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高考试卷中解析几何试题归类(1985---2004)


高考试题汇编

解析几何(1985---2004)
1、(1997 文)已知直线 x ? y ? 2 与抛物线 y ? 4 x 交于 A、B 两点,那么线段 AB
2

的中点坐标是_______
2、(2003 江苏卷)已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( 7 ,0)直线 y=x

-1

与其相交于 M、 两点, 中点的横坐标为 ? N MN

2 , 则此双曲线的方程是 ( ) 3 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. B. D. ? ?1 ? ? 1 C. ? ?1 ? ?1 3 4 4 3 5 2 2 5 3、 (2004 上海春季)已知倾斜角为 45? 的直线 l 过点 A(1 , ? 2) 和点 B ,B 在第一象

限, | AB |? 3 2 . ⑴ 求点 B 的坐标; ⑵若直线 l 与双曲线 C :
x2 ? y 2 ? 1 (a ? 0) 相交于 E 、 F 两点,且线段 EF 的中 2 a

点坐标为 (4 , 1) ,求 a 的值; ⑶对于平面上任一点 P ,当点 Q 在线段 AB 上运动时,称 | PQ | 的最小值为 P 与线段 AB 的距离. 已知点 P 在 x 轴上运动,写出点 P(t , 0) 到线段 AB 的距离 h 关 于 t 的函数关系式.
4、(2004 北京春季理)已知点 A(2,8) B( x1 , y1 ) , ,

C ( x2 , y2 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px 上, ?ABC 的重心与此抛物

线的焦点 F 重合(如图) ⑴写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标; ⑵求线段 BC 中点 M 的坐标; ⑶求 BC 所在直线的方程。
5 、 (2002 全 国 春 季 ) 已 知 某 椭 圆 的 焦 点 是

F1 (?4,0) 、 F2 (4,0) ,过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与

椭圆的一个交点为 B ,且 | F1 B| ? | F2 B |? 10 ,椭圆上 不同的两点 A( x1 , y1 ) 、 C ( x2 , y 2 ) 满足条件: | F2 A | 、
| F2 B | 、 | F2 C | 成等差数列.
1

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⑴求该椭圆方程; ⑵求弦 AC 中点的横坐标; ⑶设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y ? kx ? m ,求 m 的取值范围.
6、(2001 上海春季) 已知椭圆 C 的方程为 x 2 ?
a2 ? y2 ? 1 ,点 P(a, b) 的坐标满足 2

b2 ? 1 。过点 P 的直线 l 与椭圆交于 A 、 B 两点,点 Q 为线段 AB 的中点,求: 2

⑴点 Q 的轨迹方程;⑵点 Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数.
7、(2004 广州春季高毕)已知向量 a =(x, 3 y ) b =(1,0) , ,且( a + 3 b )
? ? ? ?

. ?(a – 3 b ) ⑴求点 Q(x,y)的轨迹 C 的方程; ⑵设曲线 C 与直线 y ? kx ? m 相交于不同的两点 M、N,又点 A(0,-1) , 当 AM ? AN 时,求实数 m 的取值范围.
8、(2003 上海理)在以 O 为原点的直角坐标系中,点 A(4,-3)为△OAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|,且点 B 的纵坐标大于零.

?

?

⑴求向量 AB 的坐标; ⑵求圆 x 2 ? 6 x ? y 2 ? 2 y ? 0 关于直线 OB 对称的圆的方程; ⑶是否存在实数 a, 使抛物线 y ? ax 2 ? 1 上总有关于直线 OB 对称的两个点? 若不存在,说明理由:若存在,求 a 的取值范围.
x2 y2 9、(1992 理)已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,A、B 是椭圆上的两点,线段 AB a b

的垂直平分线与 x 轴相交于点 P(x0,0).证明: ?

a2 ? b2 a2 ? b2 ? x0 ? . a a

10、(2003 春季北京理)已知动圆过定点 P(1,0) ,且与定直线 l : x ? ?1 相切,

点 C 在 l 上. ⑴求动圆圆心的轨迹 M 的方程; ⑵设过点 P,且斜率为- 3 的直线与曲线 M 相交于 A,B 两点.

2

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(i)问:△ABC 能否为正三角形?若能,求点 C 的坐标;若不能,说明理 由; (ii)当△ABC 为钝角三角形时,求这种点 C 的纵坐标的取值范围. 11、 (1987 文)正方形 ABCD 在直角坐标平面内, 已知其一条边 AB 在直线 y=x+4 2 上,C,D 在抛物线 x=y 上,求正方形 ABCD 的面积。 1 12、(1984 理)求经过定点 M(1,2),以 y 轴为准线,离心率为 的椭圆的左 2 顶点的轨迹方程。
13、(2004 广州春季高毕)若直线 x ? y ? 2 被圆 ( x ? a) ? y ? 4 所截得的弦长为
2 2

2 2 ,则实数 a 的值为

(A)–1 或 3

(B)1 或 3
2

(C)–2 或 6
2

(D)0 或 4

( 14、 (2003 全国理)已知圆 C: x ? a) ? ( y ? 2) ? 4 (a>0) 及直线 l : x ? y ? 3 ? 0 ,

当直线 l 被 C 截得的弦长为 2 3 时,则 a= A. 2 B. 2 ? 2 C. 2 ? 1 D. 2 ? 1
15、(2002 全国理)圆 ( x ? 1) ? y ? 1 的圆心到直线 y ?
2 2





3 x 的距离是 3

(A)

1 2

(B)

3 2

(C) 1
2 2

(D) 3

16、(1999 理)直线 3 x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x ? y ? 4 得的劣弧所对的圆心角为

(A)

? 6

(B)

? 4
2

(C)
2

? 3

(D)

? 2

( C )

17、(1990 新题目组文)圆 x ? y ? 1 上的点到直线 3x ? 4 y ? 25 ? 0 的距离的最

小值是 (A)6

(B)4

(C)5

(D)1

( B )

18、(2003 全国理) 已知常数 a ? 0, 在矩形 ABCD

中,AB=4,BC=4 a ,O 为 AB 的中点,点 E、F、 BE CF DG G 分别在 BC、 DA 上移动, CD、 且 , ? ? BC CD DA P 为 GE 与 OF 的交点(如图) ,问是否存在两个定 点,使 P 到这两点的距离的和为定值?若存在,求 出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.
3

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19、(2003 江苏卷)已知常数 a ? 0 ,向量 c ? (0, a), i ? (1,0). 经过原点 O 以 c ? ?i

为方向向量的直线与经过定点 A (0, 以 i ? 2?c 为方向向量的直线相交于点 P, a) 其中 ? ? R. 试问: 是否存在两个定点 E、 使得|PE|+|PF|为定值.若存在, F, 求出 E、 F 的坐标;若不存在,说明理由. 20、(2002 全国新课程卷理) 平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知两点
A?3,1?, B?? 1,3? ,若点 C 满足 OC ? ? OA ? ? OB ,其中有 ? , ? ? R 且 ? ? ? ? 1 ,则

点 C 的轨迹方程为(
( A)3x ? 2 y ? 11 ? 0
(C )2 x ? y ? 0

)
( B)?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 5
2 2

( D) x ? 2 y ? 5 ? 0

21、(2002 全国新课程卷理) 已知两点 M ?? 1,0?, N ?1,0? ,且点 P 使 MP ? MN ,

PM ? PN , NM ? NP 成公差小于零的等差数列。

⑴点 P 的轨迹是什么曲线? ⑵若点 P 坐标为 ? x0 , y 0 ?,记 ? 为 PM 与 PN 的夹角,求 tan? 。 22、(2002 全国春季)已知椭圆的焦点是 F1 、 F2 , P 是椭圆上的一个动点.如 果延长 F1 P 到 Q ,使得 | PQ |?| PF2 | ,那么动点 Q 的轨迹是( ) (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线 23、(2001 北京内蒙古安徽春季)设动点 P 在直线 x ? 1上, 为坐标原点. OP O 以 为直角边、点 O 为直角顶点作等腰 Rt?OPQ ,则动点 Q 的轨迹是 (A)圆 (B)两条平行直线 (C)抛物线 24、(2000 北京安徽春季理)如图,设点 A 和 B 为抛物线
y 2 ? 4 px? p ? 0? 上原点以外的两个动点,已知 OA⊥OB,

(D)双曲线

OM⊥AB。求点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线。 x 2 y2 ? ?1 , 直 线 25 、 (1995 理 ) 已 知 椭 圆 24 16 x y l : ? ? .P 是 l 上一点,射线 OP 交椭圆于点 R,又 1 1 2 8 点 Q 在 OP 上且满足|OQ|?|OP|=|OR|2.当点 P 在直线 l 上移动时,求点 Q 的轨 迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
26、(1999 理)如图,给出定点 A( a, 0) a ? 0 )和 (

直线 l : x ? ?1. B 是直线 l 上的动点,∠BOA 的角平分线
4

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交 AB 于点 C。求点 C 的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与 a 值的关系。
27、(1985 理)已知两点 P(-2,2) ,Q(0,2)以及一条
y

直线: l :y=x,设长为 2 的线段 AB 在直线 l 上移动,如 图。 求直线 PA 和 QB 的交点 M 的轨迹方程。 (要求把结果 写成普通方程)

P

Q

y=x

O A M B

x

28、(2004 年安徽春季理)抛物线 y ? 6 x 的准线方程为_____.
2

29、(2003 江苏卷)抛物线 y ? ax 的准线方程是 y=2,则 a 的值为(
2



A.

1 8
2

B.-
2

1 8

C.8

D.-8 。

30、(2002 全国理)椭圆 5 x ? ky ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k ?

31、(2002 全国春季)若双曲线

3 x2 y2 x ,则双曲 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 2 4 m

线的焦点坐标是_________.
32、(1994 新考理)设 F1 和 F2 为双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线 4

上满足∠F1PF2=900,则△F1PF2 的面积是 (A)1 (B)
5 2

( A ) (C)2 (D) 5

33、(2000 全国理)过抛物线 y ? ax 2 ?a ? 0? 的焦点 F 作一条直线交抛物线于 P、

Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p 、 q ,则 (A) 2a (B)
1 2a

1 1 ? 等于 p q

(C) 4a

(D)

4 a

34、(2004 年安徽春季理)已知 F1、F2 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦点; a 2 b2

M 为椭圆上一点,MF1 垂直于 x 轴,且∠F1MF2=600,则椭圆的离心率为
5

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(A)

1 2

(B)

2 2

(C)

3 3

(D)

3 2

35、(2003 广东卷) 双曲线虚轴的一个端点为 M,两个焦点为 F1 、F2 ,∠

F1MF2=120°,则双曲线的离心率为 A. 3 B.
6 2

( C.


6 3

D.

3 3

2 2 36、(2003 春季北京理)如图,F1,F2 分别为椭圆 x ? y ? 1 的左、右焦点,点 P a2 b2

在椭圆上,△POF2 是面积为 3 的正三角形,则 b2 的值是

.

x2 y2 37、(2000 全国理)椭圆 ? ? 1 的焦点 F1 、 F2 ,点 P 为其上的动点,当∠ 9 4

F1 P F2 为钝角时,点 P 横坐标的取值范围是
38、(2000 北京安徽春季理)双曲线



x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线互相垂直,那么该 b2 a 2

双曲线的离心率是 (A)2 (B) 3 (C) 2 (D)
3 2

x2 y2 39、 (1996 理)设双曲线 2 ? 2 ? 1 (0 ? a ? b) 的半焦距为 c, 直线 l 过 a , , ( 0) a b

(0,b )两点。已知原点到直线 l 的距离为

3 c ,则双曲线的离心率为 ( A ) 4

(A)2

(B) 3

(C) 2

(D)

2 3 3

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F1,右准线为 l1 。若过 a2 b2 F1 且垂直于 x 轴的弦长等于点 F1 到 l1 的距离,则椭圆的离心率是__________
40、(1999 理)设椭圆 41、(2001 全国理)设抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F, 经过点 F 的直线交抛

物线于 A、B 两点,点 C 在抛物线的准线上,且 BC∥x 轴.证明直线 AC 经过原 点 O.

6

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42、(2001 广东卷)已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E,过椭圆右焦点 2

F 的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且BC∥x 轴?求证直线 AC 经过 线段 EF 的中点. 43、(2001 北京内蒙古安徽春季)已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) .过动点 M( a ,0)
2

且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点 A、B, | AB |? 2 p . ⑴求 a 的取值范围; ⑵若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求 Rt?NAB 面积的最大值. 44、(2002 全国理)设点 P 到点 M (?1,0) 、 N (1,0) 距离之差为 2m ,到 x 轴、 y 轴 距离之比为 2 。求 m 的取值范围。 45、(1983 理)如图,已知椭圆长轴|A1A2|=6,焦距 |F1F2|= 4 2 ,过椭圆焦点 F1 作一直线,交椭圆于两 点 M,N。设∠F2F1M=α (0≤α <π )当α 取什么值 时,|MN|等于椭圆短轴的长?
46、(1997 理)设圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3:1。在满足条件①、②

的所有圆中,求圆心到直线 l : x ? 2 y ? 0 的距离最小的圆 的方程。
47、(2000 全国理)如图,已知梯形 ABCD 中 AB ? 2 CD ,

点 E 分有向线段 AC 所成的比为 ? ,双曲线过 C、D、E 三 点,且以 A、B 为焦点。当 ? ? ? 的取值范围。
48、(1986 理)过点 M(-1,0)的直线 l1 与抛物线

2 3

3 时,求双曲线离心率 e 4

y2=4x 交于 P1、P2 两点。记:线段 P1P2 的中点为 P;过
l 点 P 和这个抛物线的焦点 F 的直线为 l 2 ;1 的斜率为 k。

试把直线 l 2 的斜率与直线 l1 的斜率之比表示为 k 的函 数,并指出这个函数的定义域、单调区间,同时说明 在每一单调区间上它是增函数还是减函数。
7

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49、(2001 广东卷)对于抛物线y =4x上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足|P



Q|≥|a|,则 a 的取值范围是
A. (-∞,0) B. (-∞,2) C. [0,2] D. (0,2)
3 ,已知 2

50、(1990理)设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率 e ?

点P(0,

3 )到这个椭圆上点的最远距离是 7 .求这个椭圆的方程,并求椭圆 2

上到点P的距离等于 7 的点的坐标。 51、(1991理)双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,过双曲线右焦点且 斜率为
3 的直线交双曲线于P、Q两点。若OP⊥OQ,|PQ|=4,求双曲线的方程。 5

52、(1990 文)椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与该椭 圆相交于 P 和 Q,且 OP⊥OQ,|PQ|=
10 . ,求椭圆的方程。 2

53、(1994 新考理)已知直线 l 过坐标原点,抛物线 C 的顶点在原点。焦点在 x

轴正半轴。若点 A(-1,0)和 B(0,8)关于 l 的对称点都在 C 上,求直线 l 和 抛物线 C 的方程。
54、(1996 理)已知 l1 , l 2 是过点 P( ? 2 ,0 )的两条互相垂直的直线,且 l1 , l 2 与

双曲线 y 2 ? x 2 ? 1 各有两交点,分别为 A1、B1 和 A2、B2。 ⑴求 l1 的斜率 k1 的取值范围;⑵若|A1B1|= 5 |A2B2|,求 l1 , l 2 的方程。
55、(1990 文)在△ABC 中,BC 边上的高所在的直线的方程为 x-2y+1=0,∠A

的平分线所在的直线方程为 y=0。若点 B 的坐标为(1,2) ,求点 A 和点 C 的坐 标。
y A O x B(1,2)
P

C

M

N

8

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56、(1993 理)在面积为 1 的△PMN 中,tgM ?

1 , tgN ? ?2 .建立适当的坐标系, 2

求出以 M,N 为焦点且过点 P 的椭圆方程。
57、(1998 理)如图,直线 l1 和 l 2 相交于点 M,

l1 ⊥ l 2 ,点 N ? l1 . 以 A,B 为端点的曲线段 C 上
A

B

的任一点到 l 2 的距离与到点 N 的距离相等.若△
L1

AMN 为锐角三角形,|AM|= 17 ,|AN|=3,且

M L

N

2 |BN|=6.建立适当的坐标系, 求曲线段 C 的方程。 58 、 (2004 年 安 徽春 季理 ) 已知抛物线 C: 2 y ? x 2 ? 4 x ? ,过 C 上一点 M,且与 M 处的切线垂直的直线称为 C 在点 M 的 7 法线. 1 ⑴若 C 在点 M 的法线的斜率为- ,求点 M 的坐标(x0,y0) ; 2 ⑵设 P(-2,a)为 C 对称轴上的一点,在 C 上是否存在点,使得 C 在该 点的法线通过点 P?若有,求出这些点,以及 C 在这些点的法线方程;若没有, 请说明理由. 59、(2003 春季北京理)有三个新兴城镇,分别 位于 A,B,C 三点处,且 AB=AC=a,BC=2b.今 计划合建一个中心医院, 为同时方便三镇, 准备建 在 BC 的垂直平分线上的 P 点处, (建立坐标系如 图) ⑴若希望点 P 到三镇距离的平方和为最小, 点 P 应位于何处? ⑵若希望点 P 到三镇的最远距离为最小, P 点 应位于何处?

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