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高中数学 2.2.2对数函数及其性质(2)精讲精析 新人教A版必修1


课题:2.2.2 对数函数及其性质(2) 精讲部分
学习目标展示 (1)掌握对数函数的图象及性质(2)掌握对数函数的性质比较大小(3)掌握对数形式的 函数定义域、值域的求法 衔接性知识 1. 请 画 出 指 数 函 数 f ( x) ? log 且 a ? 1) 的 图象 并 , 说 明 这 些 图 象 过哪 个 定 a? 0 a x ( 点。 2. ①当 x ? 0

时, log2 x ②当 x ? 0 时, log1 x
2

0;当 x ? 0 时, log2 x
0;当 x ? 0 时, log1 x
2

0;
0.

基础知识工具箱 对数函数的图象和性质 函数名称 解析式 定义域 值域 指数函数

f ( x) ? log a x (a ? 0 且 a ? 1)
(0 , ? ?)
(?? , ? ?) ,

a ?1

0 ? a ?1

图象

奇偶性 单调性 性质 函数值分 布

对数函数是非奇非偶函数 在 (0 , ? ?) 上是增函数 在 (0 , ? ?) 上是减函数

? ? 0 ( x ? 1) ? log a x ? ? 0 ( x ? 1) ?? 1 (0 ? x ? 1) ?

?? 0 ( x ? 1) ? log a x ?? 0 ( x ? 1) ?? 0 (0 ? x ? 1) ?

典例精讲剖析 例 1. 比较下列各组数中两个值的大小:
1

(1) log2 3.4 , log2 3.8 ; (3) log a 5.1, log a 5.9 ( a ? 0 , a ? 1 ) ; (5) 0.32.1 , 2
0.31

(2) log05 1.8 , log05 2.1 ; (4) log7 5 , log6 7 ; (6) log 0.7 0.8 , log1.1 0.9 , 1.10.9

, log2 0.3 ;

解: (1)对数函数 y ? log2 x 在 (0 , ? ?) 上是增函数,且 3.4 ? 3.8 . 于是 log 2 3.4 ? log 2 3.8 . (2) 对数函数 y ? log 0.5 x 在 (0 , ? ?) 上是减函数, 且 1.8 ? 2.1 , 于是 log05 1.8 ? log05 2.1 . (3)当 a ? 1 时,对数函数 log a x 在 (0 , ? ?) 上是增函数,于是 log a 5.1 ? log a 5.9 ; 当 0 ? a ? 1 时,对数函数 log a x 在 (0 , ? ?) 上是减函数,于是 log a 5.1 ? log a 5.9 . (4)因为函数 log7 x 和函数 log6 x 都是在 (0 , ? ?) 上的增函数,所以 log7 5 ? log7 7 ? 1 ,

log6 7 ? log6 6 ? 1 ,所以 log7 5 ? log6 7 .
(5)? 0 ? 0.3
2.1

? 0.30 ? 1 , 20.31 ? 20 ? 1 , log2 0.3 ? log2 1 ? 0 ,

?log2 0.3 ? 0.32.1 ? 20.31 ,
( 6 ) ?0 ? log0.7 0.8 ? log0.7 0.7 ? 1 , log1.1 0.9 ? log1.1 1 ? 0 , 1.1
0.9

? 1.10 ? 1

?log1.1 0.9 ? log0.7 0.8 ? 1.10.9
例 2. 解下列不等式: ( 1 ) log3 (2 x ?1) ? log3 (5 ? 2 x) ( 2 ) log0.3 (3x ? 5) ? log0.3 (2 x ? 7)

1 ? ?x ? 2 ?2 x ? 1 ? 0 ? 5 3 5 ? ? ? ?x ? ? ? x ? 解: ( 1 )原不等式可化为 ?5 ? 2 x ? 0 2 2 2 ? ?2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ? 3 ? ?x ? 2 ?
所以,原不等式的解集为 (

3 5 , ) 2 2

2

5 ? ?x ? 2 ?3 x ? 5 ? 0 ? 7 5 ? ? ? ? x ? ? ? ? x ? 12 ( 2 )原不等式可化为 ? 2 x ? 7 ? 0 2 2 ?3 x ? 5 ? 2 x ? 7 ? ? ? x ? 12 ? ?
所以,原不等式的解集为 ( 例 3. 若 log a

5 , 12] 2

3 ? 1( a ? 0 , a ? 1) ,求实数 a 的取值范围 . 4 3 3 解: ? log a ? 1, ? log a ? log a a 4 4

?a ? 1 ? 当 a ? 1 时, ? 3 ? a ?1; a? ? ? 4 ?0 ? a ? 1 3 ? 0 ? a ? 1 ?0?a? . 当 时, ? 3 4 a? ? ? 4
从而 a ? 1 或 0 ? a ?

3 3 ,即实数 a 的取值范围 (0 , ) ? (1 , ? ?) 4 4

例 4. 已知函数 f ( x) ? log ,求函数 f ( x ) 的定义域与值域 ? x2 ? 8x ? 7) 3 (
2 2 解:由已知,得 ? x ? 8 x ? 7 ? 0 ? x ? 8 x ? 7 ? 0 ? ( x ? 1)(x ? 7)? 0

? x ?1 ? 0 ? x ?1 ? 0 ?x ? 1 ?x ? 1 ?1? x ? 7 或? 或? ?? ?? x ? 7 x ? 7 ? 0 x ? 7 ? 0 x ? 7 ? ? ? ?
所以函数 f ( x ) 的定义域为 (1 , 7)
2 2 2 设 t ? ? x ? 8x ? 7 ,则 t ? ? x ? 8x ? 7 ? ?( x ? 4) ? 9

?1 ? x ? 7 ,? 当 x ? 4 时, t 取得最大值 9 ,
即 0 ? t ? 9 ,?log3 t ? log3 9 ? 2 , f ( x) ? 2 ,所以函数 f ( x ) 的值域 (?? , 2]

精练部分
3

A 类试题(普通班用) 1. 设 a=log3π ,b=log2 3,c=log3 2,则( A.a>b>c [答案] A 1 lg3 lg 3 2 1 1 1 3= = = log23> log22= , lg2 lg2 2 2 2 B.a>c>b C.b>a>c ) D.b>c>a

[解析] a=log3π >log33=1,b=log2

1 1 又 log23< log24=1,c=log3 2 2

1 lg2 lg 2 2 1 1 1 2= = = ·log32< log33= ,∴a>b>c.. lg3 lg3 2 2 2

x 2. 已知集合 A ? ? y | y ? log2 x , x ? 1}, B ? { y | y ? ( ) , x ? 1} ,则 A ? B ? (

1 2

)

A. { y | 0 ? y ? } [答案] B [ 解 析

1 2

B. { y | y ? 0}

C. ?

D. R

]

A ? ? y | y ? log2 x , x ? 1} ? {y | y ? 0}



1 1 B ? { y | y ? ( ) x , x ? 1} ? {y | 0 ? y ? } 2 2
所以, A ? B ? { y | y ? 0} ,故选 B. 3. 函数 y ?

1 定义域为( log 0.5 (4 x ? 3)
B. (

)

A. ( , 1) [答案] A [解析]

3 4

3 , ? ?) 4

C. (1, ? ?)

D. (

3 , 1) ? (1 , ? ? ) 4 3 ? x ? 1. 4

log0.5 (4 x ? 3) ? 0 ? log0.5 1 ,∴ 0 ? 4 x ? 3 ? 1 ,∴

3 ? 1( a ? 0 , a ? 1 ) ,求实数 a 的取值范围 . 4 3 3 解: ? log a ? 1, ? log a ? log a a 4 4
4. 若 log a

?a ? 1 ? 当 a ? 1 时, ? 3 ,它无解; a? ? ? 4

4

?0 ? a ? 1 3 ? ? ? a ?1. 当 0 ? a ? 1 时, ? 3 4 a? ? ? 4
从而 a ? 1 或 0 ? a ?

3 3 ,即实数 a 的取值范围 ( , 1) 4 4

5. 已知 log0.7 (2m) ? log0.7 (m ?1) ,求 m 的取值范围 [解析] (1)考察函数 y ? log0.7 x ,它在 (0 , ? ?) 上是减函数. 因为 log0.7 (2 x) ? log0.7 (m ?1) ,所以 2m ? m ? 1 ? 0 .

? 2m ? 0 ? 由 ? m ? 1 ? 0 ,得 m ? 1 ,所以 m 的取值范围是 (1, ? ?) ? 2m ? m ? 1 ?
6. 判断函数 f ( x) ? log 2 解:由已知,得

1? x 的奇偶性 1? x

?1 ? x ? 0 ?1 ? x ? 0 1? x ?0?? 或? ,解得 ?1 ? x ? 1 1? x 1 ? x ? 0 1 ? x ? 0 ? ?

所以 f ( x ) 的定义域为 (?1 , 1) ,它关于原点对称

? f (? x) ? log 2

1? x 1 ? x ?1 1? x ? log 2 ( ) ? ? log 2 ,? f (? x) ? ? f ( x) 1? x 1? x 1? x

从而 f ( x ) 是奇函数 B 类试题(3+3+4) (尖子班用) 1. 设 a=log3π ,b=log2 3,c=log3 2,则( A.a>b>c [答案] A 1 lg3 lg 3 2 1 1 1 3= = = log23> log22= , lg2 lg2 2 2 2 B.a>c>b C.b>a>c ) D.b>c>a

[解析] a=log3π >log33=1,b=log2

1 lg2 1 1 lg 2 2 1 1 1 又 log23< log24=1,c=log3 2= = = ·log32< log33= ,∴a>b>c.. 2 2 lg3 lg3 2 2 2
x 2. 已知集合 A ? ? y | y ? log2 x , x ? 1}, B ? { y | y ? ( ) , x ? 1} ,则 A ? B ? (

1 2

)

5

A. { y | 0 ? y ? } [答案] B [ 解 析

1 2

B. { y | y ? 0}

C. ?

D. R

]

A ? ? y | y ? log2 x , x ? 1} ? {y | y ? 0}



1 1 B ? { y | y ? ( ) x , x ? 1} ? {y | 0 ? y ? } 2 2
所以, A ? B ? { y | y ? 0} ,故选 B. 3. 函数 y ?

1 定义域为( log 0.5 (4 x ? 3)
B. (

)

A. ( , 1) [答案] A [解析]

3 4

3 , ? ?) 4

C. (1, ? ?)

D. (

3 , 1) ? (1 , ? ? ) 4 3 ? x ? 1. 4

log0.5 (4 x ? 3) ? 0 ? log0.5 1 ,∴ 0 ? 4 x ? 3 ? 1 ,∴

4.函数 y ? log(2a?3) x 在在 (0 , ? ?) 上是减函数,则实数 a 的取值范围是________ [答案] ( , 2) [解析]由已知,得 0 ? 2a ? 3 ? 1 ,解得

3 2

3 3 ? a ? 2 ,所以实数 a 的取值范围是 ( , 2) 2 2

5.已知 log0.7 (2m) ? log0.7 (m ?1) ,则 m 的取值范围是________ [答案] (1, ? ?) [ 解 析 ] (1) 考 察 函 数 y ? log0.7 x , 它 在 ( 0 ? ,? 上 ) 是 减 函 数 . 因 为

l o 0g. 7 x( ? 2 )
围是 (1, ? ?)

? 2m ? 0 ? 所以 l m ( 2m 1? ) m ? 1 ? 0 .由 ? m ? 1 ? 0 得 m ? 1 ,所以 m 的取值范 0 o .? 7g , ? 2m ? m ? 1 ?

6.函数 y ? log 1 x , x ? (0 , 8] 的值域是
2

[答案] [?3 , ? ?) [解析] ? 0 ? x ? 8 , ,∴ y ? log 1 x ? log 1 8 ? ?3 ,即函数的值域是 [?3 , ? ?) .
2 2

6

3 ? 1( a ? 0 , a ? 1 ) ,求实数 a 的取值范围 . 4 3 3 解: ? log a ? 1, ? log a ? log a a 4 4
7. 若 log a

?a ? 1 ? 当 a ? 1 时, ? 3 ,它无解; a? ? ? 4 ?0 ? a ? 1 3 ? ? ? a ?1. 当 0 ? a ? 1 时, ? 3 4 a? ? ? 4
从而 a ? 1 或 0 ? a ?

3 3 ,即实数 a 的取值范围 ( , 1) 4 4

8.已知函数 f ( x) ? log 1 (?10 x 2 ? 20 x) ,求 f ( x ) 的定义域与值域
10

解:使解析式有意义,得 ?10x2 ? 20x ? 0,? x2 ? 2 x ? 0 , x( x ? 2) ? 0 从而 ?

?x ? 0 ?x ? 0 或? ,解得 0 ? x ? 2 ,所以 f ( x ) 的定义域 (0 , 2) ?x ? 2 ?x ? 2

2 设 t ? ?10 x ? 2 x ,则 t ? ?10x2 ? 2x ? ?10( x ?1)2 ? 10

? 0 ? x ? 2 ,? 当 x ? 1 时, t 取得最大值 10 ,即 0 ? t ? 10 ,所以 log 1 t ? log 1 10 ? ?1
10 10

从而 f ( x ) 的值域为 [? 1 , ? ? ) 9. 判断函数 f ( x) ? log 2 解:由已知,得

1? x 的奇偶性 1? x

?1 ? x ? 0 ?1 ? x ? 0 1? x ?0?? 或? ,解得 ?1 ? x ? 1 1? x ?1 ? x ? 0 ?1 ? x ? 0

所以 f ( x ) 的定义域为 (?1 , 1) ,它关于原点对称

? f (? x) ? log 2

1? x 1 ? x ?1 1? x ? log 2 ( ) ? ? log 2 ,? f (? x) ? ? f ( x) 1? x 1? x 1? x

从而 f ( x ) 是奇函数 10. 已知

1 ? x ? 100 ,求函数 y ? lg x ? (lg x ? 2) 的最大值与最小值 100
7

解:设 t ? lg x ,则

y ? t (t ? 2t ) ? t 2 ? 2t ? (t ?1)2 ?1
? 1 ? x ? 100 , ?? 2 ? lg x ? 2 ,即 ? 2 ? t ? 2 100
1 时, ymax ? 8 ; 100

所以当 t ? 1 ,即 x ? 10 时, ymin ? ?1;当 t ? ?2 ,即 x ? 故函数 y ? lg x ? (lg x ? 2) 的最大值为 8 ,最小值为 ?1

8


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