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第三章 第五节 数列的综合应用(课时提能精练)


1.已知 a,b∈R+,A 为 a,b 的等差中项,正数 G 为 a,b 的等比中项,则 ab 与 AG 的大小关系是( B.ab≥AG A.ab=AG C.ab≤AG D.不能确定 a+b 【解析】 依题意 A= ,G= ab, 2 a+b ∴AG-ab= · ab-ab 2 a+b = ab - ab 2 = ab·

)

( (

)

a- b 2

)

2

≥0,

∴AG≥ab. 【答案】 C 2.某厂在 2000 年底制定生产计划,要使 2010 年底的总产量在原有的基础上翻两番,则年平均增长率为( ) 1 1 A.4 -1 B.2 10 10 1 1 C.4 -1 D.2 -1 11 11 【解析】 设年平均增长率为 x,原产值为 a, 1 1 则由题意得 a(1+x)10=4a,1+x=4 ,∴x=4 -1. 10 10 【答案】 A 3.某人为了观看 2010 年南非足球世界杯,从 2006 年起,每年的 5 月 1 日到银行存入 a 元的定期储蓄,若年利率为 p 且保 持不变,并约定每年到期,存款的本息均自动转为新的一年的定期,到 2010 年的 5 月 1 日将所有存款及利息全部取出,则可取 出钱(元)的总数为( ) A.a(1+p)4 B.a(1+p)5 a a 4 C. [(1+p) -(1+p)] D. [(1+p)5-(1+p)] p p 【解析】 依题意,可取出钱的总数为 a(1+p)4+a(1+p)3+a(1+p)2+a(1+p) (1+p)[1-(1+p)4] a =a· = [(1+p)5-(1+p)]. p 1-(1+p) 【答案】 D 1 4.(2010 年黄冈模拟)数列{an}中 an=3n-7(n∈N*),数列{bn}满足 b1= ,bn-1=27bn(n≥2 且 n∈N*),若 an+logk bn 为常数, 3 ) 则满足条件的 k 值( 1 A.唯一存在,且为 B.唯一存在,且为 3 3 C.存在且不唯一 D.不一定存在 【解析】 依题意, 1 - 1 1 - 1 - bn=b1· 27 n 1= · 3 3n 3= 3 3n 2, 3 1 - ∴an+logk bn=3n-7+logk 3 3n 2 1 =3n-7+(3n-2)logk 3 1 1 =(3+3logk )n-7-2logk , 3 3 若 an+logkbn 是常数, 1 则 3+3logk =0, 3 即 logk 3=1,∴k=3. 【答案】 B 5.(2010 年南宁模拟)2008 年春,我国南方部分地区遭受了罕见的特大冻灾.大雪无情人有情,柳州某中学组织学生在学校 开展募捐活动,第一天只有 10 人捐款,人均捐款 10 元,之后通过积极宣传,从第二天起,每天的捐款人数是前一天的 2 倍, 且当天人均捐款数比前一天多 5 元,则截止第 5 天(包括第 5 天)捐款总数将达到( ) A.4 800 元 B.8 000 元 C.9 600 元 D.11 200 元 【解析】 由题意知,5 天共捐款 10×10+(10×2)×(10+5)+(10×4)×(15+5)+(10×8)×(20+5)+(10×16)×(25+5)=8 000(元). 【答案】 B 1 6.△ABC 中,tan A 是以-4 为第三项,-1 为第七项的等差数列的公差,tan B 是以 为第三项,4 为第六项的等比数列的 2 公比,则该三角形的形状是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.以上均错 -1-(-4) 3 【解析】 由题意知:tan A= = >0. 4 7-3 4 3 tan B= =8,∴tanB=2>0,∴A、B 均为锐角. 1 2

( )

()

() ()

3 +2 4 11 又 tan(A+B)= =- <0, 3 2 1- ×2 4 ∴A+B 为钝角,即 C 为锐角. ∴△ABC 为锐角三角形. 【答案】 B 1 7.已知函数 f(x)=a·bx 的图象过点 A(2, ),B(3,1),若记 an=log2 f(n)(n∈N*),Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 Sn 的最小值是 2 ________. 【解析】 将 A、B 两点坐标代入 f(x)得 ?1=ab2 ?a=1 ?2 ? ,解得? 8 , ?

?b=2 ? 1 x ∴f(x)= ·2 , 8 1 - ∴f(n)= ·2n=2n 3, 8 ∴an=log2 f(n)=n-3. 令 an≤0,即 n-3≤0,n≤3. ∴数列前 3 项小于或等于零,故 S3 或 S2 最小. S3=a1+a2+a3=-2+(-1)+0=-3. 【答案】 -3 8.

?1=ab3 ?

如图,它满足:(1)第 n 行首尾两数均为 n;(2)图中的递推关系类似杨辉三角,则第 n(n≥2)行的第 2 个数是________. 【解析】 设第 n(n≥2)行的第 2 个数构成数列{an},则有 a3-a2=2,a4-a3=3,a5-a4=4,…,an-an-1=n-1, 2+n-1 相加得 an-a2=2+3+…+(n-1)= ×(n-2) 2 (n+1)(n-2) = , 2 (n+1)(n-2) n2-n+2 an=2+ = . 2 2 n2-n+2 【答案】 2 9.一种计算装置,有一数据入口 A 和一个运算出口 B,执行某种运算程序: 1 1 (1)当从 A 口输入自然数 1 时,从 B 口得到实数 ,记为 f(1)= ; 3 3 2(n-1)-1 (2)从 A 口输入自然数 n(n≥2)时,在 B 口得到的结果 f(n)是前一结果 f(n-1)的 倍,当从 A 口输入 3 时,从 B 口得 2(n-1)+3 1 到________;要想从 B 口得到 ,则应从 A 口输入自然数________. 2 303 2(n-1)-1 【解析】 由 f(n)=f(n-1)· (n≥2)得 2(n-1)+3 1 1 1 1 f(2)=f(1)· = × = , 5 3 5 15 3 1 3 1 f(3)=f(2)· = × = , 7 15 7 35 5 故 f(4)=f(3)· , 9 … 2(n-1)-1 . f(n)=f(n-1)· 2(n-1)+3 由上可得 1 3 5 2(n-1)-1 f(n)=f(1)· · · ·…· 579 2(n-1)+3 2n-7 2n-5 2n-3 1135 7 = · · · · ·…· · · 3 5 7 9 11 2n-3 2n-1 2n+1 1 = . (2n-1)(2n+1)

1 1 1 故令 = = . 2 303 (2n-1)(2n+1) 47×49 故 n=24. 1 【答案】 24 35 5 3 2 2 10.在圆 x +y =5x 内,过点( , )有 n(n∈N*)条弦,它们的长度构成等差数列,若 a1 为过该点最短弦的长,an 为过该点 2 2 1 1 最长弦的长,公差 d∈( , ),求 n 的值. 5 3 5 5 【解析】 由 x2+y2=5x,(x- )2+y2=( )2, 2 2 5 3 过点( , )的最长的弦为直径 5, 2 2 5 3 最短的弦为 2 ( )2-( )2=4, 2 2 则 a1=4,an=5, 公差 d 有:5=4+(n-1)·d, 1 ∴n= +1. d 1 1 1 ∵ <d< ,∴3< <5,则 4<n<6,故 n=5. 5 3 d 11.(2010 年广东六校联考)一辆邮政车自 A 城驶往 B 城,沿途有 n 个车站(包括起点站 A 和终点站 B),每停靠一站便要卸下 前面各站发往该站的邮袋各一个,同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个,设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成 一个有穷数列{ak}(k=1,2,3,…,n). 试求:(1)a1,a2,a3; (2)邮政车从第 k 站出发时,车内共有邮袋数多少个? (3)求数列{ak}的前 k 项和 Sk. 【解析】 (1)由题意得 a1=n-1, a2=(n-1)+(n-2)-1, a3=(n-1)+(n-2)+(n-3)-1-2. (2)在第 k 站出发时,放上的邮袋数共: (n-1)+(n-2)+…+(n-k)个, 而从第二站起,每站放下的邮袋数共: 1+2+3+…+(k-1)个, 故 ak=(n-1)+(n-2)+…+(n-k)-[1+2+…+(k-1)] 1 1 =kn- k(k+1)- k(k-1) 2 2 =kn-k2(k=1,2,…,n), 即邮政车从第 k 站出发时,车内共有邮袋数 kn-k2(k=1,2,…,n)个. (3)∵ak=kn-k2, ∴Sk=(n+2n+…+kn)-(12+22+…+k2) k(k+1)(2k+1) 1 = k(n+kn)- . 2 6 1 1 12.(2008 年青岛模拟)数列{an}的通项是关于 x 的不等式 x2-x<nx(n∈N*)的解集中整数的个数,f(n)= + +…+ an+1 an+2 1 . an+n (1)求数列{an}的通项公式; 1 2 (2)是否存在实数 a 使不等式 f(n)> loga(a-1)+ 对一切大于 1 的自然数 n 恒成立?若存在,试确定 a 的取值范围; 12 3 否则,说明理由. 【解析】 (1)原不等式的解集为{x|0<x<n+1,n∈N*},因此 an=n. 1 2 (2)假设存在实数 a 使 f(n)> loga(a-1)+ 对于一切 n>1 的自然数恒成立. 12 3 1 1 1 由于 f(n)= + +…+ an+1 an+2 an+n 1 1 1 = + +…+ (n≥2), 2n n+1 n+2 1 1 1 1 1 则 f(n+1)= + +…+ + + . 2n 2n+1 2n+2 n+2 n+3 两式相减得: 1 1 1 f(n+1)-f(n)= + - 2n+1 2n+2 n+1 1 1 1 > + - =0, 2n+2 2n+2 n+1 ∴f(n+1)>f(n). 1 1 7 7 1 2 ∴f(n)当 n≥2 且 n∈N*时是增函数,∴f(n)的最小值是 f(2)= + = .若假设成立,则有 > loga(a-1)+ ,即 2+1 2+2 12 12 12 3

?0<a<1 loga(a-1)<-1,∴? ?a-1>a-1

或?

?a>1 ?a-1<a-1

1+ 5 1+ 5 ,解得 1<a< .故存在实数 a 且取值范围是(1, ). 2 2


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