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浙江省杭州市七校2011届高三上学期期中联考


2010 学年第一学期期中杭州地区七校联考试卷 高三年级 数学(理)

考生须知: 1. 本卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 2. 答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名. 3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效. 4.考试结束, 只需上交答题卷. 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的

四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把 答案写在答题卷中的相应位置上) 1.已知集合 M ? 3 , 2 A. ?1, 2, 3? 2.下列命题中是真命题的为 A. ?x ? R , x ? x ? 1
2

?

a

? , N ? ?a , b? ,若 M ? N ? ?2? ,则 M ? N ?
B. ?0, 2, 3? C. ?0,1, 2?

( ▲ )

D. ?0,1, 3? ( ▲ )

B. ?x ? R , x ? x ? 1
2
2 2

C. ?x ? R , ?y ? R , xy ? y

D. ?x ? R , ?y ? R , x ? y

2

(第 4 题) 3. 已知等比数列 ?an ? 中 a6 ? 2a3 ? 2, a5 ? 2a2 ? 1,则等比数列 ?an ? 的公比是( ▲ ) A.-1 B.2 C.3 D.4

4. 如图,D,C,B 三点在地面同一直线上,DC = a,从 C,D 两点测得 A 点的仰角分别是β ,α (α <β ),则 A 点离 地面的高度 AB 等于 ( ▲ ) A.

a sin ? sin ? a sin ? sin ? B. sin( ? ? ? ) cos(? ? ? )

C.

a sin ? cos ? sin( ? ? ? )

D.

a cos ? sin ? cos(? ? ? )

? 2 x ? y ? 0, ? 5.若实数 x, y 满足 ? y ? x, 且 z = 2 x + y 的最小值为 3,则实数 b 的值为( ▲ ) ? y ? ? x ? b, ?
A. 0 B. 2 C.

9 4

D. 3

6.已知两点 A(1, 0), B(1, 3), O 为坐标原点, 点 C 在第三象限, 且 ?AOC ?

???? ??? ? ??? ? 5? , 设 OC ? ?2OA ? ? OB, (? ? R), 则? 6

等于 ( ▲ ) A.—1 B.1 C.—2 D.2 7.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则这些函数为 “互为生成”函数,给出下列函数,其中与

f ( x) ? sin x ? cos x 构成“互为生成”函数的为
A. f1 ( x) ?

( ▲ ) B. f 2 ( x) ? sin x

2 sin x ? 2

1

C. f3 ( x) ?

2(sin x ? cos x )

D. f 4 ( x) ?

x x x 2 cos (sin ? cos ) 2 2 2
2

8.已知函数 f ? x ? ? log 2 x ,正实数 m, n 满足 m ? n ,且 f ? m ? ? f ? n ? ,若 f ? x ? 在区间 ? ?m , n? ? 上的最大值为 2,则

m、n 的值分别为
A. 1 , 2 2 B.

( ▲ )

1 ,2 4
x

C.

2 , 2 2

D.

1 ,4 4
▲ )

9.已知函数 f ? x ? ? xe ? ax ? 1 ,则关于 f ? x ? 的零点叙述正确的是( A . 当 a=0 时,函数 f ? x ? 有两个零点 C. 当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 有两个零点

B. 函数 f ? x ? 必有一个零点是正数 D.当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 有一个零点

10、定义在 R 上的可导函数 f ? x ? 满足 f ? ? x ? ? f ? x ? , f ? x ? 2 ? ? f ? x ? 2? ,且当 x ? ? 2, 4?时, f ? x ? ? x 2 ? 2 xf ' ? 2 ? ,则

? 1? ? 16 ? f ? ? ? 与f ? ? 的大小关系是( ? 2? ? 3?
A. f ? ?

)

? 1? ? 16 ? ?? f ? ? ? 2? ? 3?

B. f ? ?

? 1? ? 16 ? ? 1? ? 16 ? ? ? f ? ? C. f ? ? ? ? f ? ? ? 2? ? 3? ? 2? ? 3?

D. 不确定

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分,把答案填在答题卷中的相应位置上) 11. 若幂函数 f ( x) 的图象经过点 A(4, 2) ,则它在 A 点处的切线方程为 12.已知数列 ?an ? ,满足 a1 ? 1, ▲

1 1 ? ? 1 , S n 是数列 ?an an ?1? 的前 n 项和,则 S 2011 = an ?1 an



13.对于大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂” :23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,??,仿 此,若 m 的“分裂数”中有一个是 59,则 m 的值为 14. 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c , 若
3




2

a 2 ? ?b ? c bc

?

??? ? ??? ? ? ?1 , 且 AC ? AB ? ?4 , 则 ?ABC 的面积等于 ▲

15.若不等式 x 2 ? 2 xy ? m ? 2 x 2 ? y 2 ? 对于一切正数 x, y 恒成立,则实数 m 的最小值为 ▲ 16.给出下列四个结论: ①函数 y ? a (a ? 0 且 a ? 1 )与函数 y ? log a a (a ? 0 且 a ? 1 )的定义域相同;
x
x

②函数 y ?

1 1 ?? 3 ? ? x ( x ? 0) 是奇函数;③函数 y ? sin(? x) 在区间 ? , ? ? 上是减函数; 2 2 ?1 ?2 2 ?

④函数 y ? cos | x | 是周期函数。 其中正确结论的序号是______▲________。 (填写你认为正确的所有结论序号)

2

17. 已知函数 f(x)=x +2︱x︱-15, 定义域是 [a, b]( a, b ? Z ) , 值域是[-15,0], 则满足条件的整数对 (a, b) 有
2

▲ 对.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,把解答写在答题卷中的相应位置 上) 18.(本小题满分 14 分)条件 p : A ? a | 不等式x ? 2ax ? 4 ? 0在x ? R上恒成立
2

?

?

条件 q : B ? ?a |1 ? (1)若 k ? 1 ,求 A ? CR B

? ?

a?k ? ? 2? 2 ?

(2)若 ?p是?q 的充分不必要条件,求实数 k 的取值范围

19.(本小题满分 14 分)已知向量 a ? (sin x, cos x), b ? (6sin x ? cos x, 7sin x ? 2cos x), 设函数 f ( x) ? a ? b (1)求函数 f ( x) 的最大值;

?

?

? ?

b ? c ? 2 ? 3 2, (2) 在 A 为锐角的三角形 ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c,f ( A) ? 6, 且 ?ABC 的面积为 3, 求 a 的值。

20. (本小题满分 14 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 Sn ? 2an ? 3n (n ? N ) .
*

(1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)问数列 {an } 中是否存在某三项,它们可以构成一个等差数列?若存在,请求出一组适合条件的项;若不存在,请 说明理由.

3

21. (本小题满分 15 分)在 ? ABC 中,满足 AB与 AC 的夹角为 60 (1)若 AB ? AC ,求向量 AB ? 2 AC与AB 的夹角的余弦值

??? ? ????

0

,M 是 AB 的中点

??? ?

????

??? ?

??? ? ??? ?

(2)若 AB ? 2, BC ? 2 3 ,在 AC 上确定一点 D 的位置,使得 DB ? DM 达到最小,并求出最小值

??? ?

??? ? ???? ?

22. (本小题满分 15 分)记函数 f ( x) ? ln(1 ? x), g ( x) ? x . (1)若函数 F ( x) ? af ( x) ? g ( x) 在 x ? 1 处取得极值,试求 a 的值;
2

(2)若函数 G( x) ? af ( x) ? g ( x) ? b ? g ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? ? ?
2

? 4 3? , ? , x2 ? ? 0,1? ,试求 a 的取值范围; ? 5 5? ?

(3)若函数 H ( x) ?

1 1 对任意 x1 , x2 ? ?1,3? 恒有 H ( x1 ) ? H ( x2 ) ? a 成立,试求 a 的取值范围. (参考: ? f ( x) g ( x)

ln 2 ? 0.7 )

4

2010 学年第一学期期中七校联考高三数学(理)参考答案

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把 答案写在答题卷中的相应位置上) 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 A 5 C 6 A 7 A 8 A 9 B 10 B

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分,把答案填在答题卷中的相应位置上) 11. x-4y+4=0 12.

2011 2012
15. 17. 1 7

13.

8

14. 16.

2 3
①②④

(注 16 题多选,少选,错选均为 0 分)

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,把解答写在答题卷中的相应位置 上) 18. 【 解 】 由 题 意 可 知 :

A ? ?a | ?2 ? a ? 2? ; 由

1?

a?k ?2 2

可 得

2-k<a<4-k , 所 以

19. 【解】 (1) f ( x) ? a ? b ? sin x(6sin x ? cos x) ? cos x(7sin x ? 2cos x) = 6sin x ? 2cos x ? 8sin x cos x ? 4(1 ? cos 2 x) ? 4sin 2 x ? 2
2 2

? ?

? 4 2 sin(2 x ? ) ? 2 4
? f ( x) max ? 4 2 ? 2

?

????4 分 ????6 分

5

(2)由(I)可得 f ( A) ? 4 2 sin(2 A ? 因为 0 ? A ?

?
4

) ? 2 ? 6, sin(2 A ?

?
4

)?

2 2

?
2

, 所以 ?

?
4

? 2A ?

?
4

?

3? ? ? ? ,2 A ? ? , A ? ????8 分 4 4 4 4
????10 分

? S ?ABC ?

1 2 bc sin A ? bc ? 3 ? bc ? 6 2 2 4

又b ? c ? 2 ? 3 2

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c) 2 ? 2bc ? 2bc ? ? (2 ? 3 2 ) 2 ? 12 2 ? 2 ? 6 2 ?
? a ? 10 .

2 2

2 ? 10 . 2
????14 分

等式两边同除以 2 ,得
z y 2x ? y ? 2 ? ? 2,

y

????11 分
x? y

因为 x ? y ? 0 , z ? y ? 1 ,所以 0 ? 2 所以 2
x? y

? 1 , 2z ? y ? 2 ,

????13 分

? 2z ? y ? 2 ,这与 2x? y ? 2z ? y ? 2 矛盾.

假设不存在,故数列 {an } 中不存在某三项,使它们可以构成一个等差数列.?14 分

??? ? ???? ??? ? AB ? 2 AC ? AB a 2 ? a 2 2 7 ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? 21. 【解】 (1)设 AB ? AC ? a, cos AB ? 2 AC , AB ? ??? .......6 分 ? ? ???? ??? ? ? 7 AB ? 2 AC ? AB 7a 2 ? a

?

?

6

(2)因为 AB, AC ? 60 , AB ? 2, BC ? 2 3 ,由余弦定理可得: AC ? 4 ..............8 分
0

??? ? ????

??? ?

M



AB

的 中 点 , 所 以

AM=1, 因 为

D



AC

上 一 点 , 设 AD ? x, 则DC ? 4 ? x , 所 以

? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ?? ? 2 D B ? D M ? D ?A A ? B ?D A ? A M ? D A ? D ?A A ? M ? A B? D A A B A M

?

??

?

1 1 3 3 ? 23 ? 2 = x ? x ? ? 2x ? 2 ? x ? x ? 2 ? ? x ? ? ? ...............................................13 分 2 2 2 4 ? 16 ?
2

2

所以当 x ?

? ???? ? 3 3 ??? 23 ? ? 0, 4 ? 时,即 D 距 A 点 处 DB ? DM 取到最小,最小值为 .........15 分 4 4 16 a 2 22 解: (1) F ( x) ? a ln(1 ? x) ? x , ( x ? ?1) , F '( x) ? ? 2x 1? x
由 F '(1) ? 0 ? a ? ?4 ??3 分

(3) H ( x) ?

1 1 (1 ? x) ln 2 (1 ? x) ? x 2 ? , H '( x) ? 2 ??10 分 ln(1 ? x) x x (1 ? x) ln 2 (1 ? x)
2 2

记 m( x) ? (1 ? x) ln (1 ? x) ? x , ( x ? ?1) 则 m '( x) ? ln (1 ? x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x ,又 m ''( x) ?
2

记 n( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x( x ? ?1), n '( x) ?

?2 x 1? x

2 ln(1 ? x) ? 2 x ??11 分 1? x

7

当 x ? 0 时, n '( x) ? 0 ? n( x)在[0, ??) 上单调递减,故 n( x) ? n(0) ? 0 可得 m ''( x) ? 0 ? m '( x)在[0, ??) 上单调递减,故 m '( x) ? m '(0) ? 0 ??12 分 可得 m( x)在[0, ??) 上单调递减,故 m( x) ? m(0) ? 0 可得 H '( x) ? 0 ? H ( x)在[0, ??) 上单调递减,??13 分 即 H ( x) 在 ?1, 3? 上单调递减, 由题意 a ?| H ( x) max ? H ( x) min |?| H (1) ? H (3) |

?

1 1 1 1 2 1 2 ?1 ? ? ? ? ? ? ??15 分 ln 2 ln 4 3 2 ln 2 3 2 ln 2 3

8


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