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第二章从力做的功到向量的数量积教案北师大版必修4


《从力做的功到向量的数量积》教学设计 亳州一中南校 ●教学目标 1.通过实例,正确理解平面向量的数量积的概念,能够运用这 一概念求两个向量的数量积,并能根据条件逆用等式求向量的夹角; 2.掌握平面向量的数量积的 5 个重要性质,并能运用这些性质 解决有关问题; 3.通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明,培养学生的 探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力; 4.通过平面向量的数量积的概念,几何意义,性质的应用,培 养学生的应用意识. ●教学重点 平面向量的数量积概念、性质及其应用 ●教学难点 平面向量的数量积的概念,平面向量的数量积的重要性质的理解 ●教学方法 启发引导式 启发学生在理解力的做功运算的基础上,逐步理解夹角、射影及向量 的数量积等概念,并掌握向量的 5 个重要性质。 ●教具准备 多媒体辅助教学
●教学过程

丁克红

1

教学环节

教学程序 通过前面的学习,我们知道两个向量可以

教学设想 创设问题情境,

进行加减法运算,两个向量之间能进行乘
创设情境

激发学生的学 法运算吗?找找物理学中有没有两个向量 习欲望和要求。 之间的有关乘法运算? 在物理学中,力 F 对物体做的功为 通过对力做功
W ?| F || s | cos ? ,功 W 可以看成是向量 F、s

的分析引出两
新课引入

的某种运算有关,而这个运算结果的正负 个向量的夹角, 与这两个向量的夹角有关。从而引出两个 过渡比较自然。 向量的夹角的概念。 1、给出两个向量的夹角的概念,并让学生 通过提问,让学

探 究 问 题

通过观察发现两个向量的起点时,有向线 生在思考问题 段所夹的角才为两个向量的夹角。并让学 的过程中,不要 生讨论两个向量的夹角的范围
0? ? ? ? 180? ,要求学生解释为什么在这个

忽略对特殊的 情况的讨论。培

范围。进一步提问学生,如果夹角 ? ? 0? 、 养学生严谨的
师 生 互 动

90 ? 及 180? 时,两向量的位置关系如何?

学习态度。

2、练习:在 ?ABC 中已知 A=45°,B=50°, 及时巩固所学 C=85° 求下列向量的夹角:
??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ?

知识,使学生能 正确理解两个

(1) AB与AC (2) AB与BC (3) AC与BC 的 向量所成的角 夹角。 的概念。
2

3、 (1)射影的概念
? ? ? b cos ? 叫作向量 b 在 a 方向上的射影。

因为射影是新 概念,所以直接

并提问:射影是向量还是数量? 给出如下六个图形,让学生指出 b 在 a 方向上的射影,并判断其正负。
B B B

?

?

给出射影的概 念,然后通过提 问及练习,帮助

? b

? b

?
O 探 究 问 题

?
? B1 a A

B1 O

? a A

? ? A O( B1 ) a 是一个数量而
O A

学生理解射影

O

A

B

B

不是向量,其正 负由这两个向

4、两向量数量积的定义:

? ? ? ? ? ? ? ? a与b是非零向量, a ? b ? a b cos ? , 规定:0 ? a ? 0 。 量的夹角来确

提醒学生注意: a ? b 不能写成 a ? b 或 ab 的
师 生 互 动

? ?

? ?

??



形式。 提问学生:两个向量的和与差是向量还是 另外,通过对特 数量?向量的数量积呢?若是数量,其正 殊的情况的讨 负如何确定? 当 ? 为锐角时, a ? b ? a b cos ? >0 当 ? 为钝角时, a ? b ? a b cos ? <0 当 ? ? 90? 时, a ? b ? a b cos ? =0 当 ? ? 0? 时, a ? b ? a b 当 ? ? 180? 时, a ? b ? ? a b
3

论,养学生严谨
? ? ? ? ? ? ? ?

的学习态度。

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

(2)两个向量数量积的几何意义:b 与 a 的 直接给出向量 数量积等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上 的投影 b cos ? 的乘积或 b 的长度 b 与 a 在 b 的方向上的投影 a cos ?
? ?

?

?

?

?

?

?

数量积的定义, 通过提问,比较 向量和与差的

?

?

?

?

(3)向量数量积的物理意义:力 F 与其作 运算,理解向量 用下物体位移 s 的数量积 F ? s 5、向量数量积的性质 的数量积是数 量而不是向量,

练习二, 请完成下列练习, 并通过观察, 其和由向量的 看看自己能否发现向量数量积的性质。
探 究 问 题

夹角确定。

(1)已知 a ? 8 ,e 为单位向量,当它们 的夹角为时 ,求 a 在 e 方向上的投影及
? ? ? ? a ? e、e ? a

?

?

? 3

?

?

性质为: (2)已知 a ? 2 , b ? 3 , a 与 b 的交角为
师 生 互 动

?

?

?

?

学习了投影的 概念及及与力 对物体做功的 比较,向量数量 积的几何意义 与物理意义就 比较容易理解 了。

? ? ? ? 90? ,则 a ? b ?

性质为:
? ? ? ? ? ? (3)若 a ? 1, b ? 3 ,a 、b 共线,则 a ? b ?

性质为:
?? ? ? ? ? (4)已知 m ? 3 , n ? 4 ,且 m ? n ? 6 ,则 m

与 n 的夹角为 性质为:

?

4

因此,平面向量数量积的 5 个性质为:
? ? ? ? ? ? (1)e是单位向量, a ? e ? e ? a ? a cos ?

鼓励学生大胆 猜想,表达自己 的观点和见解, 培养学生的探

? ? ? ? (2)? ? 90? ? a ? b ? a ? b ? 0
? ? ? ? ? ? (3)a // b ? a ? b ? ? a b

* 特别地:a ? a ? a 或 a ? a 2 * ? 4?
? ? a ?b cos ? ? ? ? a b

? ?

?2

?

?

索精神和严谨 的科学态度以 及实际动手能 力。

? ? ? ? ? ? (5) a ? b ? a b (当且仅当a // b时等号成立)

6、演练反馈:判断下列各题是否正确。
? ? ? ? ? (1)若a ? 0, 则对任一向量b, 有a ? b ? 0

性质总结归纳, 让学生特别注 意打*的性质, 因为在后面的 学习中,这几个 性质用的较多。 这部分先由学 生叙述,教师进

? ? ? ? ? ? (2)a ? 0, a ? b ? 0, 则b ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? (3)a ? 0, a ? b ? b ? c, 则a ? c
? ? ? ? ? ? (4) a ? b ? a b ? a // b

7、教师引导学生从知识、思想方法和研究 行补充整理,一 问题的方法等方面对本节课所学知识进行 方面让学生再 总结: ①平面向量的数量积及其性质; ②理解数量积的运算是不同于实数运
反思归纳

次回顾本节课 的学习过程,另 一方面更是对

算的一种新的运算,注意它们的区别; 探索过程的再
5

③主要题型有:直接求数量积、求向量 认识,对数学思 的模、求两个向量的夹角、判断两向量 想方法的升华, 是否垂直及三角形的形状等。 ④体会分类讨论、数形结合的思想。 对思维的反思, 可为学生以后 解决问题提供 经验和教训。 一、 课后作业:
布 置 作 业

1、 课本 P95 习题 2-5,A 组 3、4、5 2、 已知 a ? 2sin15? , b ? 4cos15? ,p 和 q 的 巩固知识点 夹角是 30? ,则 a ? b =
? ?

?

?

??

?

教后反思:

6


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