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2015新课标全国卷1(理)


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2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国卷Ⅰ)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 2 至 6 页。

第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题。 1+z (1)设复数 z 满足 =i,则|z|= 1? z (A)1 (B) 2

? ? (2) sin 20 cos10 ? cos160? sin 10? ? (A) ?

(C) 3

(D)2

3 3 1 1 (B) (C) ? (D) 2 2 2 2 n 2 (3)设命题 P: ? n ? N, n > 2 ,则 ? P 为 (A) ? n ? N, n2 > 2n (B) ? n ? N, n2 ≤ 2n (C) ? n ? N, n2 ≤ 2n (D) ? n ? N, n2 = 2n

(4)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中 的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312 x2 (5)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: ? y 2 ? 1 上的一点,F1、F2 是 C 上的两个焦点, 2
? ????? ? ????? 若 MF 1 ? MF 2 <0,则 y0 的取值范围是

3 3 3 3 2 2 2 2 2 3 2 3 , ) (B) (, ) (C ) (? , ) (D) (? , ) 3 3 3 3 3 3 6 6 (6) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题 :“今有委米依 垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图, 米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为 8 尺,米 堆的高为 5 尺, 问米堆的体积和堆放的米各为多少?” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺, 圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有 A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛
(A)((7)设 D 为 ABC 所在平面内一点 BC ? 3 BC ,则 ? ? 1 ? 4 ? 1 ? 4 ? (A) AD ? ? AB ? AC (B) AD ? AB ? AC 3 3 3 3
4 ? 1 ? AB ? AC 3 3 (8)函数 f(x)= 的单调递减区间为 1 3 (A) (k? ? , k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (C) (k ? , k ? ), k ? Z 4 4
? ?

(C) AD ?

?

4 ? 1 ? AB ? AC 3 3 的部分图像如图所示, 则f (x)

(D) AD ?

?

1 3 (B) (2k? ? ,2k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (D) (2k ? ,2k ? ), k ? Z 4 4
-1-

(9)执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n= (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 5 2 2 5 (10) (x ? x ? y)的展开式中, x y 的系数为
(A)10 (B)20 (C)30 (D)60

(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球 (半径为 r)组成一个 几何体, 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。 若该几 ? 何体的表面积为 16 + 20 ,则 r=
(A)1 (C)4 (B)2 (D)8

12.设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a 1,若存在唯一的整数 x0,使得 f(x0) 0,则 a 的取值范围是( ) ? 3 ? 3 3? ? 3 3? ?3 A. ?? ,1? B. ?? , ? C. ? , ? D. ? ,1? ? 2e ? 2e 4 ? ? 2e 4 ? ? 2e

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个试题考生都必 须作答。第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分 (13)若函数 f ( x) ? x ln(x ? a ? x 2 ) 为偶函数,则 a=

x2 y2 ? ? 1 的三个顶点, 且圆心在 x 轴上, 则该圆的标准方程为 16 4 ?x ?1 ? 0 x ? (15)若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 则 的最大值为 . y ?x ? y ? 4 ? 0 ?
(14) 一个圆经过椭圆 (16) 在平面四边形 ABCD 中, ∠A=∠B=∠C=75°, BC=2, 则 AB 的取值范围是 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0, an ? 2an ? 4Sn ? 3 (Ⅰ)求{an}的通项公式, 1 (Ⅱ)设 b n ? ,求数列 ?bn ?}的前 n 项和。 a n a n?1



.

-2-

(18)如图, ,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC。 (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值

(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元) 对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 x1 和 年销售量 y1(i=1,2, · · · ,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值。

? x

? ? y

?? w

?
x ?1

1

(x1- x )2

?

?
x ?1

1

(w1- w )2

??

?

1

( x1- x ) (y-

?

x ?1 ? ? y)

?
x ?1

1

(w1- w )

??

46.6

56.3

6.8


289.8

1.6

1469

(y- y ) 108.8

? ?

表中 w1 = x 1,

?? 1 w = 8

? w1
x ?1

1

(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。根据(Ⅱ)的结果回答下列 问题: (i) 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii) 年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)??.. (un vn),其回归线 v= ? ? ? u 的斜率 和截距的最小二乘估计分别为:

-3-

(20) (本小题满分 12 分)

x2 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C:y= 与直线 y=ks+a(a>0)交与 M,N 两点, 4 (Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 K 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由。

(21) (本小题满分 12 分) 1 已知函数 f(x)= x 3 ? ax ? , g ( x) ? ? ln x 4 (Ⅰ)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线; (Ⅱ)用 min

?m, n?

表示 m,n 中的最小值,设函数 h( x) ? min ? f ( x), g ( x)

? ( x ? 0)

,讨

论 h(x)零点的个数

-4-

请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多 做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂 黑。 (22) (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉C 的 Q 切线,BC 交☉O 于 E (1)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是 O 的切线; (2)若 OA= 3 CE,求∠ACB 的大小.

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 ? O? 中。 直线 C1 : ? = ? 2, 圆 C2 : ? ? ? 1? ? ? ? ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极点,
2 2

? 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(I) (II) 求 C1 , C2 的极坐标方程; 若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 求 ?C2 MN 的面积

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N

,

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 =|x+1|-2|x-a|,a>0.

(Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围

-5-

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 I)

理科数学答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 答案 A D C A A B A D C C B D 【部分试题解析】

1 ,故选 D. 2 2 4. 【解析】 根据独立重复试验公式得, 该同学通过测试的概率为 C3 0.62 ? 0.4 ? 0.63 =0.648 ,故选 A. ???? ? ???? ? x2 2 5. 【解析】由题知 F1 ? 3,0 , F2 3,0 且 0 ? y0 ? 1 ,所以 MF1 ? MF2 ? ? 3 ? x0 , ? y0 ? 2 3 3 2 2 2 3 ? x0 , ? y0 ? x0 ? y0 ? 3 ? 3 y0 ? 1 ? 0 ,解得 ? ,故选 A. ? y0 ? 3 3 1 16 6. 【解析】设圆锥底面半径为 r ,则 ? 2 ? 3r ? 8 ,得 r ? 。所以米堆的体积为 4 3 2 320 1 1 320 ? 16 ? ? 1.62 ? 22 ,故选 B. ,故堆放的米约为 ? ? 3? ? ? ? 5 ? 9 4 3 9 ?3?
2. 【解析】原式 ? sin 20? cos10? ? cos 20? sin10? ? sin 30? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

x 12. 【解析】 设 g ( x) ? e (2 x ?1) ,y ? ax ? a , 由题知存在唯一的整数 x0 , 使得 g ( x0 ) 在直线 y ? ax ? a

的下方. 因为 g?( x) ? e (2 x ? 1) , 所以当 x ? ?
x
? 1

1 1 1 时,g ?( x) ? 0 , 当 x ? ? 时,g ?( x) ? 0 ; 当x ?? 2 2 2 3 ? a ? 1 ,故选 D. 2e
16.

时, ? g ( x)?max ? ?2e 2 .当 x ? 0 时, g (0) ? ?1 , g (1) ? 3e ? 0 ,直线 y ? ax ? a 恒过点 ?1,0 ? 且斜 率为 a ,故 ?a ? g (0) ? ?1 ,且 g (?1) ? ?3e ? ?a ? a ,解得 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
2

?1

3? 25 ? 13. 1 14. ? x ? ? ? y 2 ? 2? 4 ? 6 ? 2, 6 ? 2

15. 3

?

?

三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)解: (Ⅰ)由 an 2 ? 2an ? 4Sn ? 3 ,可知 an?12 ? 2an?1 ? 4Sn?1 ? 3 . 可得 an?12 ? an2 ? 2 ? an?1 ? an ? ? 4an?1 ,即 2 ? an?1 ? an ? ? an?12 ? an 2 ? ? an?1 ? an ?? an?1 ? an ?
2 由于 an ? 0 ,可得 an?1 ? an ? 2 .又 a1 ? 2a1 ? 4a1 ? 3 ,解得 a1 ? ?1 (舍去) , a1 ? 3

所以 ?an ? 是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an ? 2n ? 1. (Ⅱ)由 an ? 2n ? 1可知, bn ?

??6 分

设数列 ?bn? 的前 n 项和为 Tn ,则

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?. an an?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? n ? 1 . ? ? 12 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2 ?? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2n ? 1 2n ? 3 ? ? 3(2n ? 3)


-6-

18. (本小题满分 12 分)解: (Ⅰ)连接 BD ,设 BD ? AC ? G ,连接 EG , FG , EF . 在菱形 ABCD 中,不妨设 GB ? 1 , 由 ?ABC ? 120? ,可得 AG ? GC ? 3 . 由 BE ? 平面ABCD , AB ? BC ,可知 AE ? EC . 又 AE ? EC ,所以 EG ? 3 ,且 EG ? AC . 在 Rt?EBG 中, 可得 BE ? 2 , 故 DF ? 可得 FG ?

2 . 在 Rt?FDG 中, 2

6 . 2

3 2 2 ,可得 EF ? . 2 2 2 2 2 从而 EG ? FG ? EF ,所以 EG ? FG ,又 AC ? FG ? G ,可得 EG ? 平面AFC . 因为 EG ? 平面AEC ,所以 平面AEC ? 平面AFC . ??6
在直角梯形 BDFE 中,由 BD ? 2 , BE ? 2 , DF ? 分 (Ⅱ)如图,以 G 为坐标原点,分别以 GB , GC 方向为 x 轴, y 轴正方向, GB 为单位长,建立 空 间 直 角 坐 标 系 G ? xyz . 由 ( Ⅰ ) 可 得 A 0, ? 3,0 , E 1,0, 2 , F ? ?1,0, ?

??? ?

??? ?

??? ?

?

?

?

?

? ?

2? ?, 2 ? ?

??? ? ? 2? ? 1, ? 3, C 0, 3,0 .所以 AE ? 1, 3, 2 , CF ? ? ?. ? 2 ? ? ?

?

?

?

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AE ? CF 3 3 故 cos AE , CF ? ??? ,所以直线 AE 与直线 CF 所成角余弦值为 ? . ??12 ? ??? ? ?? 3 3 AE CF

??10 分

?

?

分 19. (本小题满分 12 分)解: (Ⅰ)由散点图可以判断, y ? c ? d x 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型.??2 分

?? (Ⅱ)令 w ? x ,先建立 y 关于 w 的线性回归方程.由于 d

? ? w ? w?? y ? y ?
8 i ?1 i i

? ? w ? w?
8 i ?1 i

2

?

108.8 ? 68 , 1.6

? ? y ? dw ? ? 563 ? 68? 6.8 ? 100.6 ,所以 y 关于 w 的线性回归方程为 ? c y ? 100.6 ? 68w , 因此 y 关于 w 的线性回归方程为 ? ?? y ? 100.6 ? 68 x .
6分 (Ⅲ) (ⅰ)由(Ⅱ)知,当 x ? 49 时,年销售量 y 的预报值 ? y ? 100.6 ? 68 49 ? 576.6 ,

? ? 0.2 ? 576.6 ? 49 ? 66.32 . 年利润 z 的预报值 z

? ? 0.2 ? 100.6 ? 68 x ? x ? ? x ? 13.6 x ? 20.12 . (ⅱ) 根据 (Ⅱ) 的结果知, 年利润 z 的预报值 z
所以当 x ?

?

?

??9 分

13.6 ? 取得最大值. ? 6.8 ,即 x ? 46.24 时, z 2
? ? 12

故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大. 分

-7-

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 由题设可得 M 2 a , a , 或 M ?2 a , a , N ?2 a , a , N 2 a,a . 又 y? ?

?

? ?

?

?

? ?

?

x x ,故 y ? 在 x ? 2 a 处 的 导 数 值 为 a , C 在 点 ?2 a , a 处 的 切 线 方 程 为 2 4 y ? a ? a x ? 2 a , 即 a x? y? a? 0 . 故 所 求 切 线 方 程 为 ax ? y ? a ? 0 和

2

?

?

?

?

ax ? y ? a ? 0 .
??5 分 (Ⅱ)存在符合题意的点.证明如下: 设 P ? 0, b? 为符合题意的点, M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,直线 PM , PN 的斜率分别为 k1 , k2 . 将 y ? kx ? a 代入 C 的方程得 x 2 ? 4kx ? 4a ? 0 .故 x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4a . 从而 k1 ? k2 ?

y1 ? b y2 ? b 2kx1x2 ? ? a ? b ?? x1 ? x2 ? k ? a ? b ? . ? ? ? x1 x2 x1x2 a 当 b ? ? a 时, 有 k1 ? k2 ? 0 , 则直线 PM 的倾角与直线 PN 的倾角互补, 故 ?OPM ? ?OPN ,
所以点 P ? 0, ?a ? 符合题意. ?? 12 分 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 设曲线 y ? f ( x) 与 x 轴相切于点 ? x0 ,0? , 则 f ( x0 ) ? 0 ,f ?( x0 ) ? 0 , 代入可解得 x0 ?

1 3 3 , a ? ? .因此,当 a ? ? 时, x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线. 2 4 4

??

5分 (Ⅱ)当 x ? ?1, ?? ? 时, g ( x) ? ? ln x ? 0 ,从而 h( x) ? min ? f ( x), g ( x)? ? g ( x) ? 0 ,故 h( x) 在

?1, ??? 无零点.
5 5 ( ) ?a? 0 ? ,h(1) ? min ? f (1), g(1)? ? g(1) ? 0 , , 则 f1 故 x ? 1 是 h( x ) 4 4 5 5 1 ) ?a? ? 0 .h(1) ? min ? f (1), g(1)? ? f (1) ? 0 , 的零点; 若a ? ? , 则 f( 故 x ? 1 不是 h( x) 4 4
当 x ? 1 时, 若a ? ? 的零点. 当 x ? ? 0,1? 时, g ( x) ? ? ln x ? 0 ,所以只需考虑 f ( x ) 在 ? 0,1? 的零点个数. (ⅰ) 若 a ? ?3 或 a ? 0 , 则f x) ? 3x ? ?(
2

1 故 f ( x ) 在 ? 0,1? 单调. 而 f (0) ? , a? 在 ? 0,1? 无零点, 4

5 f (1) ? a ? , 所以当 a ? ?3 时, f ( x ) 在 ? 0,1? 有一个零点; 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 ? 0,1? 无零点. 4 ? ? a? a ? (ⅱ)若 ?3 ? a ? 0 ,则 f ( x ) 在 ? 0, ? ? 单调递减,在 ? ? ,1? 单调递增,故在 ? 0,1? 中, ? ? 3? 3 ? ? ? ? ? ? ? a ? 2a a 1 a a? ? ? 当 x ? ? 时, f ( x ) 取得最小值,最小值为 f ? ? ? ? .①若 f ? ? ? ? 0 , ? ? 3? 3 4 3? 3 ? ? 3 ? ? ? 3 3 a? 即 ? ? a ? 0 , f ( x ) 在 ? 0,1? 无零点.②若 f ? ? ? ? 0 ,即 a ? ? , f ( x ) 在 ? 0,1? 有唯一 ? ? 4 4 3? ? ? 3 1 5 5 3 a? 零点.③ f ? ? ? ? 0 ,即 ?3 ? a?? ,由于 f (0) ? , f (1) ? a ? ,所以当 ? ? a ? ? ? ? 4 4 4 4 4 3? ?

-8-

5 时, f ( x ) 在 ? 0,1? 有一个零点. 4 3 5 3 5 综上,当 a ? ? 或 a ? ? 时, h( x) 有一个零点;当 a ? ? 或 a ? ? 时, h( x) 有两个零点; 4 4 4 4 3 5 当 a ? ? 或 a ? ? 时, h( x) 有三个零点. ??12 4 4
时, f ( x ) 在 ? 0,1? 有两个零点;当 ?3 ? a ? ? 分 22. (本小题满分 10 分)解: (Ⅰ)连接 AE ,由已知得 AE ? BC , AC ? AB . 在 Rt?AEC 中由已知得 DE ? DC ,故 ?DEC ? ?DCE . 连接 OE ,则 ?OEB ? ?OBE .又 ?ACB ? ?ABC ? 90? , 所以 ?DEC ? ?OEB ? 90? ,故 ?OED ? 90? , DE 是 ? O 的切线.??5 分 (Ⅱ)设 CE ? 1 , AE ? x ,由已知得 AB ? 2 3 , BE ? 12 ? x2 . 由 射 影 定 理 , AE ? CE ?BE , 所 以 x2 ? 12 ? x2 , 解 得 x ? 3 , 所 以 ?ACB ? 60? .??10 分 23. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ) 因为 x ? ? cos? , 所以 C1 的极坐标方程为 ? cos? ? ?2 , y ? ? sin ? ,
2

??5 分 C2 的极坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin? ? 4 ? 0 . ? (Ⅱ)将 ? ? 代入 ? 2 ? 2 ? cos? ? 4? sin ,得 ? 2 ? 3 2? ? 4? 0 ,解得 ?1 ? 2 2 , ?? 4 ? 0 4 ?2 ? 2 . 1 故 ?1 ? ?2 ? 2 ,即 MN ? 2 .由 C2 半径为 1,所以 ?C2 MN 的面积为 . ? ? 10 2 分 24. (本小题满分 10 分)解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 1 化为 x ? 1 ? 2 x ?1 ?1 ? 0 .

2 ? x ? 1; 3 ?2 ? 当 x ? 1 时,不等式化为 ? x ? 2 ? 0 ,解得 1 ? x ? 2 .所以 f ( x) ? 1 解集为 x ? ? , 2 ? .??5 分 ?3 ? ? x ? 1 ? 2a, x ? 1 ? (Ⅱ) 由题设可得 f ( x ) ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a , 所以函数 f ( x ) 的图像与 x 轴围成的三角形的三个 ? ? x ? 1 ? 2a, x ? a ?
当 x ? ?1 , 不等式化为 x ? 4 ? 0 , 无解; 当 ?1 ? x ? 1 时, 不等式化为 3 x ? 2 ? 0 , 解得 顶点分别为 A ? 由题设得 分

2 2 ? 2a ? 1 ? ,0 ? , B ? 2a ? 1,0? , C ? a, a ? 1? , ?ABC 的面积为 ? a ? 1? . 3 ? 3 ?
? ? 10

2 2 ? a ? 1? ? 6 ,故 a ? 2 .所以 a 的取值范围为 ? 2, ??? . 3

-9-


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