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成都树德中学高2011级第二期期中考试数学试题


成都树德中学高 2011 级第二期期中考试数学试题
命题
考试时间:120 分钟

牟秀锦
试卷满分:150 分

一、选择题:本大题共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分。每小题所给四个选项中,只有一个选项符合题目要求。 请将所选答案代号填涂在机读卡的相应位置。

2 ,则 cos 2? ? ( ) 2 3 1 1 1 A. ? B. ? C. D. 2 4 2 2 2. 如图所示,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在岸边选定一点 C, 测得 AC 的距离为 50m,∠ACB =45° ,∠CAB =105° ,则可计算出 A、B 两点间的距 离为( )
1.若向量 a ? (cos ?, ) 的模为

?

1 2

A. 50 2m C. 25 2m

B. 50 3m D.

25 2 m 2


3. 等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ,若 4a1 , 2 a2 , a 3 成等差数列,则 S4 ? ( A.7 B.8 C.16

D.15

4.我们把 1,3,6,10,15, ? 这些数叫做三角形数,因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图) ,

1

3 )

6

10

15



则第七个三角形数是(

A.27 B.28 C.29 D.30 5.已知 ?ABC 三内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c ? 2a ,则 cos B ? (



2 3 C. 4 4 6.在 ?ABC 中, sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是(
A.

1 4

B.

D. )

2 3

A. (0, ]

?

6

B. [ , ? )

?

6

C. (0, ]

?

3

D. [ , ? )

?

3

7.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,a1=1,当 n ? 2 时, an ? 2 Sn ?1 ? n ,则 S2011=( A.1005 B.1006 C.1007

) D.1008

8.已知 {an } 是等比数列, a 3 , a 8 是关于 x 的方程 x 2 ? 2 x sin ? ? 3sin ? ? 0 的两根,且 (a3 ? a8 )2 ? 2a2a9 ? 6 , 则锐角 ? 的值为( A. ) B.

?
6

?
4

C.

?
3
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D.

5? 12

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9.化简 Sn ? n ? (n ? 1) ? 2 ? (n ? 2) ? 22 ? (n ? 3) ? 23 ? ? ? 2 ? 2n?2 ? 2n?1 的结果是( A. 2n ?1 ? n ? 2 B. 2n ?1 ? n ? 2 C. 2 n ? n ? 2

) D. 2n ?1 ? n ? 2

1 ? 2an (0 ? an ? ) ? 3 ? 2 ,若 10.数列 {an } 满足 an ?1 ? ? a1 = ,则 a2011 = ( 5 ?2a ? 1 (1 ? a ? 1) n n ? ? 2
A.



1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5
??? ? ???? ?

11. 已知 {an } 是等差数列, 若 S21 ? S4000 , O 为坐标原点, 点 P(2, an ) 、 则O Q(2011, a2011 ) , Sn 为其前 n 项和, PO Q ? ( ) A.2011 B.4022 C.0 D.1 )

12.在数列{an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ? ) ? 2n (n ? N ? ) ,其中 ? ? 0 ,则 a2011 ? ( A. 2011? 2011 ? 22011 B. 2010? 2010 ? 22010 C. 2011? 2010 ? 22010

D. 2010? 2011 ? 22011

二、填空题:本大题共 4 个小题,每题 4 分,共 16 分。请将答案填在答题卷的相应位置。 13. 设数列 {an } 的通项公式为 an ? ?2n ? 27 ,Sn 是数列 {an } 的前 n 项和, 则当 n ? 时,Sn 取得最大值。

? 2 cos(? ? ) 1 4 ? 14. 已知 tan(? ? ?) ? ? ,则 cos ? ? sin ? 3



15.若两个等差数列 {an } 、 {bn } 的前 n 项和分别为 Sn 、 Tn ,对任意的 n ? N * 都有

S n 2n ? 1 ? ,则 Tn 4n ? 3

a4 a8 ? = b5 ? b7 b3 ? b9



16.已知一非零“向量数列” {an } 满足: a1 ? (1,1) , an ? ( xn , yn ) ? ( xn?1 ? yn?1, xn?1 ? yn?1 ) ( n ? 2, n ? N * ) 。给出 下列四个结论: ①数列 {| an |} 是等差数列;

?? ?

?? ?

?? ?

1 2

?? ?

1 ; 2 ?? ? ③设 bn ? 2log2 | an | ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,当且仅当 n=2 时, Tn 取得最大值;
② | a1 | ? | a5 |? ④记向量 an 与 an ?1 的夹角为 ? n (n ? 2) ,则均有 ?n ? 其中所有正确结论的序号是 。

?? ?

?? ?

?? ?

????

?
4



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成都树德中学高 2011 级第二期期中考试数学试题 答题卷
二、填空题: 13. ; 14. ;15. ;16. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分。解答必须写出必要的文字说明或解答过程。 17. (12 分)已知 ? 为第二象限的角, sin ? ? (Ⅰ) tan(? ? ? ) 的值; (Ⅱ) cos(2? ? ? ) 的值。 。

3 4 , ? 为第三象限的角, tan ? ? 。求: 3 5

18. (12 分)设数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 3 ? 22n?1 。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? nan ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn 。

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19. (12 分)已知向量 a ? (sin x,cos x) , b ? (6sin x ? cos x,7sin x ? 2cos x) 。设函数 f ( x ) ? a ? b 。 (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值及此时 x 的取值集合; (Ⅱ)在角 A 为锐角的 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, f ( A) ? 6 且 ?ABC 的面积为 3,

?

?

? ?

b ? c ? 2 ? 3 2 ,求 a 的值。

20. (12 分)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业。根据规划, 本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少 。本年度当地旅游业收入估计为 400 万元,由于该项建设对 旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加

1 5

1 。 4

(Ⅰ)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出 an , bn 的表达式; (Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?

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21. (12 分) 已知函数 f ( x) ? P 的横坐标为

1 ( x ? R) ,点 P 2 ( x2 , y2 ) 是函数 f ( x ) 图象上的任意两点,且线段 P 1 (x1 , y1 ) 、 P 1P 2 的中点 4 ?2
x

1 。 2 1 m 2 m 3 m k m m ?1 m ) , am ? f ( ) m m

(Ⅰ)求证:点 P 的纵坐标为定值; (Ⅱ)在数列 {an } 中,若 a1 ? f ( ) , a2 ? f ( ) , a3 ? f ( ) , ? , ak ? f ( ) , ? , am?1 ? f (

( m ? N *) ,求数列 {an } 的前 m 项和 Sm 。

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22. (14 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ?

1 2 11 n ? n 。数列 {bn } 满足 bn ?2 ? 2bn ?1 ? bn ? 0 ( n ? N? ),且 2 2

b3 ? 11 , b1 ? b2 ? ? ? b9 ? 153 。
(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? 大正整数 k 的值;

3 k ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,求使不等式 Tn ? 对一切 n ? N? 都成立的最 (2 an ? 11)(2 bn ?1) 57

? 1, l ? N )? ? an ( n ? 2 l ? (Ⅲ)设 f (n ) ? ? , 是否存在 m ? N? ,使得 f (m ? 15) ? 5 f (m) 成立?若存在,求出 m ? ? ?bn (n ? 2l , l ? N )
的值;若不存在,请说明理由。

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成都树德中学高 2011 级第二期期中考试数学试题 参考答案及评分标准
一、选择题:BADBC CBCDB BD 二、填空题:13.13;14. 2;15. 三、解答题 17.解: (Ⅰ)因为 ? 为第二象限的角, sin ? ?

21 ;16.②④。 41 3 4 ,所以 cos? ? ? 1 ? sin2 ? ? ? ………………………1 分 5 5

sin ? 3 ? ? ………………………………………………………………………………………2 分 cos? 4 tan ? ? tan ? 7 4 ? 又 tan ? ? ,所以 tan(? ? ? ) ? …………………………………………………4 分 1 ? tan ? ? tan ? 24 3 4 4 3 (Ⅱ)因为 ? 为第三象限的角, tan ? ? ,所以 sin ? ? ? , cos ? ? ? ……………………………6 分 3 5 5 24 7 又 sin2? ? 2sin ? cos? ? ? , cos2? ? 1 ? 2sin 2 ? ? …………………………………………10 分 25 25 7 3 24 4 75 3 所以 cos(2? ? ? ) ? cos2? cos ? ? sin2? sin ? ? ? (? ) ? (? ) ? ? ? …………………12 分 25 5 25 5 125 5 tan ? ?
18.解: (Ⅰ)由已知,当 n ? 1 时, an?1 ? [(an?1 ? an ) ? (an ? an ?1 ) ? ? ? (a2 ? a1 )] ? a1 ? 3(22n?1 ? 22n?3 ? ? ? 2) ? 2

? 22 n ?1 ? 22( n ?1) ?1 。………………………………………………………………………………………4 分
而 a1 ? 2 ,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 22n?1 (n ? N *) …………………………………………6 分 (Ⅱ)由 bn ? nan ? n ? 22n?1 知 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ? ? ? n ? 22n?1 ……………………① 从而 22 Sn ? 1? 23 ? 2 ? 25 ? 3 ? 27 ? ? ? n ? 22n?1 ……………………….. ②……………………………8 分 ①-②得 (1 ? 22 ) ? Sn ? 2 ? 23 ? 25 ? ? ? 22n?1 ? n ? 22 n?1 。………………………………………………10 分 即 Sn ? [(3n ? 1)22n?1 ? 2] 。…………………………………………………………………………12 分 19.解: (Ⅰ) f ( x) ? a ? b ? sin x(6sin x ? cos x) ? cos x(7sin x ? 2cos x) ? 6sin 2 x ? 2cos2 x ? 8sin x cos x

1 9

? ?

? 4sin2 x ? 4cos2 x ? 2 ? 4 2 sin(2 x ? ) ? 2 …………………………………………4 分 4 ? ? 3? 令 2 x ? ? ? 2k? (k ? Z ) 得 x ? ? k? (k ? Z ) , ? f ( x)max ? 4 2 ? 2 , 此 时 x 的 集 合 为 4 2 8 3? {x | x ? ? k? , k ? Z } ……………………………………………………………………………………………6 分 8 ? 2 ? (Ⅱ)由(I)可得 f ( A) ? 4 2 sin(2 A ? ) ? 2 ? 6 ? sin(2 A ? ) ? 。 4 2 4 ? ? ? 3? ? ? ? 因为 0 ? A ? ,所以 ? ? 2 A ? ? 。从而 2 A ? ? ,? A ? ………………………………8 分 2 4 4 4 4 4 4
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?

又? S ?ABC ?

1 2 bc sin A ? bc ? 3 ? bc ? 6 2 ……………………………………………………………10 分 2 4

又b?c ? 2?3 2 ,

? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c ) 2 ? 2bc ? 2bc ?

2 2 ? (2 ? 3 2)2 ? 12 2 ? 2 ? 6 2 ? ? 10 2 2

?a ? 10 ……………………………………………………………………………………………………12 分
20.解: (I)第 1 年投入为 800 万元,第 2 年投入为 800 ? (1 ? ) 万元,…,第 n 年投入为 800 ? (1 ? )n?1 万元, 所以,n 年的总收入为
n 1 1 1 4 an ? 800 ? 800 ? (1 ? ) ? ? ? 800 ? (1 ? )n?1 ? ? 800 ? (1 ? )k ?1 ? 4000 ? [1 ? ( )n ] ……………………3 分 5 5 5 5 k ?1

1 5

1 5

第 1 年旅游业收入为 400 万元,第 2 年旅游业收入为 400 ? (1 ? ) 万元, … ,第 n 年旅游业收人为

1 4

1 400 ? (1? )n?1 万元。所以,n 年内的旅游业总收入为 4
n 1 1 1 5 bn ? 400 ? 400 ? (1 ? ) ? ?? ? 400 ? (1 ? )n ?1 ? ? 400 ? (1 ? )k ?1 ? 1600 ? [( )n ? 1] …………………6 分 4 4 4 4 k ?1

(Ⅱ)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn ? an ? 0 ,

5 4 4 4 即 1600 ? [( )n ? 1] ? 4000 ? [1 ? ( )n ] ? 0 , 化简得5 ? ( )n ? 2 ? ( )n ? 7 ? 0 ……………………………9 分 4 5 5 5 4 n 2 设x ? ( ) , 代入上式 5x 2 ? 7 x ? 2 ? 0 , 解此不等式得 x ? , x ? 1(舍去) ,由此得n ? 5 。 5 5 4 2 即( )n ? ,由此得n ? 5 。 5 5
答:至少经过 5 年旅游业的总收入才能超过总投入。……………………………………………………12 分 1 1 21. (Ⅰ)证明:由题意, (x1+x2)= ,所以 x1+x2=1………………………………………………………1 分 2 2 4x1+4x2+4 4 x1+4 x2+4 4 x1+4 x2+4 1 1 1 此时 y1+y2= x + = = = = ……………4 分 + 4 1+2 4x2+2 (4x1+2)(4x2+2) 4 x1 x2+2(4 x1+4 x2)+4 2(4 x1+4 x2+4) 2 1 ∴点 P 的纵坐标为定值 。……………………………………………………………………………………5 分 4 m -k 1 1 k m-k k (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当 x1+x2=1 时,y1+y2= 。由 P1、P2 的任意性,且 + =1,有 f( )+f( )= 。 2 m m m m 2 …………………………………………………………………………………………………………………6 分 m-2 m-1 1 2 ∵Sm=a1+a2+……+am=f( )+f( )+……+f( )+f( )+f(1) ……① m m m m m-1 m-2 2 1 又 Sm=f(1)+f( )+f( )+……+f( )+f( )……②………………………………………………8 分 m m m m m-1 m-2 m-1 1 2 1 1 1 ①+②得:2Sm=2f(1)+[f( )+f( )]+[f( )+f( )]+……+[f( )+f( )]……,且 f(1)= = 。 m m m 2 m m 4+2 6 ………………………………………………………………………………………………………………10 分
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1 m-1 1 1 ∴2Sm= + = (3m-1)。∴Sm= (3m-1)。………………………………………………………12 分 3 2 6 12 22.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时,

a1 ? S1 ? 6 ;

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? ( n2 ?

1 2

11 1 11 n) ? [ (n ? 1)2 ? (n ? 1)] ? n ? 5 。 2 2 2

而 a1 ? 6 满足上式。∴ an ? n ? 5(n ? N *) 。 又 bn ?2 ? 2bn ?1 ? bn ? 0 即 bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn ,?{bn } 是等差数列。设公差为 d。

?b1 ? 2d ? 11 又 b3 ? 11 , b1 ? b2 ? ? ? b9 ? 153 ? ? 解得 b1 ? 5, d ? 3 。 ?9b1 ? 36d ? 153
∴ bn ? 3n ? 2 …………………………………………………………………………………………………. 6 分 (Ⅱ) cn ?

3 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (2an ? 11)(2bn ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 n ?Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? [(1 ? ) ? ( ? )+?+( ? )] ? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
? Tn ?1 ? Tn ? n ?1 n 1 ? ? ?0 2n ? 3 2n ? 1 (2n ? 3)(2n ? 1)

1 1 k ,得 k ? 19 ? kmax ? 18 。…………………………………. 10 分 ? Tn 单调递增, (Tn )min ? T1 ? 。令 ? 3 3 57
(Ⅲ) f (n ) ? ?
? ? ?an (n ? 2l ? 1 , l ? N ) ? ? ?bn (n ? 2l , l ? N )

(1)当 m 为奇数时, m ? 15 为偶数。∴ 3m ? 47 ? 5m ? 25 , m ? 11 。 (2)当 m 为偶数时, m ? 15 为奇数。∴ m ? 20 ? 15m ? 10 , m ?

5 。 ? N? (舍去) 7

综上,存在唯一正整数 m ? 11 ,使得 f (m ? 15) ? 5 f (m) 成立。…………………………………….14 分

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