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2016—2017年度初中升高中系统训练及答案 (5)


2016——2017 年度 全国各省市初中升高中试题集锦 (答案解析) 1 第一部分 函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题 例 1 2013 年上海市中考第 24 题 如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,顶点为 M 的抛物线 y=ax2+bx(a>0)经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B,AO=BO=2,∠AOB=120°. (1)求这条抛

物线的表达式; (2)连结 OM,求∠AOM 的大小; (3)如果点 C 在 x 轴上,且△ABC 与△AOM 相似,求点 C 的坐标. 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“13 上海 24” ,拖动点 C 在 x 轴上运动,可以体验到,点 C 在点 B 的右侧,有两种情况,△ABC 与△AOM 相似. 请打开超级画板文件名“13 上海 24” ,拖动点 C 在 x 轴上运动,可以体验到,点 C 在点 B 的右侧,有两种情况,△ABC 与△AOM 相似.点击按钮的左部和中部,可到达相似的准确 位置。 思路点拨 1.第(2)题把求∠AOM 的大小,转化为求∠BOM 的大小. 2.因为∠BOM=∠ABO=30°,因此点 C 在点 B 的右侧时,恰好有∠ABC=∠AOM. 3.根据夹角相等对应边成比例,分两种情况讨论△ABC 与△AOM 相似. 满分解答 (1)如图 2,过点 A 作 AH⊥y 轴,垂足为 H. 在 Rt△AOH 中,AO=2,∠AOH=30°, 所以 AH=1,OH= 3 .所以 A (?1, 3) . 因为抛物线与 x 轴交于 O、B(2,0)两点, 设 y = ax(x - 2) , 代 入 点 A (?1, 3) , 可 得 a? 3 3 图2 所以抛物线的表达式为 y ? . 3 3 2 2 3 x( x ? 2) ? x ? x. 3 3 3 3 2 2 3 3 3 (2)由 y ? , x ? x? ( x ? 1)2 ? 3 3 3 3 3 3 得抛物线的顶点 M 的坐标为 (1, ? . ) .所以 tan ?BOM ? 3 3 所以∠BOM=30°.所以∠AOM=150°. 3 (3)由 A (?1, 3) 、B(2,0)、M (1, ? ), 3 2 得 tan ?ABO ? 3 2 3 , AB ? 2 3 , OM ? . 3 3 OA 所以∠ABO=30°, ? 3. OM 因此当点 C 在点 B 右侧时,∠ABC=∠AOM=150°. △ABC 与△AOM 相似,存在两种情况: BA OA BA 2 3 ①如图 3,当 ? ? 3 时, BC ? ? ? 2 .此时 C(4,0). BC OM 3 3 BC OA ②如图 4,当 ? ? 3 时, BC ? 3BA ? 3 ? 2 3 ? 6 .此时 C(8,0). BA OM 图3 图4 考点伸展 在本题情境下,如果△ABC 与△BOM 相似,求点 C 的坐标. 如图 5,因为△BOM 是 30°底角的等腰三角形,∠ABO=30°,因此△ABC 也是底角为 30°的等腰三角形,AB=AC,根据对称性,点 C 的坐标为(-4,0). 图5 例 2 2012 年苏州市中考第 29 题 1 2 1 b x ? (b ? 1) x ? (b 是实数且 b>2)与 x 轴的正半轴分别交 4 4 4 于点 A、B(点 A 位于点 B 是左侧) ,与 y 轴的正半轴交于点 C. (1)点 B 的坐标为______,点 C 的坐标为__________(用含 b 的

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