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2015年普通高等学校招生全国统一考试课标1文数


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2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分。第Ⅰ 卷 1 至 3 页,第Ⅱ 卷4至6 页。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡 上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致

。 2.第Ⅰ 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。第Ⅱ 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔书写作答. 若在试题卷上作答,答案无效。 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1)已知集合 A={x|x=3n+2,n ? N},B={6,8,12,14},则集合 A ? B 中元素的个数为 (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 解析: A

B ? {x | x ? 3n ? 2, n ? N} {6,8,12,14} ? {8,14} ,答案选 D.

(2)已知点 A(0,1) ,B(3,2) ,向量 AC =(-4,-3) ,则向量 BC = (A) (-7,-4) (B) (7,4) (C) (-1,4) (D) (1,4)

解析:由 AC ? (?4, ?3) 及点 A(0,1)可得点 C(-4,-2) ,则 BC ? (?4 ? 3, ?2 ? 2) ? (?7, ?4) , 答案选 A. (3)已知复数 z 满足(z-1)i=i+1,则 z= (A)-2-i (B)-2+i (C)2-i 解析:由(z-1)i=i+1 可得 z ? 1 ?

(D)2+i

i ?1 ? 2 ? i ,答案选 C i

(4)如果 3 个整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数,从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则 3 个数构成一组勾股数的概率为 (A)

10 3

(B)

1 5

(C)

1 10

(D)

1 20
3 C3 1 ? ,答案选 C. 3 C5 10

解析:由题意可知 1,2,3,4,5 中只有 3,4,5 这一组勾股数, P ?

(5)已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为

1 ,E 的右焦点与抛物线 C:y? =8x 的焦点 2

重合,A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则|AB|= (A)3 (B)6 (C)9 (D)12

) 则椭圆 E 解 析 : 抛 物 线 C : y? =8x 的 焦 点 为 ( 2 , 0 ,

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中 的 a 2 b2

c ? a 2 ? b 2 ? 2, e ?

c 1 2b2 ? , a ? 4, b 2? 12,| AB |? ? 6 ,答案故选 B. a 2 a

(6) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣 内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆 为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高 为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率 约为 3,估算出堆放斛的米约有

A.14 斛

B.22 斛

C.36 斛

D.66 斛

解析:设圆锥底面半径为 r,则

1 16 ?2 ?3 r ? 8= r ? ,所以米堆的体积为 3 4 1 1 16 320 320 ? ? 3 ? ( )2 ? 5 = ,故 堆放的米约为 ÷1.62≈22,故答案选 B. 9 9 4 3 3

(7)已知错误!未找到引用源。是公差为 1 的等差数列,错误!未找到引用源。则错误! 未找到引用源。=4 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。= (A)错误!未找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。 (C)10 (D ) 12 解析: Sn ? na1 ?

n(n ? 1) 1 1 19 , S 8 ? 8a 1 ? 28? 4 S 4 ? 4( a 4 1? 6), a 1? a, 1 0 ? ? ? 9 ,故 2 2 2 2

答案选 B. (8)函数 f(x)=错误!未找到引用源。的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为

(A) (k 错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。, k 错误!未找到引用源。-错误! 未找到引用源。 ),k 错误!未找到引用源。 (B) (2k 错误!未找到引用源。-错误!未找到引 用源。, 2k 错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 ),k 错误!未找到引用源。

(C) (k 错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。, k 错误!未找到引用源。-错误! 未找到引用源。 ),k 错误!未找到引用源。 (D) (2k 错误!未找到引用源。错误!未 找到引用源。, 2k 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ),k 错误!未找到引用源。 解析: T ? 2( ? ) ? 2, ? ? ? , ? ?

1 ? ? ? ? ? ? , ? ? , f ( x) ? cos(? x ? ) ,由 4 2 4 4 ? 1 3 2k? ? ? x ? ? 2k? ? ? 得 2k ? ? x ? 2k ? ,故答案选 D. 4 4 4 5 4 1 4

(9)执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n=

(A)5 解析:

(B)6

(C)7

(D)8

故答案选 C (10)已知函数错误!未找到引用源。 ,且 f(a)=-3,则 f(6-a)= (A)-

7 4

(B)-

5 4

(C)-

3 4

(D)-

1 4

解析:由题意知

? log 2 ( x ? 1) ? ?3, x ? 7, f (6 ? 7) ? f (?1) ? 2?1?1 ? 2 ? ?

7 4 ,答案选 A

(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图 中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为 16+20π,则 r=

(A)1

(B) 2

(C) 4

(D) 8

解析:由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半 1 2 2 2 2 径都为 r, 圆柱的高为 2r, 其表面积为 ? 4? r ? ? r ? 2r ? ? r ? 2r ? 2r = 5? r ? 4r =16 + 2
20 ? ,解得 r=2,故答案选 B. (12)设函数 y=f(x)的图像与函数 y ? 2 =1,则 a= (A)-1
x?a

的图像关于直线 y=-x 对称,且 f(-2)+f(-4)

(B)1

(C)2

(D)4

解析:函数 y=f(x)的图像上的任意一点 ( x, y ) 关于直线 y=-x 对称的点 (? y, ? x) 在函数
? y?a 即 ?x ? 2 , 则 y=f (x) 的解析式为 f ( x) ? a ? log2 (?x) , y ? 2x?a 的图像上, ? y ? a ? log2 (? x) ,

从而 f (?2) ? f (?4) ? 2a ? 3 ? 1,解得 a ? 2 ,答案选 C

第Ⅱ 卷
注意事项: 第Ⅱ 卷共 3 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答,答 案无效。 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考 生都必须作答。第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13)在数列{an}中, a1=2,an+1=2an, Sn 为{an}的前 n 项和。若 Sn=126,则 n=. 答案:6 解析:由 a1=2,an+1=2an,可得 an ? 2n , Sn ? 2n?1 ? 2 ? 126, 2n?1 ? 27 , n ? 6 .

(14)已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图像在点(1,f(1))处的切线过点(2,7) ,则 a= . 7 ? a ?1 ?1 ? 5 ? a, a ? 1 . 答案:1 解析:f(x)=ax3+x+1, f ?( x) ? 3ax 2 ? 1, f ?(1) ? 3a ? 1 ? 2 ?1

(15)x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最大值为

.

答案:4

解析:画出可行域,经分析可知当 x ? y ? 1 时 z=3x+y 取最大值为 4.
y2 =1 的右焦点, P 是 C 的左支上一点, A (0,6 6 ) . 8

(16)已知 F 是双曲线 C: x2-

当△ APF 周长最小时,该三角形的面积为
答案: 12 6 解析:设 F ? 是双曲线 C:x2-

.

y2 =1 的左焦点,而 P 是 C 的左支上一点,则 8

| PF |?| PF ? | ?2 ,△ APF 周长等于 | PA | ? | PF | ? | AF |?| PA | ? | PF ?| ? | AF | ?2 ?| AF ? | ? | AF | ?2 ? 32 , 当且仅当点 P, F ?, A 共线时等号成立,点 P 在线段 F ?A 上,线段

F ?A : y ? 2 6x ? 6 6(?3 ? x ? 0) ,代入 x2-

y2 =1 可得 8x2 ? (2 6 x ? 6 6)2 ? 8, 8

x2 ? 9 x ? 14 ? 0 ,解得 x ? ?2, x ? ?7 (舍去) ,则 P(?2, 2 6) 到直线 FA : y ? ?2 6x ? 6 6
的距离为 d ?

8 6 1 1 8 6 , S ? ? d ? | AF |? ? ?15 ? 12 6 . 5 2 2 5

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
(17) (本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别为△ ABC 内角 A, B, C 的对边, sin2B=2sinAsinC (Ⅰ )若 a=b,求 cosB; (Ⅱ )设 B=90° ,且 a= 2 ,求△ ABC 的面积.
2 解: (Ⅰ )由题设及正弦定理可得 b ? 2ac ,又 a ? b ,可得 b ? 2c, a ? 2c ,

由余弦定理可得 cos B ?
2

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? ;--------------------6 分 2ac 4
2 2 2

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 b ? 2ac ,因为 B=90° ,由勾股定理知 b ? a ? c , 故 a ? c ? 2ac ,得 a ? c ?
2 2

2 ,所以△ ABC 的面积为 1.----------------------12 分.

(18)(本小题满分 12 分)如图,四边形 ABCD 为菱形, G 为 AC 与 BD 的交点,BE⊥ 平面 ABCD. (Ⅰ )证明:平面 AEC⊥ 平面 BED; (Ⅱ )若∠ ABC=120° ,AE⊥ EC, 三棱锥—ACD 的体积为

6 ,求该三棱锥的侧面积 3

(19) (本小题满分 12 分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的 年宣传费错误!未找到引用源。和年销售量错误!未找到引用源。 (i=1,2,· · · ,8)数据作了 初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值。

x

y

w

?
i ?1

8

(x1- x )

?
i ?1

8

(w1- w )2

?
i ?1

8

(x1- x )(y- y )

?
i ?1

8

(w1- w )(y- y )

2

46.6

563

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

表中 w1 = x 1,



w =

1 8

?w
i ?1

8

1

(1) 根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ )根据(Ⅰ )的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ )以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。根据(Ⅱ )的结果回答下列问题:

(i) 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii) 年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…….. (un 截距的最小二乘估计分别为: vn),其回归线 v= ? ? ? u 的斜率和

(20) (本小题满分 12 分)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. (1) 求 K 的取值范围;

ON =12,其中 0 为坐标原点,求︱MN︱. (2) 若 OM ·

(21).(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? e2 x ? a ln x . (Ⅰ )讨论 f ( x) 的导函数 f '( x) 零点的个数; (Ⅱ )证明:当 a ? 0 时, f ( x ) ? 2a ? a ln

2 。 a

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则安所做的第一题计分。作答时请 写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线, BC 交⊙O 于点 E。 (Ⅰ )若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是⊙O 的切线; (Ⅱ )若 CA= 3 CE,求∠ ACB 的大小。 (22)解: (1)证明:连结 AF,由已知得, AE ? BC, AC ? AB .

E C ?? D C E 在 Rt ?AEC 中, 由已知得 DE ? DC , 故 ?D
又 ?ACB ? ?ABC ? 90 ,所以 ?DEC ? ?OEB ? 90 , 故 ?OED ? 90 ,DE 是⊙O 的切线;--------------------5 分

B E ?? O E B , 连结 OE, 则 ?O

.

(Ⅱ )设 CE ? 1, AE ? x ,由已知得 AB ? 2 3, BE ? 12 ? x 2 . 由射影定理得 AE ? CE ? BE ,所以 x2 ? 12 ? x2 ,即 x ? x ? 12 ? 0 ,可得 x ? 3 ,
2 4 2

所以 ?ACB ? 60 .

----------------------10 分.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 :x= ?2 ,圆 C2 : ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 1 ,以坐标原点为极
2 2

点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 (1)求 C1 C2 的极坐标方程。



(2)若直线 C3 的极坐标为 ? =

? (ρ ? R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△ C2MN 的面积 4

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1) 当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2) 若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

x ? ?1, ? x ? 1 ? 2a, ? (Ⅱ )由题设得 f ( x) ? ? 3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a, 所以函数 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形的 ?? x ? 1 ? 2a, x ? a. ?
三个顶点分别为 A(

2 2a ? 1 ,0), B(2a ? 1,0), C (a,a ? 1) ,于是 ?ABC 的面积为 ( a ? 1) 2 , 3 3

由题设得 (a ? 1) ? 6 ,而 a>0,解得 a ? 2 ,故所求的 a 的取值范围是 (2, ??) .---------10 分
2

2 3


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