 0 ? k ? 1 或 1 ? k ? 4 ;② 0 ? k ? 1 或 1 ? k ? 2 )

练习 1: 【2012 天津文】已知 y ?

x2 ?1 x ?1

的图像与 y ? kx 的图像恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是

练习 2:已知函数 y ?

x2 ?1 x ?1

的图象与函数 y ? kx ? 2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是

( 0 ? k ? 4且k ? 1) 练习 3: 【2014 山东理】已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ?1 , g ( x) ? kx ,若 f (x) ? g (x) 有两个不相等的实根,则实 数 k 的取值范围是( (A) (0, ) )

1 2

(B.) ( ,1)

1 2

(C) (1, 2)

(D) (2, ??)

7、 (1) (2011 山东文)已知函数 f ( x ) = loga x ? x ? b(a>0,且a ? 1). 当 2< a <3<b<4 时,函数 f ( x ) 的 零点 x0 ? (n, n ? 1), n ? N * , 则n= 2

练习 1:已知函数 f ?x ? ? ax ? x e 其中 e 是自然数的底数, a ? R.
2 x

?

?

(Ⅰ)当 a <0 时,解不等式 f ?x ? >0; (II)若 f ? x ? 在 ?? 1, 1?上是单调增函数,求 a 的取值范围; (III)当 a =0 时,求使方程 f ?x ? ? x ? 2 在 ?k , k ? 1? 上有解的所有整数 k 的值 ( ? 3,1)

x 2 练习 2:已知 f ( x) ? a ? x ? x ln a ? b(a, b ? R, a ? 1) 。①试判断 f ( x ) 在 (0, ??) 上的单调性;②当 a ? e ,

b ? 4 时,求整数 K 的值,使得函数 f ( x) 在区间 (k , k ? 1) 上存在零点
【① (0, ??) ? ;② k ? 1或k ? ?2 】 (2)已知定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ?x ? 4? ? f ?x ? ,且在区间 ?0,2?上 f ( x) ? x ,关于 x 的方程

f ( x) ? logm x 有三个不同的根,则 m 的范围为(
A.



? 2, 4 ?

B.

? 2, 2 2 ?

C.

?

6, 2 2
12

?

D、

?

6, 10

?

练习:设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? f ( x ? 4) ,且当 x ?[-2,0]时,

1 f ( x) ? ( ) x ? 1 ,若在区间(-2,6 2
数根,则 a 的取值范围为( ) A.(1,2) B.(2, ? ? )

? 内关于 x 的方程 f ( x) ? log a ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有三个不同的实

C.(1, 3 4 )

D、 ( 3 4 ,2)

8、 (1)设 f ( x) ? a ? b, 其中a = ? 2sin(

? ?

?

? ? ? ? ? x),cos 2 x ? , b ? ? sin( ? x), ? 3 ? , x ? R, ①求 f ( x) 解析式并 4 4 ? ? ?
? ?
, ]上有解,求m的取值范围。 4 2

化简;②求 f ( x ) 的周期及单调递增区间; ③若 f ( x) ? m ? 2在x ?[ 练习 1:已知不等式 f ( x) ? 6 sin( ?

x ? ? 5? ? ? ) ? m ? 0对于?x ? ?? , ? 恒成立,求 m 的范围。 2 6 ? 6 6? ? ? ?? , 有解,求m的范围。 ? 6 4? ?

练习 2:已知 3 sin x ? cos x ? m ? 0在区间x ? ??

2 (2)(2013 重庆文)设 0 ? ? ? ? ,不等式 8x ? (8sin ? ) x ? cos 2? ? 0 对 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围




2

? 5? [0, ] [ , ? ] 6 6

练习: 关于x的方程 cos x ? sin x ? a ? 0在(0, ] 上有解,则 a 的取值范围是

?

2

(?1,1]

四、应用题
1、 (1)某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆汽车的月租金为 3000 元时,可全部租出,当每辆车的月租金每 增加 50 元,未租出的车将会增加一辆,租出的车每月要维护费 150 元,未租出的每辆车每月维护费 50 元。①当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? ②当每辆车的月租金定为多少元时,月收 益最大?最大月收益为多少元? 练习 1:某商店某种商品的进货价为每件 40 元,当售价为 50 元时,一月售出 500 件,每件商品的单价每提高 1 元,此商品一个月的销售量会减少 10 件。问商店为使销售该商品的月利润最高,每件商品应定价为多 少元? (70)

练习 2:某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 220 元,每桶水的进价是 5 元,销售单价与日均 销售量的关系如下表所示:

13

销售单价(元)

6

7 440

8 400

9 360

10 320

11 280 元。

12 240 (11.5)

日均销售量(桶) 480

根据以上数据,这个经营部要使利润最大,销售单价应定为

练习 3:(2013 期中)某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出。当每辆车的 月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每 辆每月需要维护费 50 元。 (Ⅰ)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车?(Ⅱ)当每辆车的 月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月利润是多少? 练习 4:(2013 上海文)甲厂以 x 千克每小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1≤x≤10) ,每小时可 获得的利润是 100 ? 5 x ? 1 ?

? ?

3? 1 3 ? ? ? 元.①求证:生产 a 千克该产品所获得的利润为 100 a ? 5 ? ? 2 ? 元; x? x x ? ?

②要使生产 900 千克该产品获得的利润最大, 问甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润 ( . 6; 457500) 练习 5:(2013 上海理)甲厂以 x 千克每小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求 1 ? x ? 10 ) ,每小时可 获得利润是 100(5 x ? 1 ? ) 元.(Ⅰ)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范 围;(Ⅱ)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润. (2)某企业拟投资 A 、 B 两个项目,预计投资 A 项目 m 万元可获得利润 P ? ? 万元;投资 B 项目 n 万元可获得利润 Q ? ?

3 x

1 2 ? m ? 20 ? ? 105 80

79 59 2 ? 40 ? n ? ? ? 40 ? n? 万元.若该企业用 40 80 2

万元来投资这两个项目,则分别投资多少万元能获得最大利润?最大利润是多少?(15,25;325) 练习:某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15x2 和 L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最大利润为( A.45.606 万元 B、45.6 万元 C.45.56 万元 D.45.51 万元 )

2、 (2011 湖北理)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下,大桥上的车流 速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数。当桥上的的车流密度达到 200 辆/千 米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究 表明;当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ? x ?
14

的表达式;(Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:辆/每小 时) f ? x ? ? x.v ? x ? 可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时) 练习 1:某市出租车的计价标准为 4 公里以内 10 元(含 4 公里) ,超过 4 公里且不超过 18 公里的部分 1.2 元/ 公里,超过 18 公里的部分 1.8 元/公里。①若不计等待时间的费用,建立车费与行车里程的函数关系 式;②若某人乘车行驶 20 公里,他需要付多少车费? (30.4)

练习 2:某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元,每生产一台仪器需要增加成本 100 元,已知总收益

1 2 ? ?400 x ? x , x ? ?0, 400 ? 满足函数 R( x)= ? ,其中 x 表示月产量。①将利润表示为月产量的函数;② 2 ? 80000, x ? ?400, ?? ? ?
当月产量为多少时,利润最大?
2

(300;25000)

3、围建一个面积为 360 m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其

他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口,如图所示.已知旧 墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m.设利用的旧墙长度为

x (单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位:元)①将 y 表
示为 x 的函数;②试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,
360 并求出最小总费用. ( y =225 x + -360( x >0);24,10 440)
2

x

练习 1:上海某玩具厂生产 x 万套世博会吉祥物海宝所需成本费用为 P 元,且

P ? 1000 ? 5 x ?

1 2 a x , x ? (0,200 ] ,而每套售出价格为 Q 元,其中 Q ? ? b, (a ? 5000,b ? 5) ,问:⑴ 10 x

该玩具厂生产多少万套吉祥物时,使得每套成本费用最低?⑵ 若产出的吉祥物能全部售出,问产量多大时, 厂家所获利润最大? (100;即 b ? 45 时, f max ( x) ? f [5(b ? 5)] ? 套时, f max ( x) ? 200 b ? a ? 6000) 练习 2:某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件 ,需另投入成本为 C ( x) ,当年产量不足 80 ..

5 (b ? 5) 2 ? a ? 100 ;当 b ? 45 时,? 当产量为 200 万 2

15

千件时, C ( x ) ?

1 2 10000 x ? 10 x (万元) ? 1450 (万 。当年产量不小于 80 千件时, C ( x) ? 51x ? 3 x

元) 。每件 商品售价为 0.05 万元。通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完。 .. (Ⅰ)写出年利润 L( x) (万元)关于年产量 x (千件 )的函数解析式; .. (Ⅱ)年产量为多少千件 时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? ..

? 1 2 ? x ? 40x ? 250(0 ? x ? 80), ? ? 3 ( L( x) ? ? ;当产量为 100 千件时,利润最大,最大利润为 1000 万元。 ) 10000 ? ? ?1200? ? x ? ?( x ? 80). ? x ? ? ?
练习 3:(2013 陕西理) 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于 300m2 的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长 x(单位 m)的取值范围是 (A) [15,20] (B) [12,25] (C.) [10,30]
x 40m

40m

(D) [20,30]

4、 (必修一 P 某公司为了实现 2013 年销售利润 1000 万元的目标, 准备制定一个激励销售人员的奖励方案; 97 ) 从销售利润达到 10 万元开始,按销售利润进行奖励,且奖金数额 y(单位:万元)随销售利润 x(单位:万 元)的增加而增加,但奖金数额不超过 5 万元,同时奖金数额不超过销售利润的 25%。现有三个奖励模型:

y ? 0.025 x, y ? 1.003x , y ?
(参考数据: 1.003
600

1 ln x ? 1 ,问其中是否有模型能完全符合公司的要求?请说明理由。 2

? 6, e ? 2.70828 , e8 ? 2981 )

【答

案】

【2012 天津文】

16

( (必修一 P ) 97 )

【(2013 上海文】 ①证明:由题知,生产 a 千克该产品所需要的时间 t ? 所获得的利润 y ?

a x 小时,

a 3 1 3 ? 100 (5 x ? 1 ? ) ? 100 a(5 ? ? 2 )( 元),其中1 ? x ? 10. x x x x

所以,生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a ? 5 ?

? ?

1 3 ? (证毕) ? ? 元; x x2 ?

② 由①知,生产 900 千克该产品即 a=900 千克时,获得的利润

1 3 1 1 ? 2 ) ? 90000 [5 ? (1 ? 3 ? )] x x x x 1 1 1 1 由二次函数的知识可知,当 = ,即 x=6 时, y ? 90000 [5 ? (1 ? 3 ? )] x 6 6 6 y ? 100 ? 900 (5 ?

? 450000? 7500? 457500 (元) 所以,当生产速度为 6 千克/小时,这时获得最大利润为 457500 元
3 ? 0 又 1 ? x ? 10 ,可解得 3 ? x ? 10 (2) x 900 3 1 1 61 ?100(5 x ? 1 ? ) ? 9 ?104 [?3( ? ) 2 ? ] ,故 x ? 6 时, ymax ? 457500 元. 设利润为 y 元,则 y ? x x x 6 12
(2013 上海理) (1)根据题意, 200(5 x ? 1 ? ) ? 3000 ? 5 x ? 14 ?

3 x

17


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