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2.2.2对数函数及其性质(3课时)


棠中优教网校教学设计方案
课 题 课 时 课 程 标 准
2.2.2 对数函数及其性质 3 课时

授课时间 指导团队

授课人 审核专家

张勇

通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对 数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机

画出具体对数函数的图像,探索并了解 对数函数的单调性与特殊点;知道指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? loga x 互为反函数.

结构化预习课(课前) 问题 预习提纲
1、阅读教材 70 页至 73 页 2、思考:对数函数是如何定义的?为什么要规定底数 a 的范围? 3、思考:学习了指数函数以后,你觉得应怎样学习对数函数? 4、思考:函数 y ? log2 x 的图像与 y ? log 1 x 的图像有什么关系?
2

师生活动
教师展示预习提纲 ,提出 预习要求 , 学生阅读教材 , 部 分回答并生成问题.由小组学 科长收集问题并交到课代表 , 再由课代表在当天转交给教 师.

为什么会具有这样的关系? 5、思考:对数函数具有怎样的性质? 6、思考:同底数的指数函数与对数函数的图像具有怎样的关系? 7、完成教材 73 页练习 8、你能提出什么问题?

教师整合问题

问题解决课(课中)
第一课时

课 标 分 解

1、理解对数函数的概念 2、能画出对数函数及变换后的图像 3、掌握对数函数的性质

问题
复习旧知:回顾指数函数的概念及简单性质 问题 1:研究函数的基本步骤是什么? 提出函数概念

师生活动

?

创 境 设 问

画出函数图像

?
根据图像特征研究函数性质

?
应用函数性质解决问题 问题 2: 类比指数函数的定义, 你能否给对数函数下一个定义?

教师提出问题,学生交流、讨 论,推举代表回答,教师引导 学生由指数函数类比得到对 数函数的概念

定义:一般地,我们把函数 y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 叫做对数 函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 (0,??) 问题 3:画出函数 y ? log2 x 的图像 法一:列表,描点,连线 法二:设 P(m, n) 为函数 y ? log2 x 的图像上任意一点,则
n 则m ? 2 , 所以点 Q(n, m) 为函数 y ? 2 x 图像上 n ? log2 m ,

的点,由于点 P(m, n) 与点 Q(n, m) 关于直线 y ? x 对称,所以 函数 y ? log2 x 的图像与函数 y ? 2 x 的图像也关于直线 y ? x 对称. 教师展示学生画的图,然后用几何画板展示标准图像. 教师用几何画板展示随着 a 的变化,函数图像的变化过程,引 导学生观察应分 a ? 1 和 0 ? a ? 1 两种情况讨论函数性质. 问题 4: 观察图像,完成下表: 图像特征 图像都在 y 轴右侧 图像可以向上、下无限延伸 图像都过 (1,0) 点 从左往右看, a ? 1 时图像逐 渐上升; 0 ? a ? 1 时图像逐 渐下降. 函数性质 定义域为 (0,??) 值域为 R

学生自己动手作图,教师巡 视,个别辅导,展示有代表性 的图像,教师补充.

互 动 解 疑

教师用几何画板展示随着 a 的变化,函数图像的变化过 程,引导学生观察应分 a ? 1 和 0 ? a ? 1 两种情况讨论函 数性质.

a ? 1 时,函数单调递增 0 ? a ? 1 时,函数单调递减

学生通过观察图像, 研究函数 性质,完成表格

当 a 与 x 同时大于 1 或同时小于 1 时,函数值为正 当 a 与 x 一个大于 1,一个小于 1 时,函数值为负 问题 5:再次观察函数 y ? log2 x 与 y ? log 1 x 的图像,你能
2

有什么新发现?为什么会有这样的特点? 由 y ? log 1 x ? ? log2 x 知,函数 y ? log2 x 与 y ? log 1 x 的
2 2

图像关于 x 轴对称. 问题 6:再次观察函数 y ? log2 x, y ? log3 x, y ? log4 x 的图 像,你能有什么发现? 底数越大,函数图像越平缓.

教师组织学生再次观察图像, 引导学生深入观察图像间的 对比关系

问题 7: 再次观察函数 y ? 2 x 与 y ? log2 x 的图像, 函数 y ? 3 x 与 y ? log3 x 的图像,你能有什么发现? 指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? loga x 的图像关于直线 y ? x 对称,称 y ? a x 与 y ? loga x 互为反函数. 问题 8:作出函数 y ?| log2 x |, y ? log2 | x | 的图像

拓 展 延 伸

例 1 求下列函数的定义域:

(1) y ? loga x 2 ; (2) y ? loga (4 ? x) ;
(3) y ? log0.3 | x ? 2 | ; (4) y ? ln(16 ? 2 x )
例 2 已知函数 f ( x ) ? log 2

学生独立完成, 教师个别辅导

1? x ,求 f ( x) 的定义域,并判断 1? x
学生交流、 讨论本节课的重点 知识,代表发言,其它同学和 教师补充, 教师应注重点出类 比思想的作用

f ( x) 的奇偶性.
练习:教材 73 页练习 2 课堂小结: 1、对数函数的图像及基本性质 2、类比思想 第二课时

课 标 分 解

1、会比较对数的大小 2、会解对数不等式 3、会利用数形结合思想解决一些简单问题

问题
首先回顾对数函数的图象与性质:图像,定义域,值域,定点, 单调性,函数值的正负 图像间的基本关系: y ? loga x 与 log 1 x 的图像关于 x 轴对称
a

师生活动

创 境 设 问

当 a ? b ? 1 时, loga x 比 logb x 的图像更接近 x 轴 当 0 ? a ? b ? 1 时, loga x 比 logb x 的图像更接近 x 轴
x 指数函数 y ? a 与对数函数 y ? loga x 的图像关于直线 y ? x

师生共同回顾对数函数的基 本性质及不同对数函数间的 图像对比

对称,称 y ? a 与 y ? loga x 互为反函数.
x

例 1 比较下列各组数中几个值的大小:

互 动 解 疑

(1) log2 3.4, log2 8.5 ;

(2) log0.3 1.8, log0.3 2.7 ; (3) loga 5.1, loga 5.9(a ? 0, a ? 1) ;

教师提出问题, 学生先独立思 考,再小组交流、讨论,总结 该类题的基本解法, 教师点评

(4) log2 3, log4 ? , log3 0.6 ;

(5) log0.7 0.8, log1.1 0.9,1.10.9 ;
变式:下列 4 个数中最大的是( A、 (ln 2) 2 B、 ln(ln2) ) C、 ln 2 D、 ln 2

教师提出问题, 学生先独立思 考,再小组交流、讨论,总结 该类题的基本解法, 教师点评

例 2 已知 loga 2 ? logb 2 ,则 a 和 b 的大小关系可能是

(1)m ? n ? 1; (2)n ? m ? 1; (3)0 ? n ? m ? 1; (4)0 ? m ? n ? 1; (5)n ? 1 ? m ? 0; (6)m ? 1 ? n ? 0
例 3 解不等式(1) log 1 (3x ? 4) ? log 1 (3 ? x) ;
2 2

3 ? 1(a ? 0, a ? 1) 4 变式:求函数 f ( x) ? log 1 ( x ? 1) 的定义域
(2) log a
2

教师提出问题, 学生先独立思 考,再小组交流、讨论,总结 该类题的基本解法, 教师点评 ) 教师提出问题, 学生先独立思 考,再小组交流、讨论,总结 该类题的基本解法, 教师点评

例 4 当0 ? x ?

1 时, 4 x ? loga x ,则 a 的取值范围是( 2

拓 展 延 伸

A. (0,

2 ) 2

B. (

2 ,1) 2

C. (1, 2 )

D. ( 2 ,2)

课堂小结: 1、比较对数值的大小 2、对数不等式的解法 3、数形结合思想的应用 第三课时

教师引导学生回顾本节课的 重点知识及易错点

课 标 分 解

1、会求对数型复合函数的单调区间 2、会求对数型复合函数的值域 3、会解决与对数有关的简单实际问题

问题
f ( x) 我们知道,当 a ? 1 时,复合函数 y ? a 的单调性与函数

师生活动

创 境 设 问

f ( x) y ? f ( x) 的单调性相同; 当 0 ? a ? 1 时, 复合函数 y ? a 的

教师提出问题, 引导学生思考

单调性与 y ? f ( x) 的单调性相反 . 那么函数 y ? loga f ( x) 的 单调性与函数 y ? f ( x) 的单调性有什么关系呢? 例 1 求下列函数的单调区间:

互 动 解 疑

(1) y ? log0.1 (2x 2 ? 5x ? 3) ; (2) y ? loga (?x 2 ? 2x ? 3)(a ? 0, a ? 1)
注意:a ? 1 时, 函数 y ? loga f ( x) 的单调区间与 y ? f ( x) 的

学生先独立完成,再交流讨 论、 比较对数型复合函数的单 调性与指数型复合函数的单 调性的区别与联系, 教师点评 总结.

单调区间一般并不相同,不能忽略定义域. 变式:已知函数 y ? loga (2 ? ax) 在区间 [0,1] 上单调递减,则 实数 a 的取值范围是 A、 (0,1) B、 (1,2) C、 (0,2) D、 (2,??) 学生独立完成,教师个别辅 导,学生代表展示

例 2 求下列函数的值域:

(1) y ? log0.1 (2x 2 ? 5x ? 3) ; (2) y ? loga (?x 2 ? 2x ? 3)(a ? 0, a ? 1)
变式: f ( x) ? lg[(a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 1] (1)若 f ( x) 的定义域为 R,求 a 的取值范围 (2)若 f ( x) 的值域为 R,求 a 的取值范围 例 3 已知 f ( x) ? loga (a x ? 1)(a ? 0, a ? 1) (1)求 f ( x) 的定义域 (2)讨论函数 f ( x) 的单调性

学生先独立完成,再交流讨 论, 比较对数型复合函数的值 域与指数型复合函数的值域 的区别与联系,教师点评总 结.

师生共同完成,学生点评

例 4

溶液酸碱 度是通过 pH 刻 画的 . pH 的计算 公式为 师生共同完成,学生点评

pH ? ? lg[ H ? ] ,其中 [ H ? ] 表示溶液中氢离子的浓度,单位
拓 展 延 伸
是摩尔/升. (1)说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的关系; (2) 已知纯净水中氢离子的浓度为 [ H ? ] ? 10?7 摩尔/升, 计算 纯净水的 pH . 课堂小结: 1、对数型复合函数的单调性判断 2、对数型复合函数的值域

师生归纳对数型复合函数的 单调区间与值域的求解方法 及易错点.

训练设计(课后)
第一课时: 1、求下列函数的定义域: (1) y ? 3 log2 x ; (2) y ? 2、已知 f ( x) ? lg

log0.5 (4 x ? 3)

1? x a?b , a, b ? (?1,1) ,求证: f (a ) ? f (b) ? f ( ) 1? x 1 ? ab
2

3、解方程: (1) lg x ? lg( x ? 3) ? 1; (2)(log2 x) ? log2 x ? 12 ? 0 4、声强级 L1 (单位:dB)由公式 L1 ? 10 lg(

I ) 给出,其中 I 为声强(单位: W / m 2 ) ?12 10

(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为 1 W / m ,能听到的最低声强为 10 声强级范围 (2)平时常人交谈的声强约为 10 W / m ,求其声强级
?6 2

2

?12

W / m 2 .求人听觉的

5、已知函数 f ( x) ?| lg x | ,若 0 ? a ? b 且 f (a) ? f (b) ,则 a ? 2b 的取值范围是( A、 (2 2 ,??) B、 [2 2 ,??) C、 (3,??) D、 [3,??)



6、若两个函数的图像经过平移后能够重合,则称这两个函数为同形函数,给出下列 4 个函数:

f1 ( x) ? 2 log2 ( x ? 1), f 2 ( x) ? log2 ( x ? 2), f 3 ( x) ? log2 x 2 , f 4 ( x) ? log2 (2x) ,其中是同形函数的
是( ) B、 f 2 ( x) 与 f 4 ( x) C、 f 1 ( x ) 与 f 4 ( x) D、 f 3 ( x) 与 f 4 ( x)

A、 f 1 ( x ) 与 f 3 ( x) 第二课时: 1、 a ? log1
3

1 2 4 , b ? log1 , c ? log3 ,则 a, b, c 的大小关系是 2 3 3 2

2、函数 f ( x) ?

1 log0.5 (4 x ? 3)
B、 ( ,?? )

的定义域为(



A、 ( ,1)

3 4

3 4

C、 (1,??)

D、 ( ,1) ? (1,?? )

3 4

? 1 x ?( ) , x ? 4 3、已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f (2 ? log2 3) ? _______ ? ? f ( x ? 1), x ? 4
4、在下列区间中,函数 f ( x) ?| lg(2 ? x) | 在其上为增函数的是( A、 (??,1] B、 [ ?1, ] )

4 3

C、 [1,??)

D、 [0,??)

5、当 x ? (1,2) 时,不等式 ( x ? 1) 2 ? loga x 恒成立,求 a 的取值范围 6、设 a, b, c 分别是方程 2 ? log 1 x, ( ) ? log 1 x, ( ) ? log2 x 的实数根,则(
x x x 2 2

1 2

1 2



A、 c ? b ? a 第三课时:

B、 a ? b ? c

C、 b ? a ? c

D、 c ? a ? b

1、若 loga 2 ? logb 2 ? 0 ,则( ) A、 0 ? a ? b ? 1 B、 0 ? b ? a ? 1 C、 a ? b ? 1 D、 b ? a ? 1

2、 f ( x) ? lg( x 2 ? 1 ? x) ,判断 f ( x) 的奇偶性 3、已知函数 f ( x) ? log0.5 (?x ? 2x ? 63)
2

(1)求函数的定义域和值域;(2)求函数的单调区间; 4、问是否存在实数 a ,使函数 f ( x) ? loga (ax ? x) 在区间 [2,4] 上是增函数?如果存在,求出 a 的
2

取值范围;如果不存在,请说明理由.

5、大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数

v?

1 O log 3 ,单位是 m/s,其中 O 表示鱼的耗氧量的单位数 2 100

(1)当一条鱼的耗氧量是 2700 个单位时,它的游速是多少? (2)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数. 6、已知函数 f ( x) ? log1 ( x 2 ? 2ax ? 3)
2

(1)若函数的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若函数的值域为 R,求实数 a 的取值范围; (3)若函数的值域为 (??,?1] ,求实数 a 的值; (4)若函数在 (??,1] 内为增函数,求实数 a 的取值范围.

教学反思


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