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圆锥曲线压轴题


1.如图,已知直线 L: x ? m y ? 1过椭圆C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F,且交椭圆 a2 b2

C 于 A、B 两点,点 A、B 在直线 G : x ? a 2 上的射影依次为点 D、E。 (1)若抛物线 x 2 ? 4 3 y 的焦点为椭圆 C 的上顶点,求椭圆 C 的方程; (2) (

理)连接 AE、BD,试探索当 m 变化时,直线 AE、BD 是否相交于一定点 N?若交于定 点 N,请求出 N 点的坐标,并给予证明;否则说明理由。

a2 ?1 ,0) 为 x 轴上一点,求证: AN ? ? NE (文)若 N ( 2

2.已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 8, 定点 A(1,0) ,M 为圆上一动点,点 P 在 AM 上,点 N 在 CM 上,且满足 AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0 ,点 N 的轨迹为曲线 E。 (1)求曲线 E 的方程; (2)若过定点 F(0,2)的直线交曲线 E 于不同的两点 G、H(点 G 在点 F、H 之间) ,且满 足 FG ? ? FH, 求? 的取值范围。

3.设椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,上顶点为 A,过点 A 作垂直于 AF 的直 a2 b2
y

线交椭圆 C 于另外一点 P,交 x 轴正半轴于点 Q, 且 ⑴求椭圆 C 的离心率; ⑵若过 A、Q、F 三点的圆恰好与直线

AP ?

8 PQ 5
F

A P O Q x

l: x ? 3 y ? 5 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程.

1

x2 y2 2 4.设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e= 2 a b
(1)椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2、A 是椭圆上的一点,且点 A 到此两焦点的距离之 和为 4,求椭圆的方程. (2)求 b 为何值时,过圆 x +y =t 上一点 M(2, 2 )处的切线交椭圆于 Q1、Q2 两点, 而且 OQ1⊥OQ2.
2 2 2

5.已知曲线 c 上任意一点 P 到两个定点 F1(- 3 ,0)和 F2( 3 ,0)的距离之和为 4. (1)求曲线 c 的方程; (2)设过(0,-2)的直线 l 与曲线 c 交于 C、D 两点,且 OC ? OD ? 0(O 为坐标原点) ,求直 线 l 的方程.

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左焦点为 F,左、右顶点分别为 A、C,上顶点为 B.过 F、 b2 B、C 作⊙ P,其中圆心 P 的坐标为(m,n) . (Ⅰ)当 m+n>0 时,求椭圆离心率的范围; (Ⅱ)直线 AB 与⊙ P 能否相切?证明你的结论.
6.已知椭圆 x2 ?

2

7.有如下结论:“圆 x 2 ? y 2 ? r 2 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程为 x0 y ? y0 y ? r 2 ”,类比 也 有 结 论 : “ 椭 圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0)上一点P( x0 , y 0 ) 处 的 切 线 方 程 为 a2 b2 x0 x y 0 y x2 ? y 2 ? 1 的右准线 l 上任意一点 M 引椭圆 C 的两条切线, ? ? 1 ” ,过椭圆 C : 2 2 4 a b

切点为 A、B. (1)求证:直线 AB 恒过一定点; (2)当点 M 在的纵坐标为 1 时,求△ ABM 的面积

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 有一个 a 2 b2 公共点 A(3,1) ,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切.

8.已知点 P(4,4) ,圆 C: ( x ? m)2 ? y 2 ? 5 (m ? 3) 与椭圆 E:

(Ⅰ)求 m 的值与椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求 AP ? AQ 的取值范围.

9.椭圆的对称中心在坐标原点,一个顶点为 A ( 0 , 2 ) ,右焦点 F 与点 B( 2 , 2) 的距离 为2 。 (1)求椭圆的方程; (2) 是否存在斜率 k ? 0 的直线 l : y ? kx ? 2 , 使直线 l 与椭圆相交于不同的两点 M , N 满足 | AM | ? | AN | ,若存在,求直线 l 的倾斜角 ? ;若不存在,说明理由。

3

10.椭圆方程为

x2 y2 6 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的一个顶点为 A ( 0 , 2 ) ,离心率 e ? 。 2 3 a b

(1)求椭圆的方程; ( 2 ) 直 线 l : y ? kx ? 2 (k ? 0) 与 椭 圆 相 交 于 不 同 的 两 点 M , N 满 足

MP ? PN , AP ? MN ? 0 ,求 k 。

y2 11.已知椭圆 x ? 2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左焦点为 F, 左右顶点分别为 A,C 上顶点为 B, 过 F,B,C b
2

三点作

P ,其中圆心 P 的坐标为 (m, n) .

(1) 若椭圆的离心率 e ? (2)若

3 ,求 P 的方程; 2

P 的圆心在直线 x ? y ? 0 上,求椭圆的方程.

4

12.已知直线 l : y ? x ? 1 与曲线 C : 坐标原点.

x2 y2 O为 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 交于不同的两点 A, B , a2 b2

(Ⅰ)若 | OA |?| OB | ,求证:曲线 C 是一个圆;

(Ⅱ)若 OA ? OB ,当 a ? b 且 a ? [

6 10 , ] 时,求曲线 C 的离心率 e 的取值范围. 2 2

x2 y2 ? 1 (a ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,A 是椭圆 C 上的一点,且 13.设椭圆 C : 2 ? a 2
1 AF2 ? F1F2 ? 0 ,坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 | OF1 | . 3
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 Q 是椭圆 C 上的一点,过 Q 的直线 l 交 x 轴于点 P( ?1 , 0) ,较 y 轴于点 M,若

MQ ? 2QP ,求直线 l 的方程.

5

14.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴的负半轴上,过其上一点 P( x0 , y0 )(x0 ? 0) 的 切线方程为 y ? y0 ? 2ax0 ( x ? x0 )(a 为常数). (I)求抛物线方程; (II)斜率为 k 1 的直线 PA 与抛物线的另一交点为 A,斜率为 k 2 的直线 PB 与抛物线的另 一交点为 B (A、 B 两点不同) , 且满足 k 2 ? ?k1 ? 0(? ? 0, ? ? ?1),若BM ? ? MA, 求证线段 PM 的中点在 y 轴上;

(III)在(II)的条件下,当 ? ? 1, k1 ? 0 时,若 P 的坐标为(1,-1) ,求∠ PAB 为钝角 时点 A 的纵坐标的取值范围.

15.已知动点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上,且满足|AB|=2,点 P 在线段 AB 上,且

AP ? t PB(t是不为零的常数 ). 设点 P 的轨迹方程为 c。
(1)求点 P 的轨迹方程 C; (2)若 t=2,点 M、N 是 C 上关于原点对称的两个动点(M、N 不在坐标轴上) ,点 Q 坐标为 ( ,3), 求△QMN 的面积 S 的最大值。

3 2

6

1.解: (1)易知 b ? 3 ?b 2 ? 3, 又F (1,0)

?c ? 1 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 4

? 椭圆C的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

(2)? F (1,0), k ? (a 2 ,0) 先探索,当 m=0 时,直线 L⊥ox 轴,则 ABED 为矩形,由 对称性知,AE 与 BD 相交于 FK 中点 N ,且 N (

a2 ?1 ,0) 2

猜想:当 m 变化时,AE 与 BD 相交于定点 N (

a2 ?1 ,0) 2

证明:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), E(a 2 , y2 ), D(a 2 , y1 ) ,当 m 变化时首先 AE 过定点 N

? x ? my ? 1 即(a 2 ? b 2 m 2 ) y 2 ? 2mb 2 y ? b 2 (1 ? a 2 ) ? 0....8分 ? 2 2 2 2 2 2 b x ? a y ? a b ? 0 ? ? ? 4a 2b 2 (a 2 ? m 2b 2 ? 1) ? 0 ( a ? 1) ? y1 ? y2 又K AN ? 2 , K EN ? a ?1 1 ? a2 ? my1 2 2 2 a ?1 ( y1 ? y2 ) ? my1 y2 2 而K AN ? K EN ? ?0 1 ? a2 a2 ?1 ( ? my1 ) 2 2 a2 ?1 (这是 ( y1 ? y2 ) ? my1 y2 2 a2 ?1 2mb 2 b 2 (1 ? a 2 ) ? ? (? 2 ) ? m? 2 2 a ? m 2b 2 a ? m 2b 2 (a 2 ? 1) ? (mb 2 ? mb 2 ) ? ? 0) a 2 ? m 2b 2
∴KAN=KEN ∴A、N、E 三点共线 同理可得 B、N、D 三点共线

∴AE 与 BD 相交于定点 N (

a2 ?1 ,0) 2

(文)解: (1)易知 b ? 3 ?b 2 ? 3, 又F (1,0)

?c ? 1 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 4

x2 y2 ? 椭圆C的方程为 ? ?1 4 3
(2)(文)? F (1,0), k ? (a ,0)
2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), E(a2 , y2 )

7

? x ? my ? 1 即(a 2 ? b 2 m2 ) y 2 ? 2mb 2 y ? b 2 (1 ? a 2 ) ? 0 ? 2 2 2 2 2 2 ?b x ? a y ? a b ? 0 ? ? 4a 2b 2 (a 2 ? m2b 2 ? 1) ? 0 ( a ? 1)

又K AN ?

而K AN

? y1 ? y2 , K EN ? a ?1 1 ? a2 ? my1 2 2 2 a ?1 ( y1 ? y2 ) ? my1 y2 2 ? K EN ? ?0 1 ? a2 a2 ?1 ( ? my1 ) 2 2
2

a2 ?1 (这是 ( y1 ? y2 ) ? my1 y2 2 a2 ?1 2mb 2 b 2 (1 ? a 2 ) ? ? (? 2 ) ? m ? 2 a ? m 2b 2 a 2 ? m 2b 2 (a 2 ? 1) ? (mb 2 ? mb 2 ) ? ? 0) a 2 ? m 2b 2
∴KAN=KEN ∴A、N、E 三点共线? AN ? ? NE ∴NP 为 AM 的垂直平分线, ∴|NA|=|NM|

2.解: (1)? AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0. 又? | CN | ? | NM |? 2 2 ,

? | CN | ? | AN |? 2 2 ? 2.

∴动点 N 的轨迹是以点 C(-1,0) ,A(1,0)为焦点的椭圆 且椭圆长轴长为 2a ? 2 2 , 焦距2c ? 2. ? a ?

2, c ? 1, b 2 ? 1.

x2 ? y 2 ? 1. ∴曲线 E 的方程为 2
(2) 当直线 GH 斜率存在时, 设直线 GH 方程为 y ? kx ? 2, 代入椭圆方程

x2 ? y 2 ? 1, 2

3 1 ? k 2 ) x 2 ? 4kx ? 3 ? 0. 由 ? ? 0得k 2 ? . 2 2 ? 4k 3 设 G( x1 , y1 ), H ( x2 , y 2 ),则x1 ? x2 ? , x1 x1 ? 1 1 ? k2 ? k2 2 2
得(

又? FH ? ? FH,

? ( x1 , y1 ? 2) ? ? ( x2 , y 2 ? 2)

2 ? x1 ? ?x2 , ? x1 ? x2 ? (1 ? ? ) x2 , x1 x2 ? ?x2

8

?(

x1 ? x 2 2 xx 2 ) ? x2 ? 1 2 1? ? ?

(

? 4k 2 3 ) ? , 1 1 2 2 ?k ?k 2 2 ? (1 ? ? ) 2
?k2 ? 3 , 2

整理得

16 (1 ? ? ) 2 ? 1 ? 3( 2 ? 1) 2k
1

?4 ?

16 16 ? . 3 3 ?3 2 2k
1 ? ? ? ? 1. 3

?4 ? ? ?

?

?2?

16 1 .解得 ? ? ? 3. 3 3

又? 0 ? ? ? 1,

又当直线 GH 斜率不存在,方程为 x ? 0, FG ?

1 1 FH , ? ? . 3 3

1 1 ? ? ? ? 1, 即所求 ? 的取值范围是 [ ,1) 3 3
3. 解:⑴设 Q(x0,0) ,由 F(-c,0) (0,b)知 FA ? (c, b), AQ ? ( x0 ,?b)

? FA ? AQ,? cx0 ? b 2 ? 0, x0 ?

b2 c

设 P ( x1 , y1 ),由AP ?

8b 2 5 8 , y1 ? b PQ ,得 x1 ? 13c 13 5

8b 2 2 5 ( ) ( b) 2 13c ? 13 ?1 因为点 P 在椭圆上,所以 a2 b2
整理得 2b =3ac,即 2(a -c )=3ac, 2e2 ? 3e ? 2 ? 0 ,故椭圆的离心率 e=
2 2 2

1 2

⑵ 由 ⑴ 知 2b 2 ? 3ac,得 Q ( a ,0 )

b2 3 ? a; c 2



1 c 1 1 , ? ,得c ? a , 于 是 F ( - a , 0 ) 2 a 2 2

3 2

1 | a ?5| 1 1 △AQF 的外接圆圆心为 ( a, 0) , 半径 r= |FQ|=a 所以 2 解得 a=2, ∴c=1, ?a, 2 2 2
b= 3 ,

所求椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3 x2 y2 ? ?1 4 2

4.(1)椭圆的方程为

(2)解: 过圆 x2 ? y 2 ? t 2 上的一点 M(2, 2 )处的切线方程为 2x+ 2 y-6=0. 令 Q1 ( x1,y1 ) , Q2 ( x2,y2 ) , 则 ? ?2 x ? 2 y ? 6 ? 0
? 2 2 2 ? ? x ? 2 y ? 2b

9

化为 5x -24x+36-2b =0, 由⊿>0 得: b ? 3

2

2

10 5

24 36 ? 2b 2 18 ? 4b 2 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , y1 y 2 ? 2 x1 x2 ? 6( x1 ? x2 ) ? 18 ? 5 5 5
由 OQ1 ? OQ2 知, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? 即 b=3∈( 3 10 ,+∞) ,故 b=3 5 5. 解: ( 1 )根据椭圆的定义,可知动点 M 的轨迹为椭圆,其中 a ? 2 , c ? 3 ,则
b2 ? 9 ,

b ? a2 ? c2 ? 1 .
所以动点 M 的轨迹方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) , ∵ OC ? OD ? 0 ,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . ∵ y1 ? kx1 ? 2 , y2 ? kx2 ? 2 , ∴ y1 y2 ? k 2 x1 ? x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 .∴ (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 .… ①

? x2 ? ? y 2 ? 1, 由方程组 ? 4 ? y ? kx ? 2. ?
x1 ? x2 ?

2 2 得 1 ? 4k x ? 16kx ? 12 ? 0 .则 x1 ? x2 ?

?

?

16k , 1 ? 4k 2

12 12 16k ? 2k ? ?4?0. ,代入①,得 ?1 ? k 2 ? ? 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2

即 k2 ? 4 , 解得,k ? 2 或 k ? ?2 . 所以, 直线 l 的方程是 y ? 2 x ? 2 或 y ? ?2 x ? 2 . 6. 解: (Ⅰ)设 F、B、C 的坐标分别为(-c,0) , (0,b) , (1,0) ,则 FC、BC 的中垂 线分别为
1? c ? x? , ? 1? c b 1 1 ? 2 , .联立方程组,解出 x? y ? ? (x ? ) ? 2 2 2 b 2 ?y ? b ? c. ? 2b ?

m?n ?

1 ? c b2 ? c (b-c)>0,∴ b>c. ? ? 0 ,即 b ? bc ? b 2 ? c ? 0 ,即(1+b) 2 2b
2 1 .又 e ? 0 ,∴ 0 ? e ? . 2 2

从而 b2 ? c 2 即有 a 2 ? 2c 2 ,∴ e2 ?

(Ⅱ)直线 AB 与⊙P 不能相切.由 k AB ? b , k PB

b2 ? c 2 2b = b ? c . ? 1? c b (c ? 1) 0? 2 b?

b2 ? c 如果直线 AB 与⊙P 相切,则 b · =-1. b (c ? 1)

解出 c=0 或 2,与 0<c<1 矛盾,所以直线 AB 与⊙P 不能相切.

10

xx 4 3 , t )(t ? R), A( x1, y1 ), B( x2 , y 2 ),则MA的方程为 1 ? y1 y ? 1 3 4 3 3 ∵点 M 在 MA 上∴ 同理可得 x1 ? ty1 ? 1 ① x2 ? ty 2 ? 1 ② 3 3 3 由①②知 AB 的方程为 x ? ty ? 1,即x ? 3 (1 ? ty) 3 易知右焦点 F( 3,0 )满足③式,故 AB 恒过椭圆 C 的右焦点 F( 3,0 )
7.【解】 (1)设 M ( (2)把 AB 的方程 x ?

3 (1 ? y)代入

∴ | AB |? 1 ? 3 ?

36 ? 28 16 ? 7 7

x2 ? y 2 ? 1, 化简得7 y ? 6 y ? 1 ? 0 4 4 3 | | 2 3 3 又 M 到 AB 的距离 d ? ? 3 1? 3

∴△ABM 的面积 S ?

1 16 3 ? | AB | ?d ? 2 21
y

8. 【解】 (Ⅰ)点 A 代入圆 C 方程, 得 (3 ? m)2 ? 1 ? 5 .∵m<3,∴m=1. 圆 C: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 5 .设直线 PF1 的斜率为 k, 则 PF1: y ? k ( x ? 4) ? 4 ,即 kx ? y ? 4k ? 4 ? 0 . ∵直线 PF1 与圆 C 相切, ∴
| k ? 0 ? 4k ? 4 | k2 ?1 ? 5.
F1 O C Q A F2 P

x

解得 k ? 当 k=

11 1 , 或k ? . 2 2

11 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 2

36 ,不合题意,舍去. 11
当 k=

1 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为-4,∴c=4.F1(-4,0) ,F2(4,0) . 2
x2 y 2 ? ? 1. 18 2

2a=AF1+AF2= 5 2 ? 2 ? 6 2 , a ? 3 2 ,a2=18,b2=2.椭圆 E 的方程为: (Ⅱ) AP ? (1, 3) ,设 Q(x,y) ,A Q ? x( ?, 3 y ? ) 1 ∵

, AP ? AQ ? ( x ? 3) ? 3( y ? 1) ? x ? 3 y ? 6 .

x2 y 2 ? ? 1 ,即 x2 ? (3 y)2 ? 18 ,而 x2 ? (3 y)2 ≥2 | x | ? | 3 y | ,∴-18≤6xy≤18. 18 2

则 ( x ? 3 y)2 ? x2 ? (3 y)2 ? 6xy ? 18 ? 6xy 的取值范围是[0, 36].x ? 3 y 的取值范围是[-6, 6]. ∴ AP ? AQ ? x ? 3 y ? 6 的取值范围是[-12,0].

11

9.【解】 (1)依题意,设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,则其右焦点坐标为 a2 b2

F (c , 0 ) , c ? a 2 ? b 2

2 2 ,由 | FB |? 2 ,得 (c ? 2) ? (0 ? 2) ? 2 ,

即 (c ? 2)2 ? 2 ? 4 ,解得 c ? 2 2 。

x2 y2 ? ? 1。 又 ∵ b ? 2 ,∴ a ? c ? b ? 12 ,即椭圆方程为 12 4
2 2 2

(2)由 | AM | ? | AN | 知点 A 在线段 MN 的垂直平分线上,

? y ? kx ? 2 ? 由 ? x2 消去 y 得 x 2 ? 3(kx ? 2) 2 ? 12 y2 ?1 ? ? ?12 4

即 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 0

(*)

由 k ? 0 ,得方程(*)的 ? ? (?12k ) 2 ? 144 k 2 ? 0 ,即方程(*)有两个不相等的实数根。 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) ,线段 MN 的中点 P ( x0 , y 0 ) , 则 x1 ? x 2 ?

x ? x2 12 k 6k ? ,? x0 ? 1 , 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

? y 0 ? kx0 ? 2 ?

6k 2 ? 2 (1 ? 3k 2 ) 6k ?2 ?2 , ) ? ,即 P ( 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 1 ? 3k 1 ? 3k

?2 ?2 2 ? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) ? k ? 0 ,∴直线 AP 的斜率为 k1 ? 1 ? 3k , ? 6k 6k 1 ? 3k 2
由 AP ? MN ,得

? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) ? k ? ?1 , 6k

∴ 2 ? 2 ? 6k ? 6 ,解得: k ? ?
2

3 3 ,即 tan? ? ? , 3 3
5? ? ,∴ 存在直线 l 满足题意,其倾斜角 ? ? ,或 6 6

又 0 ? ? ? ? ,故 ? ?

?
6

,或 ? ?

??

5? 。 6

10. 【 解 】( 1 ) 设 c ?

a ?b
2

2

?b ? 2 ? ,依题意得 ? c ?e ? ? a ?

a2 ? b2 6 ? a 3



12

?b ? 2 ? 2 2 2 ?6a ? 9a ? 9b

x2 y2 ? ? 1。 ∴ a ? 3b ? 12 ,即椭圆方程为 12 4
2 2

(2) ? MP ? PN , AP ? MN ? 0

∴ AP ? MN ,且点 P 线段 MN 的中点,

? y ? kx ? 2 ? 由 ? x2 消去 y 得 x 2 ? 3(kx ? 2) 2 ? 12 即 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 0 (*) y2 ?1 ? ? ?12 4
由 k ? 0 ,得方程(*)的 ? ? (?12k ) 2 ? 144k 2 ? 0 ,显然方程(*)有两个不相等的实数 根。 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) ,线段 MN 的中点 P ( x0 , y 0 ) , 则 x1 ? x 2 ?

x ? x2 12 k 6k ? ,? x0 ? 1 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

∴ y 0 ? kx0 ? 2 ?

6k 2 ? 2 (1 ? 3k 2 ) 6k ?2 ?2 , ) ? ,即 P ( 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 1 ? 3k 1 ? 3k

?2 ?2 2 ? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) 1 ? 3 k ? k ? 0 ,∴直线 AP 的斜率为 k1 ? , ? 6k 6k 1 ? 3k 2
由 MN ? AP , 得

? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) 3 ? k ? ?1 , ∴ 2 ? 2 ? 6k 2 ? 6 , 解得:k ? ? , 6k 3

11.【解】 (1)当 e ?

3 3 时,∵ a ? 1 ,∴ c ? , 2 2
3 1 1 1 3 ? , b ? ,点 B (0, ) , F (? , 0) , C (1, 0) 2 2 4 4 2
y B(0,b)

∴ b ? a ? c ? 1?
2 2 2



P 的方程为 ( x ? m)2 ? ( y ? n)2 ? r 2

由 P 过点 F,B,C 得 1 2 2 2 ∴ m ? ( ? n) ? r -----------------① 2

x A(-1 ,0) F(-c,0) o C(1,0)

(m ?

3 2 ) ? n 2 ? r 2 -----------------② 2

13

(1 ? m)2 ? n2 ? r 2 -------------------③
5 2? 3 1? 2 3 2 ,n ? ,r ? 4 4 4

由①②③联立解得

m?

∴所求的 (2)∵

P 的方程为 ( x ?

2? 3 2 1? 2 3 2 5 ) ? (y ? ) ? 4 4 4

P 过点 F,B,C 三点,∴圆心 P 既在 FC 的垂直平分线上,也在 BC 的垂直平分线上, 1? c 1 b FC 的垂直平分线方程为 x ? --------④ ∵BC 的中点为 ( , ) , kBC ? ?b 2 2 2 b 1 1 ∴BC 的垂直平分线方程为 y ? ? ( x ? ) -----⑤ 2 b 2
由④⑤得 x ?

1? c b2 ? c 1? c b2 ? c ,n ? ,y? ,即 m ? 2 2b 2 2b 1 ? c b2 ? c ? ? 0 ? (1 ? b)(b ? c) ? 0 2 2b
2

∵P (m, n) 在直线 x ? y ? 0 上,∴ ∵1 ? b ? 0 ∴b ? c

2 2 由 b ? 1? c 得 b ?

1 2

∴椭圆的方程为 x2 ? 2 y 2 ? 1 12.【解】 (Ⅰ)证明:设直线 l 与曲线 C 的交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )

? | OA |?| OB | ∴ x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
∴ x1 ? x2 ? y2 ? y1
2 2 2

2

2

2

2

即: x1 ? y1 ? x2 ? y2

2

2

2

2

2

2

2

2

? A, B 在 C 上
2

x y x y ∴ 12 ? 12 ? 1 , 22 ? 22 ? 1 a b a b
∴两式相减得: x1 ? x 2 ? ∴曲线 C 是一个圆 (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 的交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,? a ? b ? 0 ∴曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆 ? OA ? OB ∴
2 2

a2 2 2 ( y 2 ? y1 ) 2 b



a2 ? 1 即: a 2 ? b 2 2 b

y1 y 2 ? ? ?1 即: y1 y2 ? ? x1 x2 x1 x 2

2 2 2 2 2 2 将 y ? x ? 1 代入 b x ? a y ? a b ? 0 整理得:

14

(b 2 ? a 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 ? a 2b 2 ? 0
∴ x1 ? x 2 ? ?

2a 2 a 2 (1 ? b 2 ) x ? x ? , 1 2 a2 ? b2 a2 ? b2


? A, B 在 l 上

y1 ? y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 1
∴ 2 x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 1 ? 0 ∴ a ? b ? 2a b ? 0
2 2 2 2

又? y1 y 2 ? ? x1 x2

a 2 (1 ? b 2 ) 2a 2 ? (? 2 ) ?1 ? 0 ∴2 ? a2 ? b2 a ? b2
∴ a 2 ? a 2 ? c 2 ? 2a 2 (a 2 ? c 2 ) ? 0 ∴c ?
2

∴ 2a ? 2a ? c ? 2a c ? 0
4 2 2 2 2

2a 2 (a 2 ? 1) 2a 2 ? 1

∴e ?
2

c 2 2(a 2 ? 1) 1 ? ? 1? 2 2 2 a 2a ? 1 2a ? 1
∴ 1?

? a ?[

6 10 , ] 2 2



2a 2 ? 1 ? [2,4]

1 3 ?[ , ] 2a ? 1 2 4
2

1

e ?[

2 3 , ] 2 2

13.【解】 (1)由题设知 F1 ( ? a 2 ? 2 , 0) , F2 ( a 2 ? 2 , 0) 由于 AF2 ? F1F2 ? 0 ,则有 AF2 ? F1F2 ,所以点 A 的坐标为 ( a ? 2 , ?
2

2 ), a

故 AF1 所在直线方程为 y ? ?(

1 ? ), a a2 ? 2 a

x

所以坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为

a2 ? 2 (a ? 2 ) , a2 ?1 a 2 ? 2 ,解得 a ? 2 (a ? 2 ) ,

又 | OF1 |?

a ? 2 ,所以
2

a2 ? 2 1 ? a2 ?1 3

所求椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 . 4 2

(2)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,则有 M (0 , k ) , 设 Q( x1 , y1 ) , 由 于 MQ ? 2QP , ∴ ( x1 , y1 ? k ) ? 2(?1 ? x1 , ? y1 ) , 解 得

15

2 k x1 ? ? , y1 ? 3 3

2 k (? )2 ( )2 3 ? 3 ?1 , 又 Q 在椭圆 C 上, 得 解得 k ? ?4 , 故直线 l 的方程为 y ? 4( x ? 1) 4 2
或 y ? ?4( x ? 1) , 即 4 x ? y ? 4 ? 0 或 4 x ? y ? 4 ? 0 . 14. 【解】 (I)由题意可设抛物线的方程为 x 2 ? ?2 py( p ? 0) ,

p( x0 , y0 )(x0 ? 0) 的 切 线 方 程 为 x ? y? |x ? x0 ? ? 0 ? 2ax0 , p ? p ? ? 1 . ∴抛物线的方程为 y ? ax2 (a ? 0). 2a (II)直线 PA 的方程为 y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ) ,
∵ 过 点
2 ?y ? a x , ? ( x? 0 x ). 0 ? k 1 ?y ? y

y ? y0 ? 2ax0 ( x ? x0 ) ,

? ax2 ? k1x ? k1x0 ? y0 ? 0,
同理,可得 xB ?

? xA ? x0 ?

k1 k , xA ? 1 ? x0 . a a

k2 ?k1 ? x0 . k2 ? ? k1 ?0 , ?k2 ? ?? k1 , Bx ? ? ? x . 0 a a 又 BM ? ? MA (? ? 0, ? ? ?1), ?x ? x ? xM ? xB ? ? ( xA ? xM ), xM ? A B ? ? x0 . ∴线段 PM 的中点在 y 轴上. 1? ? (III)由 ? ? 1, P(1, ?1), 可知a ? ?1. ? A(?k1 ?1, ?(k1 ? 1)2 ), B(k1 ?1, ?(k1 ?1)2 ). ? AP ? (2 ? k1, k12 ? 2k1 ), AB ? (2k1,4k1 ). ∵∠PAB 为钝角,且 P, A, B 不共线, 即 (2 ? k1 ) ? 2k1 ? (k12 ? 2k1 ) ? 4k1 ? 0. ? AP ? AB ? 0.
? k1 (2k12 ? 5k1 ? 2) ? 0. k1 ? 0, ? 2k12 ? 5k1 ? 2 ? 0. ? k1 ? ?2, 或 ? 1 ? k1 ? 0. 2 又∵点 A 的纵坐标 yA ? ?(k1 ? 1)2 , 当 ? 1 ? k1 ? 0 时, ?1 ? y A ? ? 1 . 2 4

∴当 k1 ? ?2 时, y A ? ?1 ;

∴∠PAB 为钝角时点 A 的坐标的取值范围为 (??, ?1) 15.【解】 (1)设 A(a,0), B(0, b), P( x, y)

(?1, ? 1 ). 4

16

? AP ? t PB, 即( x ? a, y ) ? t (? x, b ? y ) ???? 2分 ?a ? (1 ? t ) x ? x ? a ? ?tx ? ?? 则? 1 ? t ,由题意知t ? 0, ?y ? y ? t (b ? y ) ?b ? t ? 1? t2 2 2 2 2 2 ?| AB |? 2 ? a ? b ? 4即(1 ? t ) x ? ( )y ? 4 t x2 y2 ? 点P轨迹方程C为 : ? ? 1???? 4分 4 4t 2 (1 ? t ) 2 (1 ? t ) 2
(2)t=2 时, C为

9x 2 9 2 ? y ?1 4 16

设M ( x1 , y1 ),则N ? (? x1 ,? y1 ),则MN ? 2 x12 ? y12 . 设直线MN的方程为y ? y1 x, ( x1 ? 0) x1

点Q到MN距离为 3 | y1 ? 3x1 | h? 2 ???? 7分 x12 ? y12 ? S ?QMN 3 y1 ? 3x1 | 1 3 2 2 2 ? ? 2 x1 ? y1 ? ?| y1 ? 3x1 | ????8分 2 2 2 2 x1 ? y1 | 9 2 y1 ? 9 x1 y1 4

2 2 ? S? QMN ? 9 x1 ?

9 x12 9 y12 9 ? ? 1? 9 x12 ? y12 ? 4 4 16 4 2 ? S ?QMN ? 4 ? 9 x1 y1 又 9 x12 9 y12 3x 3 y 9x y ? ? ?2 ? 1 ? 1 ? ? 1 1 4 16 2 4 4 ? ?9 x 2 y1 ? 4????11分 而1 ? 3x 3y 1 当且仅当 1 ? 1 ,即x1 ? ? y1时, 等号成立 2 4 2 ? S ?QMN 的最大值为2 2 ????12分

17


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