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【优化指导】2016-2017学年高中数学 第二章 平面向量 2.2.1 向量的加法练习 北师大版必修4


§2

从位移的合成到向量的加法 2.1 向量的加法

3.已知下面的说法:

①如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反,那么 a+b 的方向与 a 或 b 的方向相同; ②在△ABC 中,必有=0; ③若=0,则 A,B,C 为一个三角形的三个顶点; ④若 a,b 均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等.
其中正确的个数为( A.0 B.1 ) C.2 D.3

解析:①当 a+b=0 时,不成立;②说法正确;③当 A,B,C 三点共线时,也可以有=0,故此说法不正确;④ 当 a,b 共线时,若 a,b 同向,则|a+b|=|a|+|b|;若 a,b 反向,则|a+b|=||a|-|b||;当 a,b 不共线 时,|a+b|<|a|+|b|,故此说法不正确. 答案:B 4.在矩形 ABCD 中,||=4,||=2,则向量的模等于( A.2 C.12 解析:因为, 所以的模为的模的 2 倍. 又||==2, 所以向量的模为 4. 答案:B 5.(2015 四川泸州上学期期末)已知 D 为△ABC 的边 BC 的中点,△ABC 所在平面内有一点 P 满足,则 的值为( A. C.1 ) B. D.2 B.4 D.6 )

解析:如图,四边形 PBAC 是平行四边形,D 为 BC 的中点,所以 D 为 PA 的中点,所以的值为 1.

答案:C 6.化简式子()+()+= 解析:()+()+=()+()+. 答案: 7.如图所示,已知梯形 ABCD,AD∥BC,且 AC 与 BD 相交于点 O,则=

.

.

1

解析:. 答案: 8.若向量 a,b 满足|a|=7,|b|=9,则|a+b|的最小值是 答案:2 9.一艘海上巡逻艇从港口向北航行了 30 海里,这时接到求救信号,在巡逻艇的正东方向 40 海里处 有一艘渔船抛锚需救助.则巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移的大小为 为 ,方向

.

解析:|a+b|≥||a|-|b||=2,即当 a,b 反向共线时,|a+b|的值最小,等于 2.

.

解析:画出示意图如图所示,巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是向量,既有大小又有方向, 其大小为||==50(海里),由于 sin∠BAC=,故其方向约为北偏东 53°.

答案:50 海里 北偏东 53° 10. 导学号 03070079 如下图所示,P,Q 是△ABC 的边 BC 上的两点,且 BP=QC.求证:.

证明:∵,

∴. ∵向量大小相等、方向相反, ∴=0. ∴+0=.
11. 导学号 03070080 如图所示,小船要从 A 处沿垂直河岸 AC 的方向到达对岸 B 处,此时水流的速度 为 6 km/h,测得小船正以 8 km/h 的速度沿垂直水流的方向向前行驶,求小船在静水中速度的大小及 方向.

解:

2

由题知小船的行驶速度的大小为 8 km/h,方向与一致,水流速度的方向与一致,大小为 6 km/h.如图, 连接 BC,过点 B 作 AC 的平行线,过点 A 作 BC 的平行线,两条平行线交于点 D,则四边形 ACBD 为平行 四边形.可以看成水流速度与船在静水中的速度的合速度. 在 Rt△ABC 中,||=8 km/h,||=6 km/h,

∴||=||==10(km/h). ∵∠DAB=∠ABC, ∴tan∠DAB=tan∠ABC=.
答:小船在静水中的速度的大小为 10 km/h,沿且夹角满足 tan∠DAB=的方向行驶.

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