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向量组线性相关性的判断法


训练技法
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向量组线性相关性的判断法
-阮义聪 ! 福建
($ ) 因为 "’4

’ " 1" (3" 所以该向量组线性相关 ’ $ $ &

$ # 定义法
要判断一个 . 维向量组 !’ "!$ "*"!, 的线性相关性 " 可以从定义出发 " 令 5’!’15$!$1 * 5$!$1 *15,!,(3 " 得到齐次线性方程组 %

!’’5’1!$’5$1 * 1!,’5,(3 "

# *
在线性代数的学习中 " 对向量组的线性相关性进行研究 " 需要学生 准确掌握线性相关和线性无关的基本概念 " 灵活运用有关的定 理 # 结 论 $ 对于初学者来说 " 这部分内容不容易掌握 $ 本文按向量组的不同情形 " 归 纳了向量组线性相关性的一些判断方法 $ 向量组只含一个向量的情形 当向量组只含一 个 向 量 时 " 有 如 下 结 论 % 一个向量 ! 线性相关 " 就是 !(% & 一个向量 ! 线性无关 " 就是 !!% ’ 这种 情形比较简单 ’ 向量组含两个向量的情形 当向量组含两个 向 量 时 " 有 如 下 结 论 % 两个向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成 比 例 & 同 时 " 两 个向量线性无关的充分必要条件是它们的对应分量不成比例 ’ 例 ) # 向 量 组 () "$ "& )"() "$ "$ ) 是 线 性 无 关 组 " 因 为 它 们 的 对 应 分 量 不成比例 & 而向量组 () "$ "& )"($ "* "+ ) 就是线性相关组 ’ 向量组含三个及三个以上向量的情形 当向量组含三个及三个以 上向量时 " 要讨论它的线性相关性 " 方法比较多 " 具体可以有 %

$ !’$5’1!$$5$1 * 1!,$5,(3

$

!’.5’1!$.5$1 * 1!,.5,(3 %
如 果 上 述 齐 次 线 性 方 程 只 有 惟 一 零 解 "则 该 向 量 组 线 性 无 关 &若 上 述齐次线性方程组存在非零解 " 则向量组线性相关 ’ 例 6 + 判断向 量 组 ! )( ($ ") "4) "4) )"!$( (% "& "4$ "% )"!&( ($ "* "4&4) ) 的线性相关性 ’ 解 % 令 5 ) ! ) 75 $ ! $ 15 & ! & (3 " 即 5 ’ ($ "’ " 4’ " 4’ ) 15 $ (3 "& " 4$ "3 ) 15 $ ($ "* "

4& "4’)( (3 "3 "3 "3 )"
得到齐次线性方程组 %

$5’1$5&(3 &

# 45 4$5 4&5 (3
$’
$ &

$ 5’1&5$1*5&(3

45’45&(3 %
解得其通解为 %8’(49 "8$(49 "8&(9 ( 其中 9 为任意常数 )" 说明该方程组 有非零解 " 故向量组 !’ "!$ "!& 线性相关 ’ 当向量组向量的个数等于向量的维数 ( 即分量的个数 ) 时 " 也 可 以 直 接计算以 !’ "!$ "* !, 为行 ( 或列 ) 向量的行列式 " 如果其值为零 " 则向量组 线性相关 " 否则线性无关 ’ 例 + # 判断下列向量组的线性相关性 %

)# 观察法
利用以下一些结论可观察出一个向量组的线性相关性 % 结论一 % 当 ,-. 时 ", 个 . 维向量一定线性相关 ’ 结论二 % 如果 / 维向 量 组 线 性 无 关 " 则 对 其 中 每 个 向 量 在 相 同 位 置 上 任意添加 0 个分量所得到的 /10 维向量组仍线性无关 ’ 例 $ # 向量组 () "$"& )"() "2) "3 )"($ "& "* )"(4$ "3 "* )" 这 是 一 个 由 * 个

!’( (’ "4$ "& )"!$( (3"$ "46 )"!&( (4’"3 "$)
解 % 由 于 向 量 组 中 向 量 个 数 等 于 向 量 的 维 数 " 以 !’ "! $ "!& 为 行 向 量 " 得到行列式 %

& 维向量组成的向量组 " 由结论一可知 " 它是一个线性相关的向量组 ’
例 & # 判断下列向量组的线性相关性 %!’( (’ "3 "3 "’ )"!$( ($ "$ "3 "4’ )"

’ 4$ 3 4’ 3

& $

!&( (’"& "&"$ )’
解 % 取 "’( (’ "3 "3 )""$( ($ "$ "3 )""&( (’ "& "& )’ 因为由 "’ ""$ ""& 为行组 成的行列式不为零 " 所以向量组 "’ ""$ ""& 线性无关 " 在相同位置上添加了 一个分量后所得的向量组 !’ "!$ "!& 仍线性无关 ’ 另 外 "当 向 量 组 由 另 一 向 量 组 线 性 表 出 时 "可 注 意 观 察 是 否 可 将 向 量 组 中 所 有 向 量 通 过 线 性 组 合 成 零 向 量 "如 果 可 以 "则 这 些 向 量 必 线 性 相关 " 该向量组为线性相关组 ’ 例 * # 判断下列向量组的线性相关性 % (’ )"’(!’1!$ ""$(!$1!& ""&(!’1$!$1!& ($ )"’(!’1!$ ""$($!$1$!& ""&(!&4!’ 解 %(’ ) 因为 "’1"$4"&(3 " 所以该向量组线性相关 ’

$ 46

该行列式的值等于 3 " 因此该向量组线性相关 ’

& # 利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系判定法
对于 . 维向量组 !’ "!$ "*"!, " 以各向量构成一个矩阵 %

!) * ’ !$ + ( :( ( (+ + !,, )
先求出 : 的秩 ; (: )’ 当 ; (: )<, 时 " 向量组是线性相关组 & 当 ; (: )(, 时 " 向量组是线性无关组 ’ 例 = # 判 断 向 量 组 ! ) ( () "% " 4) "$ )"! $ ( (4) " 4) "$ " 4* )"! & ( ($ "& " 46 " *

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(" & 的线性相关性 #
解 $ 以 !( "!! "!# 为行向量构成矩阵

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技能训练中
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通过初等行变换 ’ 第 ( 行加到第 ! 行上 " 第 ( 行乘以 0! 加到第 # 行 上 " 再 把 第 ! 行 乘 以 # 加 到 第 # 行上 &" 可把矩阵化成如下阶梯形矩阵 $

-$ " 0( " "

%

(

" 0( ! ( 0! " "

求得 3 ’- &.!4# " 故向量组是线性相关组 #

1% 反证法
有时 " 可根据题目给出的条件 " 使用反证法 " 假定结论不成立 " 推出与已知条件矛盾的结 论 " 从而证明向量组的线性相关性 # 例 5 % 设 6 维 向 量 组 !$ "! ! "("! 7 " 线 性 无 关 " 若 ! 78( .9 ( ! ( :9 ! ! ! : ( :9 7 ! 7 " 且 9;’< ’;.( "! " ("7&# 证明 $!( "!! "("!7 "!7:( 中任意 7 个向量都线性无关 # 证 明 $ 由 于 ! ( "!! "( !7 线 性 无 关 " 而 ! 7:(.9 (! (:9 !! !: ( :9 7 ! 7 " 且 9;’< ’;.( "! "( "7&" 即

职业技术教育除理 论 课 程 教 学 外 " 更 注 重 培养学生 的 操 作 技 能 # 在 实 习 场 地 " 电 能 是 应 用 得最广泛 的 动 力 源 " 由 于 电 能 在 形 态 上 不 具 有 直 观性 " 它转换 为 其 他 能 量 的 速 度 非 常 快 " 因 此 " 电 能在造福 人 类 的 同 时 " 也 潜 在 着 致 祸 的 一 面 # 如 果使用者 缺 乏 驾 驭 它 的 知 识 和 技 能 " 就 会 发 生 人 身伤亡和 仪 器 设 备 损 坏 事 故 " 造 成 巨 大 的 经 济 损 失# 所 谓 安 全 用 电 "是 指 在 保 证 人 身 及 设 备 安 全 的前提下 " 正 确 地 使 用 电 力 以 及 为 此 目 的 而 采 取 科学的措施和手段# 随着四个现代化进程的加 快" 在职业技术学校教学中用电的规模越来越 大" 安全用电在实习操作训练中愈显其重要性 " 这就要求 学 生 在 校 期 间 的 技 能 训 练 中 " 应 在 安 全 用电方面 接 受 良 好 的 培 养 和 训 练 " 为 将 来 走 上 工 作岗位做 好 安 全 用 电 工 作 打 下 坚 实 的 基 础 " 为 此 在技能训练中应注重以下几方面 $ 了解电流对人体的危害及安全电压知识 电流对 人 体 的 危 害 程 度 与 通 过 人 体 的 电 流 强 度 % 通电持 续 时 间 % 电 流 通 过 人 体 的 部 位 或 途 径 以 及 触电者 的 身 体 状 况 等 多 种 因 素 有 关 " 触 电 伤 亡 的 直接原因在于电流在人体内引起的生理病变 # 显 然" 此电流的大小与作用于人体的电压高低有 关 " 在 一 般 环 境 中 "( 秒 钟 安 全 电 流 可 按 #" 毫 安 考 虑 " 人 体 电 阻 可 按 (""")!*** 欧 姆 计 " 由 此 可 得 安 全电压范围 为 #*+," 伏 # 我 国 规 定 适 用 于 一 般 环 境的安全电压为 #, 伏 # 了解人体触电的方式 人体触电的方式多 种多样 " 一 般 可 分 为 直 接 触 电 和 间 接 触 电 # 人 体 直接触及或过分靠近电气设备及线路的带电导

!7:( 可由 !( "!! "(!7 线性表示 " 因而这种表示是惟一的 #
以下使用反证法来证明结论成立 $

!( "!! "("!;0( "!;:( "("!7 "!7:( ’((;(7:( & 线性无关 #
如果 !( "!! "("!;0( "!;:( "("!7 "!7:( ’((; (7:( & 线性相关 " 由线性相关定义可知 " 存在一 组不全为零的数 "( ""! "("";0( "";:( "(""7 ""7:( " 使得下式成立 $

"(!(:"!!!: ( :";0(!;0(:";:(!;:(: ( "7!7:"7:(!7:(.<" 其中必有 "7:(’< " 否则 " 得出 !( "!! "(" !;0( "!;:( "("!7 是线性相关的 " 从而有 !( "!! "("!7 是线性相关的 " 这与已知矛盾 # 于是有 !7:(.0 "( !(0 "! !!0 ( 0 ";0( !;0(:<!;0 ";:( !;:(0 ( 0 "7 !7 "7:( "7:( "7:( "7:( "7:(
这显然与已知条件里表达式的系数全不为零矛盾 # 向量组由另一线性无关向量组线性表出的情形 当向量组由另一线性无关向量组线性 表出时 " 如果线性表出的系数已知 " 可用线性相关性的定义及系数矩阵的秩来证明 # 当两向量组所含向量个数相等时 " 向量组的线性相关性的判别也可由线性表出的系数 矩阵的行列式值是否为零来判别 $ 如果行列式值 为 零 " 则 向 量 组 线 性 相 关 ) 如 果 行 列 式 值 不 为零 " 则向量组线性无关 # 例 = % 若 !( "!! "!# 线性无关 " 判断下列向量组的线性相关性 $

#(.!!(0!!! "$!.!%(0!!!:!# "$#.!!:1!# #
解 $ 设 !; "$; 为列向量 ’;.( "! "# &" 由线性相关性定义 " 设有一组数 >( ">! "># 使得下式成立 $

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体而发生的触电现象称为直接触电" 如单相触 电 % 两相触电 % 电弧伤害等 # 电气设备在正常运行 时 "其 金 属 外 壳 或 结 构 是 不 带 电 的 "当 电 气 设 备 绝缘损 坏 而 发 生 接 地 短 路 故 障 时 " 其 金 属 外 壳 便 带有 电 压 "人 体 触 及 便 会 发 生 触 电 现 象 "称 为 间 接触电 " 如接触电压触电 % 跨步电压触电等 # 了解操作人员职责及文明实习规范 学生 应运 用 自 己 掌 握 的 专 业 知 识 和 技 能 " 刻 苦 练 习 " 防止 %避 免 和 减 少 电 气 事 故 的 发 生 "保 障 电 器 线 路和设 备 的 安 全 运 行 及 人 身 安 全 " 不 断 提 高 供 电

其中 @. 0! 0! (

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! 作者单位 " 福建省厦门市高级技工学校 #

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因而由 ?>.< " 可得 -@>.< " 又因为 !( "!! "!# 线性无关 " 所以 @>.< # 于 是 得 到 $( "$ ! "$# 线 性 无 关 的 充 分 必 要 条 件 是 @>.< 只 有 零 解 " 而 A@A.0! 不 为 零 " 所 以 齐 次线性方程组 @>.< 只有零解 " 即 $( "$! "$# 线性无关 #

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