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2014年卓越自主招生数学试题及解答


2014 年卓越自主招生数学试题
1.(选择) | x3 | ?2 x2 ? 1 ? 0 ,求 x 范围.

? 2x ? 1 ? ? x2 2.(选择)已知 f ( x) ? ? ?ln( x ? 1) ? ? 求 b 的范围.

1 x ? (??, ? ) 2 ,又 g ( x) ? x2 ? 4 x ? 4, ?a 使得

f (a) ? g (b) ? 0 , 1 x ?? , ??) 2

3.三棱锥 P ? ABC 中,底面 ?ABC 是等腰三角形, ?ACB ? 90? ,又 PA ? 平面 ABC ,

3 ,求 sin ?AB ? APC . 6 2 【解】 sin ?AB ? PAC ? sin ?BAC ? 2 【评析】目前得到的题目可能有误,请同学们及时反馈正确题目. ?P ? BC ? A ? ?60? , S ?
4.(填空) n1 , n 2 是两个夹角为 ? 的单位矢量.以 n1 , n 2 为基底的坐标系中 A( x1 , y2 ), B( x2 , y2 ) ,求 | AB | . 5.(填空)已知 x ? (0, a), y ? (0,4 ? a), a ? (0,1) ,且 x ? y ? 1 的概率为

3 ,求 a . 16

6.(填空)已知 A ? B ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8}, A ? B ? ? ,又 | A |? A,| B |? B ,求总分配数.

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线斜率之积为 ?3 . a 2 b2 ???? ??? ? (1)若 A, B 在双曲线上,且过点 D(0,5a), k AB ? 1, AD ? ? DB ,求 ? ;
7.(解答题)已知双曲线 (2) A 关于 x 轴的对称点为 M , l AB 与 x 轴交于 P, lMB 与 x 轴交于 Q ,求证: | OP | ? | OQ |? a 2 . 8.(解答题)已知 f ( x) ? 2 sin 2 x cos ? ? 2 cos 2 xsin ? ? 2 cos(2 x ? ?) ?cos ?, x ? R (1)已知 ? ?[ , ], x ?[0, ] ,求 f ( x) 最大值; (2)若 f ( x) ? 3, 求 ? , x 的值.

? ?

?

4 2

2

9.设 f ( x) 在 x ? R 上可导,且对任意的 x0 ? R 有 0 ? f ( x ? x0 ) ? f ( x0 ) ? 4 x( x ? 0)

f ( x ? x0 ) ? f ( x0 ) ( x ? 0) ; x (2)若 | f ( x) |? 1 ,则 | f ?( x) |? 4 .
(1)证明: f ?( x0 ) ?

2014 年\卓越自主招生·数学试题-1

卓越参考答案 1.【解】由 | x3 | ?2 x 2 ? 1 ? 0 ?| x |3 ?2 | x |2 ?1 ? 0 ? (| x | ?1)(| x | ? 所以由数轴标根法得 | x |? (??,

1? 5 1? 5 )(| x | ? )?0 2 2

1? 5 1? 5 ) ? (1, ) ,又因为 | x |? 0 , 2 2 1? 5 1? 5 所以 x ? (? , ?1) ? (1, ). 2 2 1 1 2.【解】当 x ? (??, ? ) 时,易得 f ( x) ? ( ? 1) 2 ?1 ?( ?1,0) ; x 2 1 又当 x ?[? , ??) 时,易知 f ( x) ? ln x ?1?[?ln 2, ??) ; 2 所以 f ( x) ? (?1, ??) ,所以只要 g (b) ? (??,1) 就存在 a ;
即 (b ? 2)2 ? 8 ? (??,1) ,解得 b ? (?1,5) . 4.【解】以 n1 方向为 x 轴建立直角坐标系, 于是 A, B 的直角坐标为 ( x1 ? y1 cos? , y1 sin ? ),( x2 ? y2 cos ? , y2 sin ? ) ,则

| AB |2 ? ( x1 ? x2 ? y1 cos? ? y2 cos? )2 ? ( y1 sin ? ? y2 sin ? )2
? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 2( x1 ? x2 )( y1 ? y2 )cos? ,
于是 | AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 2( x1 ? x2 )( y1 ? y2 )cos ? . 5.【解】由题知所有事件的空间为 ? ? {( x, y) | 0 ? x ? a,0 ? y ? 4 ? a,0 ? a ? 1} ,其对应区域 为矩形,面积为 S (?) ? a(4 ? a) ,而事件 A ? {( x, y) ?? | x ? y ? 1} ,其对应区域面积为

1 (1 ? 1 ? a)a 1 4 3 2 ,即 a(5a ? 4) ? 0 ,解得 a ? . S ( A) ? (1 ? 1 ? a)a ,所以由古典概型知 ? 2 5 16 a(4 ? a) 6.【解】由已知得 | A |? B,| B |? | A | ,分类讨论所有情况: ①若 | A |? 0,| B |? 8 ,则 8 ? A ,矛盾; ②若 | A |? 1,| B |? 7 ,则 7 ? A,1? B ,且 B ? {1,2,3,4,5,6,8} ,共一种;
1 ③若 | A |? 2.| B |? 6 ,则 2 ? B,6 ? A ,则这样的构成共有(以 A 为标准, B 随机确定) C6 ? 6 种;

④若 | A |? 3,| B |? 5 ,则 5 ? A,3 ? B ,同理这样的构成有 C62 ? 15 种; ⑤若 | A |?| B |? 4 ,则 4 ? A ? B ,矛盾. 故综上可之,共有 N ? 2(1 ? 6 ? 15) ? 44 种.

b2 ? ?3 ,即 b ? 3a ,所以双曲线方程为 3x2 ? y 2 ? 3a 2 , a2 又直线 AB : y ? x ? 5a 代入双曲线方程得 x2 ? 5ax ? 14a2 ? 0 ,得 x1 ? 7 a, 或 x2 ? ?2a ; ???? ??? ? x 2 7 又因 AD ? ? DB ? (? xA ,5a ? y A ) ? ? ( xB , yB ? 5a) ,所以 ? x A ? ? xB ? ? ? ? A ? 或 . xB 7 2 (2)若 B(?2a,3a), A(7a,12a) ,则 M (7a, ?12a) ,又 AB : y ? x ? 5a ,得 P(?5a,0) , 5 a 又直线 lMB : y ? ? ( x ? 2a) ? 3a ,得 Q(? ,0) ,所以 | OP | ? | OQ |? a 2 ; 3 5 若 B(7a,12a), A(?2a,3a) ,则 M (?2a, ?3a) ,又 AB : y ? x ? 5a ,得 P(?5a,0) ,
7.【解】(1)由题知 ?
2014 年\卓越自主招生·数学试题-2

a 5 8.【解】(1)易知 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ?) ? 2 cos(2 x ? ?) ? cos ? , ? 2sin(2 x ? ? ? ) ? cos ? , 4

又直线 lMB : y ? ( x ? 2a) ? 3a ,得 Q(? ,0) ,所以 | OP | ? | OQ |? a 2 ;

5 3

?

? ? ? ? ? ? 3? ?[0, ],2 x ? ? ? ?[? ? ,? ? ] ,其中 ? ? ?[ , ] , 4 4 4 4 4 2 4 ? ? 3? ? 所以当 2 x ? ? ? ? ,即 x ? ? 时, f ( x)max ? 2 ? cos ? , 4 2 8 2
由于 ? ?

?

4

又 f ( x)max ? 2 ? cos ? 在 ? ?[ , ] 上递减,所以 f ( x) max ? 2 ? cos ? ? 2 ?

? ?

? 时取到最大值. 4 ? ? 2 综上可知当 ? ? , x ? 时, f ( x) max ? 2 ? . 4 4 2 ? ? (2)由 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ? ) ? cos ? ,且 2sin(2 x ? ? ? ) ? 2,cos ? ? 1 , 4 4 ? ?? ? 2k? ? ? , k ? Z , ? ?sin(2 x ? ? ? ) ? 1, ? 现在已知 f ( x) ? 3 ,则等价于 ? ,解得 ? . 4 ? x ? (m ? k )? ? , m ? Z ? ? 8 ?cos ? ? 1 ? 9.【解】(1)由题知 f ?( x ) 单调递增,利用拉格朗日中值定理可知:存在 ? ? ( x0 , x0 ? x) ,
当? ?

4 2

2 , 2

f ( x ? x0 ) ? f ( x0 ) f ( x ? x0 ) ? f ( x0 ) ,于是 f ?( x0 ) ? f ?(? ) ? ( x ? x0 ) ? x0 ( x ? x0 ) ? x0 (2)若存在 f ?(u ) ? 4(u ? R) ,则在 [u, ??) 上 f ?( x) ? 4 ,于是有 | f ( x) ? f (u ) |?| f ?(? )( x ? u) |? 4( x ? u), ? ? (u, x), x ? (u, ??) 取 x ? u ? 1 ,则 | f (u ? 1) ? f (u) |? 4 .但是由于 | f ( x) |? 1 ,所以 | f (u ? 1) ? f (u) |? 2 ,矛盾. 同理在 f ?(u ) ? ?4 时也可得矛盾. 结论成立.
使得 f ?(? ) ?

2014 年\卓越自主招生·数学试题-3


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