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第二章平面向量质量检测(一)


第二章平面向量教学质量检测
一.选择题:

1.以下说法错误的是(

) B.零向量与单位向量的模不相等 D.平行向量一定是共线向量 ) B. (AD +MB)+(BC +CM ); D. O C -O A +CD ; )

A.零向量与任一非零向量平行 C.平行向量方向相同 2.下列四式不能化简为 AD 的是

( A. (AB +CD )+BC ; C. MB +AD -BM ;

3.已知 a =(3,4), b =(5,12), a 与 b 则夹角的余弦为( A.

63 65

B. 65

C.

13 5

D. 13

4. 已知 a、b 均为单位向量,它们的夹角为 60° ,那么|a+ 3b| =( A. 7 B. 10
? ??

) D.4

C. 13
?

5.已知 ABCDEF 是正六边形,且 AB = a , AE = b ,则 BC =( (A)
? ?

? ??

?

? ??



1 2

( a ? b ) (B)

?

?

1 2

( b ? a ) (C) a + 1 2 b (D)
? ?

?

?

?

?

1 2

(a ? b)
? ??

?

?

6.设 a , b 为不共线向量, AB = a +2 b , BC =-4 a - b , CD = -5 a -3 b ,则下列关系式中正确的是 (A) AD = BC (B) AD =2 BC
? ?
? ??
? ?

? ??

? ??

?

?



) (C) AD =- BC (D) AD =-2 BC
? ? ?
? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

7.设 e1 与 e2 是不共线的非零向量,且 k e1 + e2 与 e1 +k e2 共线,则 k 的值是( (A) 1 (B) -1
? ??

?



(C) ? 1
? ?? ? ??

(D) 任意不为零的实数
? ??

8.在四边形 ABCD 中, AB = DC ,且 AC · BD =0,则四边形 ABCD 是( (A) 矩形 (B) 菱形 (C) 直角梯形 (D) 等腰梯形



1

9.已知 M(-2,7) 、N(10,-2) ,点 P 是线段 MN 上的点,且 PN =-2 PM ,则 P 点 的坐标为( )

? ??

? ??

(A) (-14,16) (B) (22,-11) (C) (6,1) (D) (2,4) 10.已知 a =(1,2) , b =(-2,3) ,且 k a + b 与 a -k b 垂直,则 k=( (A) ? 1 ? 2 (B)
? ? ? ? ? ?



2 ?1

(C)

2 ?3

(D) 3 ?

2


11、若平面向量 a ? (1, x) 和 b ? (2x ? 3, ? x) 互相平行,其中 x ? R .则 a ? b ? ( A.

?2 或 0;

B. 2 5 ;

C. 2 或 2 5 ;

D. 2 或 10 .

12、下面给出的关系式中正确的个数是( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ① 0 ? a ? 0 ② a ? b ? b ? a ③ a ? a ④ (a ? b )c ? a(b ? c ) ⑤ a ? b ? a ? b (A) 0
二. 填空题 13.若 AB ? (3,4), A点的坐标为(-2,-1),则B点的坐标为 14.已知 a ? (3, ?4), b ? (2,3) ,则 2 | a | ?3a ? b ? 15、已知向量 a ? 3, b ? (1,2) ,且 a . .

(B) 1

(C) 2

(D) 3

?

?

?

? ? ? b ,则 a 的坐标是_________________。

16、Δ ABC 中,A(1,2),B(3,1),重心 G(3,2),则 C 点坐标为________________。 17.如果向量 与 b 的夹角为θ ,那么我们称 ×b|=| ×b 为向量 与 b 的“向量积” , ×b

是一个向量,它的长度| ×b|=____________。

||b|sinθ ,如果|

|=4, |b|=3,

·b=-2,则|

三. 解答题

18、 (本题满分 14 分)设平面三点 A(1,0) ,B(0,1) ,C(2,5) . (1)试求向量 2 AB + AC 的模; (2)试求向量 AB 与 AC 的夹角;

2

(3)试求与 BC 垂直的单位向量的坐标.

19. (本题满分 12 分)已知向量

=

, 求向量 b,使|b|=2|

|,并且

与b的

夹角为



20. (本题满分 13 分)已知平面向量 a ? ( 3,?1), b ? ( , 和 t,使 x ? a ? (t 2 ? 3)b, y ? ?k a ? tb, 且x ? y. (1)试求函数关系式 k=f(t) (2)求使 f(t)>0 的 t 的取值范围.

1 3 ). 若存在不同时为零的实数 k 2 2

3

21. (本题满分 13 分)如图,

=(6,1),

,且



(1)求 x 与 y 间的关系; (2)若

,求 x 与 y 的值及四边形 ABCD 的面积。

22.(本题满分 12 分)已知点 A、B、C 的坐标分别为 A(3,0)、B(0,3)、C(cos α ,sin α ), ? π 3π ? α ∈? , ?. 2 ? ?2 → → (1)若|AC|=|BC|,求角 α 的值; → → 2sin2α +sin 2α (2)若AC·BC=-1,求 的值 1+tan α

4

参考答案
一、 选择题:1C、2C、3A、4C、5D、6B、7C、8B、9D、10A、11C、12C、

二. 填空题(5 分×5=25 分):

13 (1,3) 16 (5,3)

.14 17

28 15 ( 2 35

?6 5 5



3 5 5

)或(

6 5 5

?3 5 5




三. 解答题(65 分): 18、 (1)∵

AB =(0-1,1-0)=(-1,1) , AC =(2-1,5-0)=(1,5) .

∴ 2 AB + AC =2(-1,1)+(1,5)=(-1,7) . ∴ |2 AB + AC |= (2)∵ | AB |=

(?1) 2 ? 72 = 50 .

(?1) 2 ? 12 = 2 .| AC |= 12 ? 52 = 26 ,

AB · AC =(-1)×1+1×5=4.
4 2 13 = | AB | ? | AC | = 2 ? 26 = 13 .
AB ? AC



(3)设所求向量为 m =(x,y) ,则 x2+y2=1. ① 又

BC =(2-0,5-1)=(2,4) ,由 BC ⊥ m ,得 2 x +4 y =0. ②

? ? 2 5 2 5 ?x ? ?x ? - ? ? 5 5 ? ? 2 5 5 2 5 5 ?y ? ? 5 . ?y ? 5 . ? 5 或? 5 ? 由①、②,得 ? ∴ ( 5 ,- 5 )或(- 5 , 5 )即
为所求.

19 . 由 题 设 ,得

, 设 b= . ∴

, 则由 ,

5

解得 sinα =1 或



当 sinα =1 时,cosα =0;当 故所求的向量 或
2

时, 。



[(a ? t ? 3)b] ? (?k a ? tb) ? 0. 20.解: (1)? x ? y,? x ? y ? 0.即
2 2 1 ? a ? b ? 0, a ? 4, b ? 1,? ?4k ? t (t 2 ? 3) ? 0,即k ? t (t 2 ? 3). 4

1 2 t (t ? 3) ? 0,即t (t ? 3) ? (t ? 3)0, 则 ? 3 ? t ? 0或t ? 3. (2)由 f(t)>0,得 4
21.(1)∵
∴ 由 (2) 由

, ,得 x(y-2)=y(4+x), x+2y=0.
=(6+x, 1+y), 。

∵ ∴当

, ∴(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0, 又 x+2y=0, 时, 时, 同向, , 。





当 故

22. 【解】 (1)由 (a ? tb) ?| b | t ? 2a ? bt? | a |
2 2 2

2

当t ? ?

2a ? b |a| ?? cos? (?是a与b的夹角) 时 a+tb(t∈R)的模取最小值 2 |b| 2|b|
|a| |b|

(2)当 a、b 共线同向时,则 ? ? 0 ,此时 t ? ?

∴ b ? (a ? tb) ? b ? a ? tb ? b ? a? | a || b |?| b || a | ? | a || b |? 0
2

∴b⊥(a+tb)
6

7


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