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高一数学必修1第一章测试题


高一数学必修 1 第一章测试题
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分) 1.有下列说法:(1)0 与{0}表示同一个集合;(2)由 1,2,3 组成的集合可表示为 {1, 2,3} 或 (3) 方程 ( x ? 1)2 ( x ? 2) ? 0 的所有解的集合可表示为 {1,1, 2} ; (4) 集合 {x 4 ? x ? 5} {3, 2,1} ; 是有限集. 其中正确的说法是 ( ) A. (1)(4) B.(2)(3) C. (2) 2. 有 下 列 四 个 命 题 : ①

D. 以上四种说法都不对

?0?

是 空 集 ; ② 若 a ? N , 则 ?a ? N ; ③ 集 合

A ?? x? R | 2 x ?2

6 ? ? x? 1 ? ?0 有两个元素;④集合 B ? ? x ? Q | ? N ? 是有限集,其中 x ? ?

正确命题的个数是 ( ) A、0 B、1 C、2 D、3 3.已知映射 f:A?B,其中集合 A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合 B 中的元素都是 A 中的元素在映射 f 下的象,且对任意的 a∈A,在 B 中和它对应的元素是|a|,则集合 B 中的 元素的个数是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 4.设集合 A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足 S ? A 且 S ? B ? ? 的集合 S 的个数是( ) A.57 5.设 x ? B.56 C.49 D.8

1 , y ? 3 ? 2? ,集合 M ? m | m ? a ? b 2, a ? Q, b ? Q ,那么 x , y 与集 3?5 2
) B、 x ? M , y ? M C、 x ? M , y ? M D、 x ? M , y ? M )

?

?

合 M 的关系是 ( A、 x ? M , y ? M

6.设 I 是全集,集合 M,N,P 都是其子集,则下图中的阴影部分表示的集合为( A. M ? ( P ? C I N ) C. M ? ( C I N ? C I M ) B. M ? ( N ? C I P ) D. ( M ? N ) ? ( M ? P ) ) D. [2? ??) )

7.函数 f(x)=|x+1|-|2x-4|的单调递减区间是( A. (??? ?1) 8.函数 f ( x) ? x ? A.[-1,+∞ ) B. ( ??? 2)

C. (??? 2) ? [2? ??)

p p ? 在(1,+∞)上是增函数,则实数 p 的取值范围是( x 2
B.[1,+∞ ) C. ( -∞,-1]

D. ( -∞,1]

9.设函数 f(x)= ? A.-4 或-2

?? x? x ? 0? 若 f (? ) ? 4,则实数 ? 等于( 2 ? x ? x ? 0?
B.-4 或 2 C.-2 或 4
1

)

D.-2 或 2

10.已知函数 f ? x ? 是 R 上的增函数, A?0,?1? ,B?3,1? 是其图像上的两点,那么 f ? x ? ? 1 的解集是( A. ? ?3,0? ) B. ? 0,3?
2

C. ? ??, ?1? ??3, ???

D. ? ??,0? ??1, ???

x ?1 ? 0}, 则 CU A ? ( ) x ?3 A. {x |1 ? x ? 2} B. {x |1 ? x ? 2} C. {x | 2 ? x ? 3} D. {x | 2 ? x ? 3或x ? 1}
11.已知全集 u ? {x | ?2 ? 3x ? x ? 0}, A ? {x | 12. 满足 M ? N ? ?a,b? 的集合 M,N 共有( )

A. 7 组 B. 8 组 C. 9 组 D. 10 组 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分) 13. 若函数 f(x+3)的定义域为[-5,-2],则 F(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域为

.

2 14. A ? {x | x ? 3x ?10 ? 0} , B ? {x | a ? 1 ? x ? 2a ? 1} ,U ? R ,且 B ? CU A ,求实数

a 的取值范围
15. 已 知 集 合 A ? 是 .

.

?

x ? 1 ? x 2 ? 1 ? 集 合 B ? x 2 ? 1 ? 2x ? 1 ? 若 A=B, 则 实 数 x 的 值 2x ? 1 2 x? 1 x2 ? 1 x ? 1
3 4 ] ,试求函数 y ? g ( x) ? f ( x) ? 1 ? 2 f ( x) 的值域为 8 9

?

?

?

16.已知 f ( x) 的值域是 [ ,

三、解答题( 共 7 小题,每小题 10 分) 17.求下列函数的值域: (1) y ? x ? 1 ? 2 x (2) y ?

x2 ? 3 x2 ? 2

18.已知 A ? {x ? 2 ? x ? 5} , B ? {x m ?1 ? x ? 2m ?1} , B ? A ,求 m 的取值范围。

2

19.已知函数 f ( x) ? 4 x2 ? kx ? 8 在 [5, 20] 上具有单调性,求实数 k 的取值范围.

20.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,对 m 、 n ? R 恒有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,且当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1。 (1)求证: f (0) ? 1 ; (2)证明: x ? R 时恒有 f ( x) ? 0 ; (3)求证: f ( x) 在 R 上是减函数; (4)若 f ( x) ? f (2 ? x) ? 1 ,求 x 的范围。

2 2 21.已知全集 U ? R ,集合 P ? {x ? R | x ? 3x ? b ? 0} , Q ? x ? R ( x ? 2)( x ? 3 x ? 4) ? 0

?

?;

(1)若 b ? 4 时,存在集合 M 使得 P ? ? M ? Q ,求出这样的集合 M;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)集合 P 、 Q 是否能满足 (CU Q) ? P ? ? ?若能,求实数 b 的取值范围;若不能,请 说明理由.

3

22. 是否存在常数 k ? R,使函数 f ( x) ? x4 ? (2 ? k ) x2 ? (2 ? k ) 在 (??? ?1] 上是减函数,且在 [-1,0)上是增函数?

23.设函数 f ( x) ?| x2 ? 4 x ? 5 | . (1)在区间 [ ? 2, 6 ] 上画出函数 f ( x) 的图像; (2)设集合 A ? {x f ( x) ? 5 }, B ? ( ? ?, ? 2] ? [0, 4] ? [6, ? ? ) . 试判断集合 A 和 B 之间 的关系,并给出证明; (3)当 k ? 2 时,求证:在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? kx ? 3k 的图像位于函数 f ( x) 图像的上方.

4

答案 一、选择题( 小题,每小题 分) 1.C2.A3.A4.B 5.B 6.B7.D8.A9.B10.B 二、填空题( 小题,每小题 分) 13. [-1,0] 14. (??,3]
2

11.D12C

15.2
2

2 2 解析:因为 A=B,则 x2 ? 1 ? x ? 1 ? x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 即 1 ? x ? 1 ? 亦即 x ? 2 x ? 0 .

x ?1 x ?1

2x ?1 2x ?1

2x ? 1

所以 x=0 或 x=2. 当 x=0 时,不满足集合元素的互异性,舍去. 当 x=2 时 ? A ? 3 ? 5 ? B ? 3 ? 5 ? 满足条件 A=B.故所求实数 x 的值为 2. 答案:2 16. 三、解答题( 7 小题,每小题 10 分) 17. 18.解析:当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时, B ? ? , 满足 B ? A ,即 m ? 2 ; 当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时, B ? ?3? , 满足 B ? A ,即 m ? 2 ; 当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时,由 B ? A ,得 ? 19.解:该二次函数的对称轴为 x ? 则 20 21.解析:(1)易知 P= ? ,且 Q ? ?? 4,1,2

?5 3? ?5 3?

?m ? 1 ? ?2 即 2 ? m ? 3 ;∴ m ? 3 ?2m ? 1 ? 5

k 2 ,函数 f ( x) ? 4 x ? kx ? 8 在 [5, 20] 上具有单调性, 8

k k ? 20 ,或 ? 5 ,得 k ? 160 ,或 k ? 40 ,即实数 k 的取值范围为 k ? 160 ,或 k ? 40 . 8 8

?,由已知 M 应该是一个非空集合,

且是 Q 的一个子集,∴用列举法可得这样的 M 共有如下 7 个: {-4}、{1}、{2}、{-4,1}、{-4,2}、{1,2}、{-4,1,2}。…………….4 分 (2)由 (CU Q) ? P ? ? 得 P ? Q , …………….6 分

当 P= ? 时,P 是 Q 的一个子集,此时 ? ? 9 ? 4b ? 0 ,∴ b ? 若 P≠ ? ,∵ Q ? ?? 4,1,2

9 ;…………….8 分 4

?,

当 ?4 ? P 时,则得到 P= {?4,7} 不可能为 Q 的一个子集, 当 1 ? P 时, b ? 2 ,此时 P={1,2}是 Q 的子集, 当 2 ? P 时, b ? 2 ,此时 P={1,2}是 Q 的子集;…………….12 分 综上可知:当且仅当 P= ? 或 P={1,2}时, (CU Q) ? P ? ? ,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

5

∴实数 b 的取值范围是 ?b b ?

? ?

9 , 或b ? 2 ?…………….13 分 4

22.解:任取 x1 ? x2 ? ?1? 则
4 2 2 2 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x14 ? (2 ? k )( x2 ? x12 ) ? ( x2 ? x12 )( x2 ? x12 ? 2 ? k ) 2 ? ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 )( x2 ? x12 ? 2 ? k )? (*)

由 f(x) 在 (??? ?1] 上 是 减 函 数 可 知 , 对 任 意 x1 ? x2 ? ?1? ( *) 式 小 于 零 恒 成 立 , 所 以 有
2 2 2 x2 ? x12 ? 2 ? k ? 0 恒 成 立 , 即 k ? x2 ? x12 ? 2 恒 成 立 , 这 样问 题 转 化 为 求 A ? x2 ? x12 ? 2 在

(??? ?1] 上的最小值.
2 显 然 x2 ? x12 ? 2 ? 1 ? 1 ? 2=4, 因 此 , 当 k ? 4 时 (*) 式 小 于 零 恒 成 立 , 即 k ? 4 时 , 函 数 f(x) 在

(??? ?1] 上是减函数.
同 理 , 当 ?1 ? x1 ? x2 ? 0 时 , 由 f(x) 在 [-1,0) 上 是 增 函 数 , 可 知 (*) 式 大 于 零 对 任 意 的
2 2 ?1 ? x1 ? x2 ? 0 都成立,从而有 k ? x2 ? x12 ? 2? 而 x2 ? x12 ? 2 ? 4? 故 k ? 4 .

综上可知,存在常数 k=4,使 f ( x) ? x ? (2 ? k ) x ? (2 ? k ) 在 (??? ?1] 上是减函数,且在[-1,0)上
4 2

是增函数. 23.解:(1)函数的图象如下: ( 2 )方程 f ( x) ? 5 的解分别是 2 ? 14, 0, 4 和 2 ? 14 ,由于 f ( x) 在 ( ? ?, ? 1 ] 和 [ 2, 5 ] 上单调递减,在 [ ? 1, 2 ] 和 [ 5, ? ? ) 上单调递增,因此

A ? (??, 2 ? 14] ? [0, 4] ? [2 ? 14, ? ?)
由于 2 ? 14 ? 6, 2 ? 14 ? ?2 ∴ B 是 A 的子集. (3)当 x ? [ ? 1, 5 ] 时, f ( x) ? ? x 2 ? 4x ? 5 .

g ( x) ? k ( x ? 3) ? (? x 2 ? 4x ? 5) ? x 2 ? (k ? 4) x ? (3k ? 5) ? ( x ?
? k ? 2 ,∴

4 ? k 2 k2 ? 2 0 k? 36 ) ? 2 4

4?k ? 1 ,又 ? 1 ? x ? 5 , 2 4?k 4?k ① 当 ?1? , ? 1 ,即 2 ? k ? 6 时,取 x ? 2 2 k2 ? 2 0 k? 36 1 2 ?? [( k? 10 ) ? 6 g ( x) m i n? ? .4] 4 4 ? 1 6? k ( ? 12 0 )? ,∴ 6 4 (k ? 10)2 ? 64 ? 0 ,则 g ( x) min ? 0 . 4?k ② 当 ? ?1 ,即 k ? 6 时,取 x ? ?1 , g ( x) min = 2k ? 0 . 2 由 ①、②可知,当 k ? 2 时, g ( x) ? 0 , x ? [ ? 1, 5 ] .
6

7


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