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1.3.2 函数的奇偶性 学案


1.3.2 函数的奇偶性 学案
【预习要点及要求】 1.函数奇偶性的概念; 2.由函数图象研究函数的奇偶性; 3.函数奇偶性的判断; 4.能运用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性; 5.理解函数的奇偶性。 【知识再现】 1.轴对称图形: 2 中心对称图形: 【概念探究】 1、 画出函数 f ( x) ? x 3 ,与 g ( x) ? x 2 的图像;并观察两个函数图像的对称性。

2、 求出 x ? ?3 , x ? ?2 , x ? ?

1 时的函数值,写出 f (? x) , g (? x) 。 2

结论: f (? x) ? ? f ( x) , g (? x) ? g ( x) 。 3、 奇函数:___________________________________________________ 4、 偶函数:______________________________________________________ 【概念深化】 (1) 、强调定义中“任意”二字,奇偶性是函数在定义域上的整体性质。 (2) 、奇函数偶函数的定义域关于原点对称。 5、奇函数与偶函数图像的对称性: 如果一个函数是奇函数,则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的__________。反 之 ,如 果一个 函数 的图像 是以 坐标原 点为对 称中 心的 中心对 称图形 ,则 这个 函数是 ___________。 如果一个函数是偶函数,则这个函数的图像是以 y 轴为对称轴的__________。反之,如 果一个函数的图像是关于 y 轴对称,则这个函数是___________。 6. 根据函数的奇偶性,函数可以分为____________________________________. 【例题解析】
2 例 1.已知 f (x) 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 x ,求当 x ? 0 时 f (x) 的表达式

例 2.设为实数,函数 f ( x) ? x ? | x ? a | ?1 , x ? R ,讨论 f (x) 的奇偶性
2

参考答案: 例 1.解:设 x ? 0, 则 ? x ? 0 ,? f (? x) ? (? x) 2 ? 2(? x) ? x 2 ? 2 x ,又因为 f (x) 为奇函 数,

? f (? x) ? ? f ( x) ,? f ( x) ? ?( x 2 ? 2 x) ? ? x 2 ? 2 x

?当x ? 0时f ( x) ? ? x 2 ? 2x
评析:在哪个区间上求解析式,x 就设在哪个区间上,然后要利用已知区间的解析式进行代 入,利用 f (x) 的奇偶性,把 f (? x) 写成 ? f (x) 或 f (x) ,从而解出 f (x) 例 2.解:当 a ? 0 时, f (? x) ? (? x) 2 ? | ? x | ?1 ? x 2 ? | x | ?1 ? f ( x) , 所以 f (x) 为偶函数 当 a ? 0 时, f (a) ? a 2 ? 1, f (?a) ? a 2 ? 2 | a | ?1 此时函数 f (x) 既不是奇函数,也不是偶函数 评析:对于参数的不同取值函数的奇偶性不同,因而需对参数进行讨论 达标练习: 一、 选择题 1、函数 f ( x) ? x 2 ? A.奇函数

x 的奇偶性是





B. 偶函数

C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 )

2、函数 y ? f (x) 是奇函数,图象上有一点为 (a, f (a )) ,则图象必过点( A. (a, f (?a)) 二、填空题: B. (?a, f (a)) C. (?a,? f (a))

D. (a,

1 ) f (a)

3、 f (x) 为 R 上的偶函数,且当 x ? (??,0) 时, f ( x) ? x( x ? 1) ,则当 x ? (0,??) 时,

f (x) ? ___________.
4、函数 f (x) 为偶函数,那么 f ( x)与f (| x |) 的大小关系为 三、解答题: 5、已知函数 f (x) 是定义在 R 上的不恒为 0 的函数,且对于任意的 a, b ? R ,都有 __.

f (ab) ? af (b) ? bf (a)

(1) 、求 f (0), f (1) 的值; (2) 、判断函数 f (x) 的奇偶性,并加以证明。 参考答案: 1、C;2、C;3、x(x+1);4、相等;

5.(1) f (0) ? f (0 ? 0) ? 0 ? f (0) ? 0 ? f (0) ? 0 f (1) ? f (1?1) ? f (1) ? f (1),? f (1) ? 0 (2) ? f (1) ? f [(?1) 2 ] ? ? f ( ?1) ? f ( ?1) ? 0 ? f (?1) ? 0, f (? x) ? f (?1? x) ? ? f ( x) ? f (?1) ? ? f ( x) ? f ( x)为奇函数.
课堂练习:教材第 49 页 练习 A、第 50 页 练习 B 小结:本节课学习了那些内容? 请同学们自己总结一下。 课后作业:第 52 页 习题 2-1A 第 6、7 题


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