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高中三角函数知识点。


三角函数知识点与常见习题类型解法
1. 任意角的三角函数: (1) 弧长公式: l = a R , R 为圆弧的半径, a 为圆心角弧度数, l 为弧长。 (2) 扇形的面积公式: S = (3) 同角三角函数关系式: ①倒数关系: tan a cot a = 1 ③平方关系: sin a + cos a = 1
2 2

1 lR 2

r />
, R 为圆弧的半径, l 为弧长。

②商数关系: tan a =

sin a , cos a

cot a =

cos a sin a

(4) 诱导公式: (奇变偶不变,符号看象限)k·π /2+ a 所谓奇偶指的是整数 k 的奇偶性
函 数

x
?a
2π ± a

π
2

sin x ? sin a ± sin a cos a

cos x cos a cos a
? sin a

tan x ? tan a ± tan a ? cot a

cot x ? cot a ± cot a ? tan a

±a

2.两角和与差的三角函数: (1)两角和与差公式:

cos(α ± β ) = cos a cos β ? sin a sin β

sin( a ± β ) = sin a cos β ± cos a sin β
注:公式的逆用或者变形 .........

tan a (a ± β ) =

tan a ± tan β 1 ? tan a tan β

(2)二倍角公式:

sin 2a = 2 sin a cos a
tan 2a = 2 tan a 1 ? tan 2 a

cos 2a = cos 2 a ? sin 2 a = 1 ? 2 sin 2 a = 2 cos 2 a ? 1
从二倍角的余弦公式里面可得出 降幂公式: cos 2 a =

1 + cos 2a , 2

sin 2 a =

1 ? cos 2a 2

(3)半角公式(可由降幂公式推导出) :

sin

a 1 + cos a a 1 ? cos a sin a 1 ? cos a a 1 ? cos a =± cos = ± tan = ± = = , , 2 2 2 2 2 1 + cos a 1 + cos a sin a
y = cos x
(-∞,+∞) [-1,1]

3.三角函数的图像和性质: (其中 k ∈ z ) y = sin x 三角函数

y = tan x
x ≠ kπ +

π
2

定义域 值域 最小正周期

(-∞,+∞) [-1,1]

(-∞,+∞)

T = 2π

T = 2π

T =π

奇偶性
[ 2kπ ?


π
2 , 2kπ +


π
2 ]



[(2k ? 1)π ,2kπ ]
单调递增 [(2kπ , (2k + 1)π ] 单调递减

(kπ ?

π
2

, kπ +

π
2

)

单调性

单调递增
[ 2kπ +

π
2

,2kπ +

3π ] 2

单调递增

单调递减

x = kπ +
对称性

π
2

x = kπ

(kπ ,0)
零值点

(kπ + ,0) 2
x = kπ +

π

(

kπ ,0 ) 2

x = kπ
x = kπ +

π
2

x = kπ

π
2

x = 2kπ ,
ymax = 1 ;

最值点

ymax = 1
x = kπ ?



π
2

x = (2k + 1)π ,
y min = ?1

y min = ?1

4.函数 y = A sin(ωx + ? ) 的图像与性质: (本节知识考察一般能化成形如 y = A sin(ωx + ? ) 图像及性质) (1) 函数 y = A sin(ωx + ? ) 和 y = A cos(ωx + ? ) 的周期都是 T =



ω π ω
π
2
、π 、

(2) 函数 y = A tan(ωx + ? ) 和 y = A cot(ωx + ? ) 的周期都是 T = (3) 五点法作 y = A sin(ωx + ? ) 的简图,设 t = ωx + ? ,取 0、

3π 、 2π 来 2

求相应 x 的值以及对应的 y 值再描点作图。 (4) 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换,提倡先平移后伸缩。切记每一个 变换总是对字母 x 而言,即图像变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化” 多少。 (附上函数平移伸缩变换): 函数的平移变换: ① y = f ( x) → y = f ( x ± a)(a > 0) 将 y = f ( x ) 图像沿 x 轴向左(右)平移 a 个单位 (左加右减) ② y = f ( x) → y = f ( x) ± b(b > 0) 将 y = f ( x ) 图像沿 y 轴向上(下)平移 b 个单位 (上加下减) 函数的伸缩变换: ① y = f ( x ) → y = f ( wx )( w > 0) 将 y = f ( x ) 图像纵坐标不变,横坐标缩到原来的

1 倍( w > 1 缩短, 0 < w < 1 伸长) w
② y = f ( x ) → y = Af ( x )( A > 0) 将 y = f ( x ) 图像横坐标不变,纵坐标伸长到原来 的 A 倍( A > 1 伸长, 0 < A < 1 缩短) 函数的对称变换: ① y = f ( x ) → y = f (? x) ) 将 y = f ( x ) 图像绕 y 轴翻折 180°(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于 x 轴对称) ② y = f ( x ) → y = ? f ( x ) 将 y = f ( x ) 图像绕 x 轴翻折 180°(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于 y 轴对称) ③ y = f ( x) → y = f ( x ) 将 y = f ( x ) 图像在 y 轴右侧保留,并把右侧图像绕 y 轴翻折到 左侧(偶函数局部翻折)

x 轴下方图像绕 x 轴翻折上去 ④ y = f ( x) → y = f ( x) 保留 y = f ( x ) 在 x 轴上方图像, (局
部翻动) 5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。
2 2

(1)常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos θ+sin θ=tanx·cotx=tan45°等。 2 2 2 2 2 2 (2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin x+2cos x=(sin x+cos x)+cos x=1+cos x;

α+β
配凑角:α=(α+β)-β,β= -

α?β
等。

2
(3)降次与升次。 (4)化弦(切)法。
2

2
2

(4) 引入辅助角。 asinθ+bcosθ= a + b sin(θ+ ? ), 这里辅助角 ? 所在象限由 a、 b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? =

b 确定。 a

类题:
1.已知 tanx=2,求 sinx,cosx 的值. 解:因为 tan x =

sin x = 2 ,又 sin2x+cos2x=1, cos x

?sin x = 2 cos x , 联立得 ? 2 2 ?sin x + cos x = 1
? 2 5 ? 2 5 ?sin x = ?sin x = ? ? 5 ? 5 解这个方程组得 ? ,? . 5 ? 5 ? cos x = cos x = ? ? 5 ? 5 ? ?

2.求

tan(?120 ) cos(210 ) sin( ?480 ) tan(?690 ) sin( ?150 ) cos(330 )
的值.

解:原式

=

tan(?120 + 180 ) cos(180 + 30 ) sin(?360 ? 120 ) tan(?720 + 30o ) sin(?150 ) cos(360 ? 30 )
= tan 60 (? cos 30 )(? sin 120 ) = ?3 3. tan 30 (? sin 150 ) cos 30

3.若

sin x ? cos x = 2, ,求 sinxcosx 的值. sin x + cos x
sin x ? cos x = 2, sin x + cos x

解:法一:因为

所以 sinx-cosx=2(sinx+cosx), 得到 sinx=-3cosx,又 sin2x+cos2x=1,联立方程组,解得
? 3 10 ? 3 10 ? ?sin x = 10 ? ?sin x = ? 10 , , ? ? 10 ? 10 ? cos x = ? cos x = ? 10 ? 10 ? ?

3 ? 10 sin x ? cos x 法二:因为 = 2, sin x + cos x
所以 sin x cos x = ? 所以 sinx-cosx=2(sinx+cosx), 所以(sinx-cosx)2=4(sinx+cosx)2, 所以 1-2sinxcosx=4+8sinxcosx, 所以有 sin x cos x = ?

3 ? 10

4.求证:tan2x·sin2x=tan2x-sin2x. 证明:法一:右边=tan2x-sin2x=tan2x-(tan2x·cos2x)=tan2x(1-cos2x)=tan2x·sin2x,问题 得证. 法二:左边=tan2x·sin2x=tan2x(1-cos2x)=tan2x-tan2x·cos2x=tan2x-sin2x,问题得证.

5.求函数 y = 2 sin(

x π + ) 在区间[0,2π ]上的值域. 2 6
x π x π 7π ≤ π, ≤ + ≤ , 由正弦函数的图象, 2 6 2 6 6

解:因为 0≤x≤2π,所以 0 ≤
x π 1 得到 sin( + ) ∈ [ ? ,1], 2 6 2

所以 y∈[-1,2]. 6.求下列函数的值域. (1)y=sin2x-cosx+2; (2)y=2sinxcosx-(sinx+cosx). 2 2 解:(1)y=sin x-cosx+2=1-cos x-cosx+2=-(cos2x+cosx)+3, 令 t=cosx,则 t ∈ [ ?1,1], y = ?(t 利用二次函数的图象得到 y ∈ [1,
2

1 13 1 13 + t ) + 3 = ?(t + ) 2 + = ?(t + ) 2 + , 2 4 2 4

13 ]. 4

(2)y=2sinxcosx-(sinx+cosx)=(sinx+cosx)2-1-(sinx+cosx),令 t=sinx+cosx =

2,

5 π 2 则 t ∈ [ ? 2 , 2 ] 则,y = t ? t ? 1, 利用二次函数的图象得到 y ∈ [ ? ,1 + 2 ]. sin( x + ) , 4 4
7.若函数 y=Asin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象的一个最高点为 ( 2, 2 ) ,它到其相邻的最 低点之间的图象与 x 轴交于(6,0),求这个函数的一个解析式. 解:由最高点为 (2, 2 ) ,得到 A = 2 ,最高点和最低点间隔是半个周期,从而与 x 轴 交点的间隔是

T 1 个周期,这样求得 = 4 ,T=16,所以 ω = 4 4 π π 又由 2 = 2 sin( × 2 + ? ) ,得到可以取 ? = .∴ y = 8 4
8.已知函数 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.

π ? 8

π π 2 sin( x + ). 8 4

(Ⅰ)求 f(x)的最小正周期;

(Ⅱ)若 x ∈ [0, ], 求 f(x)的最大值、最小值.

数y=

1 ? sin x 的值域. 3 ? cos x

π 2

解:(Ⅰ)因为 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x π π = (cos 2 x ? sin 2 x) ? sin 2 x = cos 2 x ? sin 2 x = 2 sin( ? 2 x) = ? 2 sin( 2 x ? ) 4 4 所以最小正周期为 π. π π π 3π π (Ⅱ)若 x ∈ [0, ] , 则 (2 x ? ) ∈ [? , ] , 所以当 x=0 时, f(x)取最大值为 ? 2 sin( ? ) = 1; 2 4 4 4 4 当x=
3π 时,f(x)取最小值为 ? 8

2.
; (2) sin 2 θ ? sin θ . cos θ + 2 cos 2 θ 的值.

θ 1. 已知 tan

cosθ ? sin θ sin θ 1+ cos θ + sin θ cos θ = 1 + tan θ = 1 + 2 = ?3 ? 2 2 ; = 解: (1) sin θ 1 ? tan θ 1 ? 2 cos θ + sin θ 1? cos θ sin 2 θ ? sin θ cos θ + 2 cos 2 θ 2 2 (2) sin θ ? sin θ cos θ + 2 cos θ = sin 2 θ + cos 2 θ sin 2 θ sin θ ? +2 2 2? 2 +2 4? 2 cos θ cos θ = = = . 2 sin θ 2 +1 3 +1 cos 2 θ

= 2 ,求(1) cosθ + sin θ

说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行弦、切互化, 就会使解题过程简化。 2. 求函数 y = 1 + sin x + cos x + (sin x + cos x) 2 的值域。 解:设 t = sin x + cos x =

π 2 sin( x + ) ∈ [? 2, 2] ,则原函数可化为 4

1 3 y = t 2 + t + 1 = (t + ) 2 + ,因为 t ∈ [ ? 2, 2] ,所以 2 4 1 3 当 t = 2 时, ymax = 3 + 2 ,当 t = ? 时, ymin = , 2 4 3 所以,函数的值域为 y ∈ [ , 3 + 2] 。 4
3.已知函数 f ( x ) = 4sin 2 x + 2 sin 2 x ? 2,x ∈ R 。 (1)求 f ( x ) 的最小正周期、 f ( x ) 的最大值及此时 x 的集合; (2)证明:函数 f ( x ) 的图像关于直线 x = ?

π 对称。 8

解: f ( x ) = 4sin 2 x + 2sin 2 x ? 2 = 2sin x ? 2(1 ? 2sin 2 x )

π = 2 sin 2 x ? 2 cos 2 x = 2 2 sin(2 x ? ) 4
(1)所以 f ( x ) 的最小正周期 T = π ,因为 x ∈ R ,

π π 3π = 2kπ + ,即 x = kπ + 时, f ( x ) 最大值为 2 2 ; 4 2 8 π (2) 证明:欲证明函数 f ( x ) 的图像关于直线 x = ? 对称,只要证明对任意 x ∈ R ,有 8 π π f (? ? x) = f (? + x) 成立, 8 8 π π π π 因为 f ( ? ? x ) = 2 2 sin[2( ? ? x ) ? ] = 2 2 sin( ? ? 2 x ) = ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π π f (? + x) = 2 2 sin[2(? + x) ? ] = 2 2 sin(? + 2 x) = ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π 所以 f ( ? ? x ) = f ( ? + x ) 成立,从而函数 f ( x ) 的图像关于直线 x = ? 对称。 8 8 8
所以,当 2 x ?

4. 已知函数 y=

1 3 2 cos x+ sinx·cosx+1 (x∈R), 2 2

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到? 解: (1)y=

1 3 1 1 3 2 2 cos x+ sinx·cosx+1= (2cos x-1)+ + (2sinx·cosx)+1 2 2 4 4 4 1 3 5 1 π π 5 = cos2x+ sin2x+ = (cos2x·sin +sin2x·cos )+ 4 4 4 2 6 6 4 1 π 5 = sin(2x+ )+ 2 6 4

π π
=

π

所以 y 取最大值时,只需 2x+

+2kπ,(k∈Z) ,即 x=

+kπ,(k∈Z) 。

6

2

6

π
所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= +kπ,k∈Z}

6
(2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换:

π
(i)把函数 y=sinx 的图像向左平移 ,得到函数 y=sin(x+

π
)的图像;

6
(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的

6 1 倍(纵坐标不变) ,得到函数 2

π
y=sin(2x+ )的图像;

6
(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的

y=

1 π sin(2x+ )的图像; 2 6
(iv)把得到的图像向上平移

1 倍(横坐标不变) ,得到函数 2

5 1 π 5 个单位长度,得到函数 y= sin(2x+ )+ 的图像。 4 2 6 4

综上得到 y=

1 3 2 cos x+ sinxcosx+1 的图像。 2 2


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