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2014年高考数学(文)二轮复习简易通配套课件(江苏专用):常考问题11 直线与圆


常考问题11 直线与圆

知识与方法

热点与突破

[真题感悟]

[考题分析]

知识与方法

热点与突破

1.两直线平行或垂直
(1)两条直线平行:对于两条不重合的直线 l1,l2,其斜率分 别为k1,k2,则有l1∥l

2?k1=k2.特别地,当直线l1,l2的斜率 都不存在且l1与l2不重合时,l1∥l2. (2)两条直线垂直:对于两条直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,

则有l1⊥l2?k1·k2 =-1.特别地,当l1 ,l2 中有一条直线的斜
率不存在,另一条直线的斜率为零时,l1⊥l2.

知识与方法

热点与突破

2.圆的方程 (1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心为(a,b), 半径为 r. (2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
? D E? 圆心为?- 2 ,- 2 ?,半径为 ? ?

D2+E2-4F r= ;对于二元二次 2

方程 Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的充要条件是 ?B=0, ? ?A=C≠0, ?D2+E2-4AF>0. ?

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热点与突破

3 .直线 方 程 的 5 种 形式中只有一般式可以表示所有的直 线.在利用直线方程的其他形式解题时,一定要注意它 们表示直线的局限性.比如,根据“在两坐标轴上的截 距相等”这个条件设方程时一定不要忽略过原点的特殊

情况.而题中给出直线方程的一般式,我们通常先把它
转化为斜截式再进行处理. 4 .处理有关圆的问题,要特别注意圆心、半径及平面几何 知识的应用,如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三 角形经常用到,利用圆的一些特殊几何性质解题,往往 使问题简化.
知识与方法 热点与突破

5.直线与圆中常见的最值问题

(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值.
(2)直线与圆相离,圆上任一点到直线的距离的最值. (3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值. (4) 直线与圆相离,过直线上一点作圆的切线,切线长的 最小值问题.

(5)两圆相离,两圆上点的距离的最值.

知识与方法

热点与突破

热点与突破

热点一 直线和圆的方程
【例1】 若一三角形三边所在的直线方程分别为 x+2y-5=0,y-2=0,x+y-4=0,则能够覆盖此三 角形且面积最小的圆的方程为________.

知识与方法

热点与突破

解析 结合题意, 易得三角形的三个顶点分别是(1,2), (2,2)和(3,1), 作出图形,即可判断该三角形为钝角三角形,而能够覆盖钝角三 角形的圆是以钝角的对边(最长边)为直径的圆, 而最长边的两个端 点坐标分别为(1,2),(3,1),即圆的直径为 故其方程为(x-2) 答案 (x-2)
2 2

? 3? 5,圆心坐标为?2,2?, ? ?

? 3?2 5 +?y-2? = . 4 ? ?

? 3?2 5 +?y-2? = 4 ? ?

知识与方法

热点与突破

[规律方法] 求圆的方程就是要确定圆心坐标和半径,通常用

待定系数法;对于解析几何填空题利用其几何性质往往会起
到方便、快捷作用.

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【训练 1】 (2012· 南通模拟)已知过某定圆上的每一点均可以作两 x2 y2 条相互垂直的直线与椭圆 + =1 的公共点都各只有一个, 16 9 那么该定圆的方程为________. 解析 x2 y2 易得椭圆16+ 9 =1 的外切矩形的四个顶点(± 4,± 3)必

在该定圆上,则该定圆必是该外切矩形的外接圆,方程为 x2+y2=25,可以验证过该圆上除点(± 4,± 3)的任意一点也均 x2 y2 可作两条相互垂直的直线与椭圆 16+ 9 =1 的交点都各只有 一个;故圆方程 x2+y2=25. 答案 x2+y2=25
知识与方法 热点与突破

热点二 直线与圆、圆与圆的位置关系

【例2】 在平面直角坐标系xOy中,已知圆
C1:(x-3)2+(y+2)2=4,圆 C2:(x+m)2+(y+m+5)2= 2m2+8m+10(m∈R,且m≠-3). (1)设P为坐标轴上的点,满足:过点P分别作圆C1与圆C2

的一条切线,切点分别为 T1 、 T2 ,使得 PT1 = PT2 ,试求
出所有满足条件的点P的坐标; (2) 若斜率为正数的直线 l 平分圆 C1 ,求证:直线 l 与圆 C2 总相交.
知识与方法 热点与突破

解 (1)设点 P 的坐标为(x0,y0),圆 C1 与圆 C2 的半径分别为 r1、 r2 ,
2 2 2 由题意得 PC2 - r = PC - r 1 1 2 2,

即[(x0-3)2+(y0+2)2]-4= [(x0+m)2+(y0+m+5)2]-(2m2+8m+10), 化简得 x0+y0+1=0,因为 P 为坐标轴上的点, 所以点 P 的坐标为(0,-1)或(-1,0); (2)依题意可设直线 l 的方程为:y+2=k(x-3),k>0,化简得 kx-y-3k-2=0, |k-1|· |m+3| 则圆心 C2(-m,-m-5)到直线 l 的距离为 , 2 k +1
知识与方法 热点与突破

又圆 C2 的半径为 2m2+8m+10, |k-1|· |m+3| 所以“直线 l 与圆 C2 总相交”等价于“?m≠-3, < 2 k +1 |k-1| 2 2m +8m+10”,即 2 < k +1 2m2+8m+10 , 2 ?m+3? ①

2m2+8m+10 记 y= ,整理得(y-2)m2+2(3y-4)m+9y-10=0, 2 ?m+3? 当 y=2 时,m=-2; 当 y≠2 时,判别式 Δ=[2(3y-4)]2-4(y-2)(9y-10)≥0,解得 y≥1; 2m2+8m+10 综上得 y= ,m≠-3 的最小值为 1, 2 ?m+3? |k-1| 所以①式? 2 <1?k>0,即证. k +1
知识与方法 热点与突破

[规律方法] 根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系, 判定直线与圆的位置关系.

知识与方法

热点与突破

【训练 2】 平面直角坐标系 xOy 中, 直线 x-y+1=0 截以原点 O 为圆心的圆所得的弦长为 6. (1)求圆 O 的方程; (2)若直线 l 与圆 O 切于第一象限,且与坐标轴交于 D,E,当 DE 长最小时,求直线 l 的方程; (3)设 M, P 是圆 O 上任意两点, 点 M 关于 x 轴的对称点为 N, 若直线 MP、NP 分别交于 x 轴于点(m,0)和(n,0),问 mn 是否 为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.

知识与方法

热点与突破

1 解 (1)因为 O 点到直线 x-y+1=0 的距离为 , 2 所以圆 O 的半径为
? ? ? ? ? ? 1? ?2 ? 6?2 +? ? = 2, 2? ? ? 2 ?

故圆 O 的方程为 x2+y2=2. x y (2)设直线 l 的方程为a+b=1(a>0,b>0),即 bx+ay-ab=0, |ab| 1 1 1 由直线 l 与圆 O 相切,得 2 2= 2,即a2+b2=2, a +b DE =a +b =2(a +b
2 2 2 2 2

?1 1? )?a2+b2?≥8,当且仅当 ? ?

a=b=2 时取等号,

此时直线 l 的方程为 x+y-2=0.
知识与方法 热点与突破

2 2 2 (3)设 M(x1,y1),P(x2,y2),则 N(x1,-y1),x2 + y = 2 , x + y 1 1 2 2=2,

直线 MP 与 x 直线 NP 与 x

?x1y2-x2y1 ? x1y2-x2y1 ? ? ,0?,m= 轴交点? , y2-y1 ? y2-y1 ? ?x1y2+x2y1 ? x1y2+x2y1 ? ? ,0?,n= 轴交点? , y + y y + y 2 1 ? ? 2 1

2 2 2 x1y2-x2y1 x1y2+x2y1 x2 y - x 1 2 2y1 mn= · = 2 2 y2-y1 y2+y1 y2-y1 2 2 2 ?2-y2 ? y - ? 2 - y 1 2 2?y1 = =2,故 mn 为定值 2. 2 2 y2-y1

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热点与突破

热点三 直线、圆与其他知识的交汇 【例 3】 (2013· 南通模拟)如图,在平面直角 坐标系 xOy 中,已知点 A 为椭圆 x2 2y2 9 + 9 =1 的右顶点,点 D(1,0),点 P, → → B 在椭圆上,BP=DA. (1)求直线 BD 的方程; (2)求直线 BD 被过 P,A,B 三点的圆 C 截得的弦长; (3)是否存在分别以 PB,PA 为弦的两个相外切的等圆?若存 在,求出这两个圆的方程;若不存在,请说明理由.
知识与方法 热点与突破

→ → 解 (1)因为BP=DA且 A(3,0),所以 BP=DA=2,而 B,P 关于 y 轴对称,所以点 P 的横坐标为 1, 从而得 P(1,2),B(-1,2) 所以直线 BD 的方程为 x+y-1=0. (2)线段 BP 的垂直平分线方程为 x=0,线段 AP 的垂直平分线方 程为 y=x-1,所以圆 C 的圆心为(0,-1),且圆 C 的半径为 r= 10,又圆心(0,-1)到直线 BD 的距离为 d= 2,所以直线 BD 被圆 C 截得的弦长为 2 r2-d2=4 2.

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(3)假设存在这样的两个圆 M 与圆 N,其中 PB 是圆 M 的弦,PA 是圆 N 的弦,则点 M 一定在 y 轴上,点 N 一定在线段 PC 的垂直 平分线 y=x-1 上,当圆 M 和圆 N 是两个相外切的等圆时,一定 有 P,M,N 在一条直线上,且 PM=PN. 设 M(0,b),则 N(2,4-b),根据 N(2,4-b)在直线 y=x-1 上, 解得 b=3.所以 M(0,3),N(2,1),PM=PN= 2,故存在这样的两 个圆,且方程分别为 x2+(y-3)2=2,(x-2)2+(y-1)2=2.

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[规律方法] 求圆中弦长问题,多用垂径定理,先计算圆心到直线 的距离,再利用弦长公式 AB=2 r2-d2;求圆的方程问题常见于 找出圆心和半径,对于两圆的位置关系则多借助于几何关系进行 判定.

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【训练 3】 如图所示,已知以点 A(-1,2)为圆心 的圆与直线 l1:x+2y+7=0 相切.过点 B(-2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M,N 两点, Q 是 MN 的中点,直线 l 与 l1 相交于点 P. (1)求圆 A 的方程; (2)当 MN=2 19时,求直线 l 的方程; → → (3)BQ· BP是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请 说明理由.

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(1)设圆 A 的半径为 R.

∵圆 A 与直线 l1:x+2y+7=0 相切, |-1+4+7| ∴R= =2 5. 5 ∴圆 A 的方程为(x+1)2+(y-2)2=20. (2)当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=-2 符合题意; 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+2), 即 kx-y+2k=0.连接 AQ,则 AQ⊥MN. ∵MN=2 19,∴AQ= 20-19=1.
知识与方法 热点与突破

|k-2| 3 由 AQ= 2 =1,得 k= . 4 k +1 ∴直线 l 的方程为 3x-4y+6=0. ∴所求直线 l 的方程为 x=-2 或 3x-4y+6=0. → → (3)∵AQ⊥BP,∴AQ· BP=0 → → → → → ∴BQ· BP=(BA+AQ)· BP → → → → → → =BA· BP+AQ· BP=BA· BP. 当直线 l 与 x 轴垂直时,得
? 5? P?-2,-2?. ? ?
知识与方法 热点与突破

5? → ? → ? ? 则BP= 0,-2 ,又BA=(1,2),
? ?

→ → → → ∴BQ· BP=BA· BP=-5. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+2).
? ?y=k?x+2?, 由? ? ?x+2y+7=0,

解得

?-4k-7 -5k ? ? ? , P? . ? 1+2k? ? 1+2k

-5k ? → ? ? -5 ? , ∴BP=? . ? ?1+2k 1+2k? -5 10k → → → → ∴BQ· BP=BA· BP= - =-5. 1+2k 1+2k → → → → 综上所述,BQ· BP是定值,且BQ· BP=-5.
知识与方法 热点与突破


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