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向量组线性相关性命题的几种证法


2007 年 9月 第 13 卷 第 5期

湖北成人教育学院学报 Journa l o fH uBe i Adult Educat ion Institute

Sep , 20 07 V o . l 13 N o . 5

向量组线性相关性命题的几种证法
朱小红
1, 2 (1 . 武汉冶金管理干部学院 , 湖北武汉 , 430080 ; 2. 中国地质大学工程学院 , 湖北武汉 , 430074) [摘 要 ] 向量组线性相关性概念较抽象 , 定理较多 , 使 证明问题 成为教 与学的难 点 。 抓住关键 , 突出 重点 , 归纳出

证明向量组线性相关 性问题的几种方法 , 可以解决其难点 。 [ 关键词 ] 向量组 ; 线性相关 ; 线性无关 [ 中图分类号 ] G 42 [ 文献标识码 ] A [ 文章编号 ] 1673! 3878( 2007) 05! 0092! 03

在线性代数的学习中 , 向量组线性相关性是一个重要 内容 , 对向量的线性相关 性进行 研究 , 需要学 生准 确掌握 线性相关和线性无 关的基 本概念 , 灵活 运用有 关的 定理、 结论。对于初学者来 说 , 这 部分内 容不容 易掌 握 , 尤其是 关于向量组线性相关 性命题的证明 , 更是有畏惧心理。本 文根据笔者多年的教学经验 , 归纳了向量组线性相关性命 题的几种证明方法。 如果题设中各向量写成它 的分量形式 , 则有关命题常 用下述方法 1 和方法 2 来证明。 方法 1 解分量方程组法 例 1 设向量组 分别为
1 1 2 2 1

因为 k1 ( a 1j + ka 1 i ) + k2 ( a 2j + ka 2 i ) + ? + ks ( asj + ka si ) = ( k1 a 1j + k2 a 2j + ? + ks asj ) + k ( k1 a1 i + k2 a2 i + ? + ks a si ) = 0 又 k1 a 1i + k2 a 2 i + ? + ks a si = 0 所以 k1 a 1j + k2 a 2j + ? + ks a sj = 0 k1 a 11 + k2 a 21 + ? + ks a s1 = 0
###

于是 和 向量 组 , , ?,

k1 a 1i + k2 a 2 i + ? + ks a si = 0
## #

k1 a 1j + k2 a 2j + ? + k s a sj = 0
### s 1 2 S

( 3)

,

2

, ?,

k1 a 1n + k2 a2n + ? + k s a sn = 0 即 k1 a 1 + k2 a2 + ? + ks a s = 0 因为 故
1 1, 2, ? ,

= ( a 11 , ?, a 1i, ?, a1 j, ?, a1 n ) = ( a11, ?, a 1 i, ?, a1 j + ka 1i , ?, a1n ) = ( a 21 , ?, a 2i, ?, a2 j, ?, a2 n ) = ( a21, ?, a 2 i, ?, a2 j + ka 2i , ?, a2n ) ?? ?? , ? , 线 性无 关 的 充 要条 件 是 2 s , ,

( 4)

s 线性无关 , 所以 k1 = k2 = ? ks = 0

,

2

, ?,

s

线 性无关。 , , ?, 线性 无关 , 所以 k1 =

充分性 由 ( 4 ) ~ ( 1 ), 因为
1 2 1 2 s

试证 : ?,
s

1

,

线性无关 =0 ( 1)

k2 = ? = ks = 0 由 ( 4 )故 1, 明 [ 1]

2

, ?,

s

线性无关。

证明 : 必要性 设 k1 1 + k2 2 + ? ks
## #

方法 2 利用矩阵 的秩 与向量 组的 秩之 间的 关系 证
s

k1 a11 + k2 a21 + ? + ks as 1 = 0 k1 a1 i + k2 a2 i + ? + k s a si = 0 即
###

对于 s 维向量组
1

1

,

2

, ?,

s

, 以各 向量构 成一 个矩

k1 ( a1 j + ka 1i ) + ? + ks ( asj + ka si ) = 0
###

( 2)

阵: A =

2

k1 a1n + k2 a2 n + ? + ks asn = 0 [ 收稿日期 ] 2007 - 05 - 10 # 92#

s

先求出矩阵 A 的秩 R ( A ) , 当 R ( A )

s时 , 向量组是

线性相关组 ; 当 R (A ) = s 时 , 向量组是线性无关组。 例 2 试证 s 个 s维向量 2, ? s) 线性无关的充要条件是 a11 D= ? a s1 a12 ? a s2 ? ? ? a1 s ? ?0 ass
i

的充要 条 件是 AT x = 0 有 非零 解 ( 只有 零 解 ), 其 中 x = ( x1 , x 2, ?, xm ) T。 例 4 设 A 为 s 阶方阵 , 线性无关。 证明 : 必要性 设 x1 A x1 A = (A 故 R [A ( 且A(
1 1 1 1

= ( a i1 , ai 2, ?, a is ) ( i = 1,

,

2

, ?,

s

为 s个线性无关
1

的 s维 列向量 , 试 证 R ( A ) = s 的充要 条件为 A A
s

, A 2, ?

证明 : 必要性
1

+ x 2A + x 2A
1

2 2

+ ? + xs A + ? + xs A
2 2 s

s

= 0, 即 , ?, )x= 0

设 A=

2

, 因为

1

,

2

, ?,

s

线性 无关 , 有 R ( A ) =

, A 2, ?, A
1

)x= A (
s

1

,

2

s

因 A 因可逆 , 且
1, 2

,

, ?

线性无关 ,
1

s

2 , ?,

s ) ] = R(

,

2

, ?,
s

s

) = s, ) x = 0 只有

s , 所以 , |A |? 0, 即 D? 0 充分性 由 D ? 0, 得 到 |A |? 0, 故 R (A ) = s , 从而 线性无关 对于没有给出分量的向量 组 , 其线性相关性可按下述 各种方法证明。 方法 3 用线性相关 , 线性无关的定义证明 例 3 设 是非齐次线性方程组 Ax = b 的一个解 ,
2 1 1

,

, ?,

s

)x= (A
s

1

, A 2, ?, A

零解 , 于是 A 1, A 2, ?, A ,
2

线性无关。

, ?,

s

充分性 若A (A 解, 因而 R [ A (
1 1 1

, A 2, ?, A
s

s

线性无关 , 则
1

, A 2, ?, A ,
s

)x = A ( , ?,

,

2

, ?,

s

) x = 0 只 有零 , ?, ) |

2

s

)] = s , |A (

1

,

2

s

,

= |A | | 1,

2

, ?,

|? 0

, ?,

s- r

是对应齐次线性方程组的一个基础解 系 ,
1

故 |A |? 0 , 即 R (A ) = s 方法 4 反证法 当向量组含 有线 性无 关的 部分 组 ( 其向 量个 数不 少 于 2 )时 , 常用反证法证明该 向量组线性无关 [ 3 ] 。 例 4 设 s维向量组
1

试证 : ( 1 )

,

2 1

, ?, ,
1

s- r 2

,

线性无关 ; +
s- r

( 2) + 证明 : ( 1 )设 k1 k1 A 由题意 , A 由于 0 从而
1

+ + k2

, ?,
2

,

线性无关。
s- r

+ ? + ks - r

+k =0

将 A 左乘上式两端 , 得
1

,

2

, ?,
i

s

线性无关 , 若

+ k2 A
1

2 2

+ ? + ks - r A =? =A
s- r 1

s- r

+ k A =0 + ? + ks - r =0 k2
2

s+ 1

= k1 1,

1

+ k2 , ?,
1

2

+ ? + ki

+ ? + ks s, 且 ki ? ( i =

=A

= 0 得到 kA = 0,
2 s- r

1 , 2, ? s ), 试证 :
2 s+ 1 2

因A ? 0 , 故 k = 0, 于是 k1
1

+ k2

中任意 s 个向量线性无关。
s

, ,

2

, ?, ?,

s- r

线性无关 , 故 k1 = k2 = ? = ks - r = 线性无关。
2

证明 : 由 于 + ? + ki
1, i

,

, ?,

线 性无 关 , 而

s+ 1

= k1

1

+
s+ 1

+ ? + ks s, 且 ki ? ( i = 1 , 2, ? s) , 即
s 线性表示 , 故这种表示式是唯一的。

2

s- r 1

,

可由
s- r

2, ? ,

( 2 )设 k 1 ( + +k =0

) = k2 ( +

) + ? + ks - r ( + + k2

)

用反证法 假设
1

,

2

, ?,

i- 1

,

i+ 1

, ? s,

s+ 1

( 1% i% s+ 1 ) 线

整理 , 得 ( k + k1 + k2 + ? + ks - r ) + k1 ks - r
s- r = 0

1

2

+ ?+

性相关 , 则由线性 相关的定 义可知 , 至少 存在一 组不 全为 0的数 ! 1 , !2, ? , !i - 1, !i + 1, ? , !s, !s+ 1 使得下式成立 : 其中必有 ! s+ 1? 0, 否则 , 得出 ?
s 是线性相关的 , 从而 有 1, 1

由 ( 1 )知 , , k = 0, 所以 题
[ 2]

1

,

2

, ?,

s- r

线性无关 , 故

,

2

, ?,

i- 1

,

i+ 1

,

k + k1 + k2 + ? + ks - r = 0, k1 = k2 = ? = k s- r = 0, 从而 + , + , ?, + , 线性无关。

2, ? ,

s 线 性相 关 , 这与

已知矛盾 , 因此 !s+ 1 ? 0, 故 a s+ 1 = ( 0 i+ ( ! i+ 1 ) !s + 1 !1 ) !s + 1
i+ 1 1

1

2

s- r

+ (-

利用定 义 证 明 线 性 相 关 性 时 , 常 用 到 以 下 两 个 命 : 命题 1 A 的列向量组 x 2, ?, xs ) T。 命题 2 A 的行 向量组
1, 2, ? , m 1

!2 ! s+ 1

2

+ ?+ (-

! i- 1 ! s+ 1

i- 1

+

+? + (-

!s ) !s + 1

s

,

2

, ?,

s

线性相 (无 )关的

这显然与已知条件里表达式的系数全不为 0 矛盾 , 故 假设不成立 , 所 以 关。
1

充要条件是 A x = 0 有非 零解 ( 只有 零 解 ), 其中 x = ( x 1, 线 性相 (无 )关 # 93#

,

2

, ?,

s+ 1

中任 意 s 个 向量 线性 无

方法 5 证明两向量组等价 , 且证其秩等于向量个数

例 5 设 试证 : 出, 故

1

,

2

, ?,

s

是一组 s 维向量 , 已知 单位向 关。

试证 : 向量组

1

+

2

, +

2

+

3

, +

3

+

4

, +

4

+

1

线性相

量 ? 1 , ?2 , ? , ?s 可被 它们线性表出 ,
1, 2, ? , s 线性无关。

证明 : 作矩阵 A = ( 则 A c1+ c2+ c3+ c4
4

1

2

,

2

3

,

3

4

,

4

+

1

),

证明一 : 因任一 s 维向量 都可由 ?1, ?2 , ?, ?s 线性表
i

( i= 1 , 2, ?, s) 也可由 ?1, ?2, ?, ?s 线性表 出 , 又
1, 2, ? , s 线性表出 , 故 ?1,

由题设知 ?1 , ?2, ?, ?s 可被 ?2 , ?, ?s 与 所以 2, ? s) 即 E = AB
1 1

( 2(

1

+

2

+

3

+

4

),

2

+

3

,

3

+

,

2 s

, ?,

s

等价。因 ?1 , ?2, ? ?s 线性无关 , + a i2 + ? + a is ( i - 1,

,

4

+

1

) ( 2( ( 0,
1

,

2

, ?,

线性无关。
1 2 s

c1+ ( - 2 ) c2 c1+ ( - 2 ) c4

+ +

4

),
3

2

+
4

3

,
4

3

+
1

4

,

4

+

1

)

证明二 : 由题设有 ?i = ai 1

2

3

,

+

,

+

)=B

显然 , R ( B ) % 3 , 从而 R (A ) % 3 命题得证。 , 参考文献 :

4 ( 向量个数 ) , 故

其 中 E 是 s阶单位矩 阵 , s个行向量依次为 ?1 , ?2, ?, ?s , A = ( a ij ) s & s , B 为 s 阶矩 阵 , 其 s 个行 向量 依 次为
2 1

, ?,

s

, 由 A, B 为方阵及 E = AB 可知 B 可逆 , 其秩为 s , , i , ?, 2 线性无关。 s

[ 1] 钱椿林 . 线性代 数 [M ]. 北京 : 高等教育出版社 , 2000 . [ 2] 毛纲源 . 线性代 数解题方法与 技巧 [ M ] . 武 汉 : 华 中理 工大学出版社 , 1994. [ 3] 陈文灯 . 2002 研究生入学 考试数 学复习指 南 [ M ]. 北 京 : 世界图书 出版公司北京公司 , 2001. ( 责任编辑 : 侯谦民 )

等于所含向量个数 , 故

方法 6 初等变换法 以所给向量为 行 ( 列 ) 向 量作 矩阵 , 并 对其 施以 初等 行 ( 列 )变换 , 因初等变换不改变矩阵 的秩 , 由变换 矩阵是 降秩还是满秩可判定 所给向量组线性相关或线性无关。 例 6 已知
1

,

2

,

3

,

4

线性相关 ,

( 上接第 91 页 ) 1. 软件预 览及 功能 分析。首 先将 制 作好 的 ?学 生管 理系统 ( 进行演 示 , 分析 系统 各个 模块 的功 能 , 让学 生清 楚学习的目的以 及 V FP 在实 际领 域的 应用 , 培 养学 生的 学习兴趣 , 从而提高学习效率。 2. 设计数据库。在数据库应用系统中 , 数据库的设计 是一项非常重要的工作 , 数据库性能的优劣将直接影响到 最终应用系统的 性能。在此 过程中 , 和学 生共 同讨 论、 推 敲数据库应用系统 的需要、 可能 的扩充 和改变 , 提 高数据 库的灵活性 , 保证所建立的应用程序具有较高的性能。 在实际教学中 , 演示数据库的创建、 数据库表的创建、 表字段属性的设置、 视图和查询的创建和索引的建立等基 本操作 , 突出重点 , 把 数据库 表间的 关系、 查询、 索 引和参 照完整性等重点、 难点知 识和抽 象原理 具体化 , 加 强学生 对这些原理、 概念的理解。 3. 程序设计。程序 设计 是学习 V isua l Foxpro 的重点 和难点。 V isual F oxpro 的程 序设 计包 括结 构化 程序 设计 和面向对象程序设计 。在这部 分课程实验教学中 , 重点强 调程序设计方法 , 在 ?学生管 理系统 ( 的界面 设计 , 将对象 和类通过表 单的 创建、 控 件的 使用 直观 地呈 现 在学 生面 前 , 帮助学生理解对象、 属性、 方法、 事件等概念 , 使学生掌 握面向对象程序设计地基本方 法 , 形成面向对象地设计理 念。通过编写和分析程序代码 , 让学生了解程序执行地过 程和程序语句地功能 , 熟练掌握常用函数 , 表达式地用法。 # 94#

4 . 调试和发布应用程序。最后通过项目管理器 , 将各 个部分组织起来 , 调试无错后连编成应用程序。至此一个 完整地数据库应用系统制作完成。 随着教学内容地不断加深 , 课内教学实验一直不断发 展 , 最终形成一个 完整地项目。各个课内教学实验练成一 个整体 , 贯穿于整 个课程地 教学当 中 , 从 而使学 生全 面了 解一个具体的数据库应用系统的实际界面、 功能及其开发 方法和步骤 , 初步具备了开 发完整的数据库应用系统的能 力。 四、 结束语 通过改进 V isua l F oxpro 课程的 课内 教学实 验和 课程 设计 , 使学生 能够 从实 际应 用系 统开 发的 方 式来 掌握 知 识。更新教学观念 , 改进教学方法 , 加强实践教学环节 , 采 用合理的考核办法 , 并且经 过项目 开发的 实际锻 炼 , 能进 一步提高学生解决实际问题的能力 , 取得好的教学效果。 参考文献 : [ 1] 李印清 . V isual F oxpro 实用教程 [M ]. 华中科技 大学出 版社 , 2003. [ 2] 吴明 . V FP教学中的改革 初探 [ J] . 齐齐 哈尔医学 院学 报 , 2004, ( 4). [ 3] 申玉静 . 面向对 象的数据库管理系统 VFP 的教 学探索 [ J]. 滨州师专学报 , 2004, ( 5). ( 责任编辑 : 胡 炼)


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