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2013年江苏省高考数学押题试卷


2013 年高考数学模拟试题
一 填空题 1+i 1-i 1. 复数 + = 1-i 1+i
2

. .
开始 输入 x
Y

2.设一个椭圆的短轴长、焦距、长轴长成等差数列,则此椭圆的离心率 e= 3. 函数 f(x)=lg(x ―ax―1)在区间(1,+∞)上单调增函数, a 的取值范围 则 是________. 4. 下面的流程图可表示分段函数是________. 5. 在平面几何里,有勾股定理: “设△ABC 的两边 AB,AC 互相垂直, 2 2 2 则 AB +AC =BC .” 拓展到空间,类比平面几何里的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与 底面面积之间的关系,可以得到的正确的结论是“设三棱 A-BCD 的侧面 ABC, ACD, ADB 两两互相垂直,则有________.
y←1

x>0
Y

N

x<0

N

y←-1 输出 y 结束

y←0

πx 1 6. 在区间[-1,1]上随机取一个数 x,cos 的值介于 0 到 之间的概率为 2 2 tan12o- 3 7. = (2cos212o-1)sin12o .

.

8. 已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方 程是 . 9. 从正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 8 个顶点中任意取 4 个不同的顶点,这 4 个顶点可能是 (1)矩形的 4 个顶点; (2)每个面都是等边三角形的四面体的 4 个顶点; (2)每个面都是直角 三角形的四面体的 4 个顶点; (4)有三个面是等腰直角三角形,有一个面是等边三角形的四 面体的 4 个顶点. 其中正确的结论有________个. 10. 设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 3Sn,4Sn+1,5Sn+2 成等差数列,则 q 的值为 . → → 11. 设点 O 是△ABC 的外心,AB=17,AC=15,则 BC · AO= .

12. 小李拟将 1,2,3,?, n 这 n 个数输入电脑, 求平均数, 当他认为输入完毕时, 电脑显示只输 5 入 n-1 个数, 平均数为 35 , 假设这 n-1 个数输入无误,则漏输的一个数是 . 7 1 13. 正数 x, y 满足(1+x)(1+y)=2, 则 xy+ 的最小值是 xy .

14. 设 x 是一个正数, 记不超过 x 的最大整数为[x], 令{x}=x-[x],且{x}, [x], x 成等比数列, 则 x= . 二 解答题 C 15. 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,四边形 A1ABB1 是菱形,四边 o C 形 BCC1B1 是矩形,C1B1⊥AB,且 C1B1=3,AB=4,∠ABB1=60 . (1)求证:平面 CA1B⊥平面 A1AB; B (2)求直线 AC1 与平面 BCC1 所成的角的正弦; (3)求三棱锥 A1-BCC1 的体积. B A
1 1 1

A

1 16. 设{an}是正数数列, 其前 n 项和 Sn 满足 Sn= (an-1)(an+3). 4 (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)令 bn= ,试求数列{bn}的前 n 项和 Tn. Sn

2(a?b) 17. 在平面上,给定非零向量 b,对任意向量 c,定义 c=a- 2 b. |b| (1)若 a=(2,3), b=(-1,3), 求 c; (2)若 b=(2,1),证明:若位置向量 a 的终点在直线 Ax+By+C=0 上,则位置向量 c 的终 点也在一条直线上; (3)已知存在单位向量 b,当位置向量 a 的终点在抛物线 C:x2=y 上时,位置向量 c 终点 总在抛物线 C′: y2=x 上,曲线 C 和 C′关于直线 l 对称,问直线 l 与向量 b 满足什么关系?

18. 如图,两个工厂 A,B 相距 2 km,点 O 为 AB 的中点,现要在以 O 为圆心,2 km 为半

径的圆弧 MN 上的某一点 P 处建一幢办公楼,其中 MA⊥AB,NB⊥AB.据测算此办公 楼受工厂 A 的“噪音影响度”与距离 AP 的平方成反比,比例系数是 1,办公楼受工厂 B 的“噪音影响度”与距离 BP 的平方也成反比,比例系数是 4,办公楼受 A,B 两厂 的“总噪音影响度”y 是受 A,B 两厂“噪音影响度”的和,设 AP 为 x km. (1)求“总噪音影响度”y 关于 x 的函数关系,并求出该函数的定义域; (2)当 AP 为多少时, “总噪音影响度”最小? P N M

B

O

A

19. 已知椭圆 C 的方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) , A、 B 分别为其左、 点 右顶点, F1、 F 2 点

分别为其左、右焦点,以点 A 为圆心, A F1 为半径作圆 A ;以点 B 为圆心, O B 为半径作 圆B ; 若直线 l : y ? ?
3 3 x 被圆 A 和圆 B 截得的弦长之比为 15 6



(1)求椭圆 C 的离心率; (2)己知 a=7,问是否存在点 P ,使得过 P 点有无数条直线被圆 A 和圆 B 截得的弦长之比 为
3 4

;若存在,请求出所有的 P 点坐标;若不存在,请说明理由. y

A

· F

1

O

· F2

B

x

20. 已知函数 f(x)=2x+alnx.

f(x1)+f(x2) x1+x2 (1)若 a<0,证明:对于任意两个正数 x1,x2,总有 ≥f( )成立; 2 2 1 2 (2)若对任意 x∈[1,e], 不等式 f(x)≤(a+3)x- x 恒成立,求 a 的取值范围. 2

加试题
21.从 A,B,C,D 四个中选做 2 个,每题 10 分,共 20 分 A.选修 4—1 几何证明选讲 如图, 在锐角△ABC 中, 三条高 AD, BE, CF 交于点 H, 证明 点 H 是△DEF 的内心.(三条内角平分线的交点) B.选修 4—2 矩阵与变换 在平面直角坐标系 xOy 中, 设曲线 C: xy=1 在矩阵? cosθ sinθ? ?-sinθ cosθ?(0≤
B A

F E H

π θ< )对应的变换作用下得到曲线 F,且 F 的方程为 x2-y2=a2(a> 2 0), 求 θ 和 a 的值. C.选修 4—4 参数方程与极坐标

D

C

?x=t+5, 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程是? (t 为参数), 圆 C 的参数方程是 ?y=-4-t ?x=cosθ, ? (θ 为参数), 直线 l 与交于两个不同的点 A, B, 点 P 在圆 C 上运动, 求△PAB 面积 ?y=sinθ

的最大值. D.选修 4—5 不等式证明选讲 (a-b)2 a+b 证明:对任意正数 a≠b 的算术平均 A= 与几何平均 B= ab有 B< <A. 2 8(A-B) 22. 【必做题】 某学生在上学路上要经过 4 个路口, 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的, 遇到红 灯的概率都是
1 3

,遇到红灯时停留的时间都是 2min.

(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ? 的分布列及期望. 23. 【必做题】 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P,Q 分别是直线 BD1, AC 上的动点, 且 PQ 与 BD1, AC 都垂直, 则称线段 PQ 是异面直线 BD1 与 AC 的公垂线段. (1) 求直线 BD1 与平面 ACD1 所成角的正弦值; (2) 求异面直线 BD1 与 AC 的公垂线段 PQ 的长; (3) 求二面角 B-CD1-A 的余弦值.

解答
1. 0. 4 1 5 c 2. . 由 a+b=2c, a2-b2=c2, 两式相除得 a-b= c, 与 a+b=2c 相加得 2a= c,从而 e= 5 2 2 a 4 = . 5 a 3.填(-∞,0]. g(x)=x2―ax―1 的对称轴 x= ≤1,且 g(1)=―a≥0, 所以 a≤0. 2

?1 ? 4. f(x)=?0 ?-1 ?

x>0 x=0 x<0

5. S△BCD2=S△ABC2+S△ACD2+S△ABD2. πx 1 π πx π π πx π 2 6. 0≤cos ≤ ,在区间[-1,1]上的解应满足 ≤ ≤ 和- ≤ ≤- ,解得 ≤x≤1,和-1 2 2 3 2 2 2 2 3 3 2 πx 1 1 ≤x≤- .所以 0≤cos ≤ 的概率是 . 3 2 2 3 sin12o sin60o - cos12o cos60o tan12 - 3 -sin48o 7. -8.过程是 =-8. o = o 2 o o= cos24sin12 cos24 sin12ocos60ocos12o (2cos 12 -1)sin12
o

8. 方法一 在等式 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8 中将 x 全部换成 2-x 得 f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8,联立两式解得 f(x)=x2.所以曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的 切线方程是 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0. 方法二在等式 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8 中令 x=1 解得 f(1)=1,对等式 f(x)=2f(2-x)-x2+ 8x-8 两端求导得 f '(x)=-2f ' (2-x)-2x+8,令 x=1 解得 f '(1)=2, 所以曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0. 9. 填 4. 四边形 ABCD 适合(1), 四面体 ACB1D1 适合(2), DB1C1D1 适合(3), DA1C1D1 适合(4), 因此正确的结论有 4 个. an+2 8 10. 8Sn+1=3Sn+5Sn+2, 即 8(Sn+an+1)=3Sn+5(Sn+an+2), 所以 8an+1=5an+2, q= = . an+1 5 11. -32. → → → → → → → → → 解法一 BC · AO=-( OC- OB)· OA= OA· OB- OA· OC →2 →2 →2 →2 →2 →2 →2 →2 OA + OB - AB OA + OC - AC AC - AB = - = =-32. 2 2 2 → → → → → → → 解法二 取 BC 的中点 D, 则 BC · AO= BC ·( AD+ DO)= BC · AD+ → → → → → → 1 → → 1 →2 →2 BC ·DO= BC · AD=( AC - AB )· ( AC + AB )= ( AC - AB )=-32. 2 2 12. 设删去的一个数是 x,则 1≤x≤n, 则删去的一个数是 1,则平均数不减, 平均数为 n(n+1) n(n+1) -1 -n 2 2 n+2 n n = ,删去的一个数是 n,则平均数不增, 平均数为 = , 所以 ≤ 2 2 2 n-1 n-1
B A

O C

D

5 n+2 35 ≤ , 69<n≤71.当 n=71 时, 7 2

n(n+1) -x 2 5 =35 ,解得 x=56,当 n=70 时无解,所以 x 7 n-1

=56. 13.方法一 因为(x+y)2≥4xy, (1+x)(1+y)=2,所以, x+y=1-xy,(1-xy)2≥4xy,即 1-2xy+ 1 (xy)2≥4xy, 1+(xy)2≥6xy,所以两边同除以 xy 得 xy+ ≥6. xy 方法二 因为(1+x)(1+y)=2,所以,2=1+xy+x+y≥1+xy+2 xy=( xy+1)2,所以 xy≤ 2 -1,xy≤( 2-1)2=3-2 2,所以 3-xy≥2 2,两边平方得 1+(xy)2≥6xy,所以两边同除以 xy 1 得 xy+ ≥6. xy 方法三 由柯西不等式得(1+x)(1+y)≥( xy+1)2,所以 xy≤ 2-1,xy≤( 2-1)2=3-2 2, 1 1 1 由于函数 f(t)=t+ 在(0,3-2 2]上单调递减,所以 xy+ ≥3-2 2+ =6. t xy 3-2 2 14. 5+1 [x] x {x}+[x] {x} ,因为{x}, [x], x 成等比数列, 则 1< = = =1+ <2,所以 1≤[x]< 2 {x} [x] [x] [x]

5-1 [x] x 1 2{x}<2,于是[x]=1,从而 = 化为 =1+{x},注意到 0<{x}<1, 解得{x}= ,所以 {x} [x] {x} 2 x= 5+1 . 2

15.(1) 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, C1B1∥CB, 所以 CB⊥AB, 又因为 CB⊥B1B, AB∩B1B=B, 所以 CB⊥平面 A1AB, 因为 CB?平面 CA1B, 所以平面 CA1B⊥平面 A1AB; (2)由 C1B1⊥平面 A1AB, 得平面 A1AB⊥平面 BCC1. 过 A 作 AH⊥平面 BCC1, H 为垂足, 则 H 在 B1B 上, 连接 C1H, 则∠AC1H 为直线 AC1 与平面 BCC1 所成的角. 连接 AB1, 由四边形 A1ABB1 是菱形, ∠ABB1=60o,可知△ABB1 为等边三角形, 而 H 是 BB1 的 中点, 又 AB1=4, AH=2 3, 于是在直角△C1B1A 中, AC1= 42+32=5,在直角△AH C1 中, 2 3 sin∠A C1H= , 因此, 直线 AC1 与平面 BCC1 所成的角的正弦等 5 2 3 于 . 5 (3)因为四边形 BCC1B1 是矩形,C1B1=3,△ABB1 为等边三角形,所以 1 BB1=4, 所以△BCC1 的面积为 ×3×4=6, 由(2) AH⊥平面 BCC1, 2
A1 A C1 C

B1

B

1 AH=2 3,所以三棱锥 A1-BCC1 的体积 V= ×△BCC1 的面积×AH=4 3. 3 1 16. (1)由 a1=S1= (a1-1)(a1+3)及 an>0 得 a1=3. 4 1 1 由 Sn= (an-1)(an+3),得 Sn?1= (an?1-1)(an?1+3). 4 4 1 1 1 所以 an= (an-1)(an+3)- (an?1-1)(an?1+3)= [(a2-a2?1)+2(an-an?1)]. 4 4 4 n n 整理得 2(an+an?1)=(an+an?1)(an-an?1). 因为 an+an?1>0,所以 an-an?1=2, 即{an}是以 3 为首项公差为 2 的等差数列,于是 an=2n+1. 1 1 11 1 (2)因为 an=2n+1,所以 Sn=n(n+2), bn= = = ( - ), Sn n(n+2) 2 n n+2

2n+3 1 1 1 1 1 1 1 3 Tn= bk= ( - )= (1+ ― ― )= - . 2k=1 k k+2 2 2 n+1 n+2 4 2(n+1)(n+2) k=1 2(-2+9) 17 6 17.(1) c=(2,3)- (-1,3)=( ,- ). 10 5 5 2 3 4 4 3 (2)设 a=(x,y), c=(x′,y′),则(x′,y′)=(x,y)- (x+2y)(2,1)=(- x- y, - x+ y), 5 5 5 5 5



n



n

?x′=-5x-5y, ?x=-5x′-5y′, 所以, ? 于是,? 4 3 4 3 ?y′=-5x+5y. ?y=-5x′+5y′.
3 4 3 4 3 4 4 3 故 A(- x′- y′)+B(- x′+ y′)+C=0, 5 5 5 5 1 1 从而, - (3A+4B)x′+ (-4A+3B)y′+C=0. 5 5 由于 A, B 不同时为零,所以 3A+4B, -4A+3B 也不同时为零.于是向量 c 的终点在一条直线 1 1 - (3A+4B)x+ (-4A+3B)y+C=0 上. 5 5 (3)设 b=(b1, b2), 则 b2+b2=1,对任意实数 t, 取 a=(t,t2), 则 1 2 c=(t,t2)-(2(t,t2)?(b1, b2))(b1, b2)=(t,t2)-(2tb1+2t2b2)(b1, b2) =((1-2b2)t-2b1b2t2, -2b1b2t+(1-2b2)t2). 2 1 2 因为 c 的终点在曲线 C′上,所以((1-2b2)t-2b1b2t2)2=-2b1b2t+(1-2b2)t2. 1 1 由于 t 为任意实数,比较○式两边 t 的系数得 2 2 1-2b2=0, (-2b1b2) =-2b1b2, 1-2b2=0, 1 1 2 2 从而, b2=b2= , b1b2<0,所以, b=±( ,- ). 1 2 2 2 2 对曲线 C 中任意点(x0,y0),可知(y0, x0)在曲线 C′上, 反之亦然. 故曲线 C:x2=y 与曲线 C′:y2 =x 关于直线 l:y=x 对称. l 的方向向量 d=(1,1), 因为 d ?b=0,所以 d⊥b, 即直线 l 与向量 b 垂直. 18. (1)连结 OP,设 ? A O P ? ? ,则
2 2

1 ○

π 3

≤? ≤
2

2π 3



在△AOP 中,由余弦定理得 x ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? co s ? ? 5 ? 4 co s ? . 在△BOP 中,由余弦定理得 B P ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? co s( π ? ? ) ? 5 ? 4 co s ? .
2 2 2

∴ B P ? 1 0 ? x .则 y ?
2 2

1 AP
2

?

4 BP
2

? 1 2

1 x
2

?

4 10 ? x
2





π 3

≤? ≤

2π 3

,∴ ?

1 2

≤ cos ? ≤


7 .
7}.

∴ 3 ≤ 5 ? 4 co s ? ≤ 7 .即有 3 ≤ x ≤ ∴y ?
1 x
2

?

4 10 ? x
2

,定义域为 { x | 3 ≤ x ≤
1 x
2

(2)解法一:由(1)得 y ?

?

4 10 ? x
2



1

(

1
2

?

4 10 ? x
2

)[ x ? (1 0 ? x )]
2 2

10 x



1 10
1 10

(5 ?

10 ? x x
2

2

?

4x

2 2

10 ? x
2

)



(5 ? 2

10 ? x x
2

?

4x

2 2

10 ? x

)=

9 10



当且仅当

10 ? x x
30 3
2

2

?

4x

2 2

10 ? x

,即 x ?
2

10 3

时取等号,此时 x ?

30 3

? [ 3,

7].

答:当 AP 为

km 时, “总噪音影响度”最小.
2

(2)解法二:令 t ? x ,则 y ?
?1 t
2

1 t

?

4 10 ? t

(3 ≤ t ≤ 7 ) ,
2

∴ y? ?

?

4 (1 0 ? t )
10 3
2

?

( 2 t ) ? (1 0 ? t )
2

t ? (1 0 ? t )
2

2

?

( t ? 1 0 )(3 t ? 1 0 ) t ? (1 0 ? t )
2 2


10 3

由 y ? ? 0 ,得 t ? 调减函数; 当t?(
30 3 30 3 3 3

, 或 t ? ? 1 0 (舍).当 t ? (3,

10 3

) 时, y ? ? 0 ,函数在 (3,

) 上是单

10 3

, 7) 时 , y? ? 0 , 函 数 在 (

10 3

, 7) 上 是单 调 增 函数 .∴ 当 t ?

10 3

,即

x ?

? [ 3,

7 ] 时,y 有最小值.

答:当 AP 为

km 时, “总噪音影响度”最小.

19. (1)由 k l ? ?

,得直线 l 的倾斜角为 1 5 0 ? ,
a 2
2 2

则点 A 到直线 l 的距离 d 1 ? a s in (1 8 0 ? ? 1 5 0 ? ) ?


a

故直线 l 被圆 A 截得的弦长为 L1 ? 2 ( a ? c ) ? d 1 ? 2 ( a ? c ) ? ( ) ,
2 2

2

直线 l 被圆 B 截得的弦长为 L 2 ? 2 a co s(1 8 0 ? ? 1 5 0 ? ) ?
a 2 2 2 (a ? c) ? ( ) 2 3a

3a ,

(3 分)

据题意有:

L1 L2
2

?

15 6

,即

?

15 6



(5 分)

化简得: 1 6 e ? 3 2 e ? 7 ? 0 ,

解得: e ?

7 4

或e ?

1 4

,又椭圆的离心率 e ? (0, 1) ;
1 4

故椭圆 C 的离心率为 e ?



(2)假设存在,设 P 点坐标为 ( m , n ) ,过 P 点的直线为 L ; 当直线 L 的斜率不存在时,直线 L 不能被两圆同时所截; 故可设直线 L 的方程为 y ? n ? k ( x ? m ) ,
? 7 k ? km ? n 1? k
3a 4
2

则点 A ( ? 7 , 0 ) 到直线 L 的距离 D 1 ? 由(1)有 e ?
c a ? 1 4



2

,得 r A ? a ? c ?

=

21 4


2

故直线 L 被圆 A 截得的弦长为 L1 ' ? 2 rA ? D 1 , 则点 B ( 7 , 0 ) 到直线 L 的距离 D 2 ?
7 k ? km ? n 1? k
2



r B ? 7 ,故直线 L 被圆 B 截得的弦长为 L 2 ' ? 2 rB ? D 2 ,
2 2

据题意有:

L1 L2

?

3 4

,即有 1 6 ( rA ? D 1 ) ? 9 ( rB ? D 2 ) ,整理得 4 D 1 ? 3 D 2 ,
2 2 2 2



4 ?7 k ? km ? n 1? k
2

?

3 7 k ? km ? n 1? k
2

1 ,○

所以 4|―7k―km+n|=3|7k-km+n|, 即 4(―7k―km+n)=3(7k-km+n)或 4(―7k―km+n)=-3(7k-km+n), 也就是(49+m)k-n=0 或(1+m)k-n=0 与 k 无关.
?49+m=0 ?1+m=0 于是? 或? , ? n=0 ? n=0

故所求点 P 坐标为(-1,0)或(-49,0) . 1 方法二 对式○两边平方整理成关于 k 的一元二次方程得
(7 m
2

? 350 m ? 343 ) k

2

? ( 350 m ? 14 mn ) k ? 7 n

2

? 0,

关于 k 的方程有无穷多解,
? 7 m 2 ? 350 m ? 343 ? 0 ?n ? 0 ?n ? 0 ? ? ? 或? 故有: ? 350 n ? 14 mn ? 0 , ? m ? ? 1 ? m ? ? 49 ? 2 ?7 n ? 0

故所求点 P 坐标为(-1,0)或(-49,0) . (注设过 P 点的直线为 y ? kx ? m 后求得 P 点坐标同样得分)

20. (1)

f(x1)+f(x2) x1+x2 2x1+alnx1+2x2+alnx2 x1+x2 x1+x2 -f( )= -2? -aln 2 2 2 2 2 x1+x2 2 x1x2 =aln . 2 x1+x2

=aln x1x2-aln

x1+x2 2 x1x2 2 x1x2 2 x1x2 因为 ≥ x1x2, 所以 ≤1, ln ≤0,又 a<0,故 aln ≥0, 2 x1+x2 x1+x2 x1+x2 f(x1)+f(x2) x1+x2 所以 ≥f( )成立. 2 2 1 2 (2)因为 f(x)≤(a+3)x- x 对 x∈[1,e],恒成立, 2 1 2 故 2x+alnx≤(a+3)x- x , 2 1 2 a(x-lnx)≥ x -x, 2

1 2 x -x 2 因为 x∈[1,e],所以 x-lnx>0,因而 a≥ . x-lnx 1 2 x -x 2 设 g(x)= , x∈[1,e]. x-lnx 1 1 1 (x-1)(x-lnx)―(1― )( x2-x) (x-1)( x+1-lnx) x 2 2 因为 g' (x)= = , 2 (x-lnx) (x-lnx)2 1 当 x∈(1,e)时, x-1>0, x+1-lnx>0,所以 g' (x)>0, 2 又因为 g(x)在 x=1 和 x=e 处连续, 所以 g(x)在 x∈[1,e]时为增函数, 1 2 e -e 2 2 e -2e 所以 a≥g(e)= = . e-1 2(e-1)

附加题
21.从 A,B,C,D 四个中选做 2 个,每题 10 分,共 20 分 A.选修 4—1 几何证明选讲 如图, 在锐角△ABC 中, 三条高 AD, BE, CF 交于点 H, 证明 点 H 是△DEF 的内心.(三条内角平分线的交点) 证明 在四边形 BDHF 中, 由于 HD⊥BD, HF⊥BF, 所以 B,D,H,F 四点共圆, ∠HDF=∠FBH. 因为 BH⊥AC, 所以∠FBH=90o-∠BAC, 即∠HDF=90o-∠BAC, 同理, 在四边形 CDHE 中, C,D,H,E 四点共圆, ∠HDE=90o-∠BAC, B 于是, ∠HDF=∠HDE. 由对称性, ∠DFH=∠EFH, 所以 H 是△DEF 的内心. B.选修 4—2 矩阵与变换 在平面直角坐标系 xOy 中,设曲线 C: xy=1 在矩阵?
A

F E H

D

C

cosθ sinθ? π ?-sinθ cosθ?(0≤θ<2)对应的变换作用

下得到曲线 F,且 F 的方程为 x2-y2=a2(a>0), 求 θ 和 a 的值.

cosθ 解 设 P(x0,y0)是曲线 C 上任意一点, 点 P(x0,y0)在矩阵? ?-sinθ cosθ sinθ? ?x0? x0' P'(x0',y0') , 则有?y '?=? ? 0 ? ?-sinθ cosθ? ?y0?, x0 cosθ 所以 ? ?=? ?y0? ?sinθ -sinθ??x0'? . cosθ ??y0'?

sinθ? 对应的变换下变为点 cosθ?

又因为点 P 在曲线 C 上,所以由 x0y0=1,得(x0'2-y0'2)sin?cos?+(cos2?-sin2?)x0'y0'=1, π π 要使得方程变为 x2-y2=a2(a>0),必须 cos2?-sin2?=cos2?=0,因为 0≤θ< ,所以?= . 2 4 这时 a2=2, a= 2. C.选修 4—4 参数方程与极坐标
?x=t+5, 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程是? (t 为参数), 圆 C 的参数方程是 ?y=-4-t ?x=cosθ, ? (θ 为参数), 直线 l 与交于两个不同的点 A, B, 点 P 在圆 C 上运动, 求△PAB 面积 ?y=sinθ

的最大值. 解 直线 l 的普通方程是 x+y-1=0, 圆 C 的普通方程是 x2+y2=1, 它们交于两点 A(1,0), B(0,1), 设点 P 的坐标为(cosθ,sinθ)(0≤θ<2?), 则点 P 到直线 l 的距离为 |cosθ+sinθ-1| d= = 2 π | 2sin(θ+ )-1| 4 , 2

2+1 5π 2 2 当 θ= 时,d 取最大值 , 因为 AB= 2,所以当 P 为(― ,― )时, △PAB 面积最大,最 4 2 2 2 大值为 2+1 . 2

D.选修 4—5 不等式证明选讲 (a-b)2 a+b 证明对任意正数 a≠b 的算术平均 A= 与几何平均 B= ab有 B< <A. 2 8(A-B) A+B 证明 因为 B<A,所以 B< <A, 2 (a-b)2 ( a2- b2)2 ( a+ b)2 A+B A+B 而 = = = ,所以 B< <A. 4 2 2 8(A-B) 4( a- b2) 22. 【必做题】 某学生在上学路上要经过 4 个路口, 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的, 遇到红 灯的概率都是
1 3

,遇到红灯时停留的时间都是 2min.

(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ? 的分布列及期望. 解(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A,因为事件 A 等 于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯” ,所以事件

A 的概率为 P ? A ? ? ? 1 ?
?

?

1? ? 1? 1 4 . ? ? ?1 ? ? ? ? 3? ? 3? 3 27

(2)由题意,可得 ? 可能取的值为 0,2,4,6,8(单位:min). 事件“ ? ? 2 k ”等价于事件“该学生在路上遇到 k 次红灯” k ? 0,1,2,3,4) ( ,
?1? ?2? ∴ P ?? ? 2 k ? ? C k ? ? ? ? ?3? ?3?
4 k 4?k

?k

? 0 ,1, 2 , 3, 4 ? ,

∴即 ? 的分布列是
?
P

0
16 81 16 81

2
32 81
? 2? 32 81 ? 4? 8 27

4
8 27 ? 6? 8 81 ? 8? 1 81

6
8 81 ? 8 3

8
1 81

∴ ? 的期望是 E ? ? 0 ?

.

23. 【必做题】 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P,Q 分别是直线 BD1, AC 上的动点, 且 PQ 与 BD1, AC 都垂直, 则称线段 PQ 是异面直线 BD1 与 AC 的公垂线段. (4) 求直线 BD1 与平面 ACD1 所成角的正弦值; (5) 求异面直线 BD1 与 AC 的公垂线段 PQ 的长; (6) 求二面角 B-CD1-A 的余弦值. 解 如图,建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz, 则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0), A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1 (0,1,1),D1 (0,0,1), → → → (1) 连结 B1D, 则AC=(-1,1,0), AD1=(-1,0,1), DB1=(1,1,1), → → → → 因为DB1?AC=DB1?AD1=0,所以DB1⊥AC,DB1⊥AD1,又AC∩AD1=A, → 从而由直线与平面垂直的判断定理得 DB1⊥平面ACD1, 从而DB1是平面ACD1 的法向量. → 又D1B=(1,1,-1), → → DB1?D1B 1 → → 所以 cos<DB1,D1B>= = , → → 3 |DB1|?|D1B| 1 从而直线 BD1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为 . 3 → → → → (2)设AQ=?AC, BP=?BD1, 其中 0≤?,?≤1. → 不难得到 Q(1-?,?,0),P(1-?,1-?,?),QP=(?-?,1-?-?,?),
x A A1 P D C Q B y

z

D1 B1
1

C1

由于 PQ 是异面直线 BD1 与 AC 的公垂线, → → ?QP?AC=0, 所以? → → ?QP?BD1=0.
?1-2?=0 即? 解得 ?1-3?=0.

??=2 ? 1 ??=3.
1 1 1 1 6 ( )2+( )2+( )2= . 6 6 3 6

→ 111 → 所以, QP=( , , ), |QP|= 663

→ → (3)由(1)知DB1=(1,1,1)是平面ACD1 的法向量, 显然DC1=(0,1,1)是平面 BCD1 的法向量, → → DB1?DC1 6 → → 由于 cos<DB1,DC1>= = , → → 3 |DB1|?|DC1| 所以二面角 B-CD1-A 的余弦值为 6 . 3


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