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向量组线性相关性的几种判定方法


2008 年 3 月 58 第1期

伊犁师范学院学报(自然科学版) 伊犁师范学院学报(自然科学版) Journal of Yili Normal University(Natural Science Edition)

Mar.2008 2008 年 No.1

向量组线性相关性的几种判定方法
肖艾平
(连云港师范高等专科学校 初等教育系,江苏 连云港 222006)

摘 要:将行列式的值、矩阵的秩、齐次线性方程组的解等知识运用于向量组线性相关性判 定,归纳出六种判定向量组线性相关性的方法. 关键词:向量组;线性相关;线性无关;判定方法 中图分类号:O151 文献标识码:A 文章编号:1673—999X(2008)01—0058—02 在线性代数的学习中,向量线性相关性的判定很难理解和掌握. 向量线性相关性是线性相关和线性无 关的统称,而向量组的线性相关和线性无关是相对的,只要掌握了向量组的线性相关的判定,向量组的线 性无关的判定就同时解决了. 本文将判定向量组的线性相关的几种常用方法归纳如下: 1 定义法 这是判定向量组的线性相关性的基本方法,既适用于分量没有给出的抽象向量组,也适用于分量已经 给出的具体向量组. 定义 设向量组 α1 , α 2 , , α s ( s ≥ 1) ,若数域 F 中存在不全为零的数 k1 , k2 , , ks ,使得 k1α1 + k2α 2 + + ksα s = 0 ,则称向量组 α1 , α 2 , , α s 线性相关,否则,则称向量组 α1 , α 2 , , α s 线性无关. 例 1:设 β1 = α1 + α 2 , β 2 = α 2 + α 3 , β 3 = α 3 + α 4 , β 4 = α 4 + α1 , 证明向量组 β1 , β 2 , β3 , β 4 线性相关. 证明:设存在四个数 k1 , k2 , k3 , k4 ,使得 k1α1 + k2α 2 + k3α 3 + k4α 4 = 0 ,将 β1 = α1 + α 2 , β 2 = α 2 + α 3 , β 3 = α 3 + α 4 , β 4 = α 4 + α1 , 代入上式整理得 (k1 + k4 )α1 + (k1 + k2 )α 2 + (k2 + k3 )α 3 + (k3 + k4 )α 4 = 0 , 令 k1 = k3 = 1 , k2 = k4 = ?1 , 则 有 k1α1 + k2α 2 + k3α 3 + k4α 4 = 0 , 所 以 由 线 性 相 关 的 定 义 知 , 向 量 组 β1 , β 2 , β3 , β 4 线性相关. 2 利用向量组的线性相关的充要条件 向量组 α1 , α 2 , , α s ( s ≥ 2) 的线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表出;

而对于单个向量 α , α 线性相关的充要条件是 α = 0 . 如例 1, β 4 = β1 + β 3 ? β 2 ,即 β 4 可由其余三个向量线性表出,故向量组 β1 , β 2 , β3 , β 4 线性相关. 3 方程组法 方程组法就是将向量组的线性相关性问题转化为齐次线性方程组的有无非零解的问题. 对于各分量都给出的向量组 α1 , α 2 , , α s 线性相关的充要条件是以 α1 , α 2 , , α s 的列向量为系数矩阵的 例 2:讨论向量组 α1 = ( 2,1, ?1, ?1) , α 2 = ( 0,3, ?2, 0 ) , α 3 = ( 2, 4,3, ?1) 的线性相关性.
+ 2 k3 = 0 ? 2k1 ? k + 3k + 4k = 0 ? 2 3 解:以 α1 , α 2 , α 3 为系数的齐次线性方程组是 ? 1 ?k1 ? 2k 2 + 3k3 = 0 ? ? ?k1 ? k3 = 0 ?
收稿日期:2007―10―17 作者简介:肖艾平(1977—) ,女,江苏连云港人,助教,主要研究代数方向.

齐次线性方程组有非零解;若齐次线性方程组只有零解,则向量组线性无关.

第1期

肖艾平:向量组线性相关性的几种判定方法

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解之得 k1 = ? k3 , k2 = ?k3 ,即 k1 = k2 = ?1, k3 = 1 是方程组的一组非零解,故 α1 , α 2 , α 3 线性相关. 4 矩阵秩法 矩阵秩法就是将向量组构成矩阵,利用矩阵的初等变换,将矩阵化为阶梯形矩阵. 当矩阵的秩小于向 量的个数,向量线性相关;当矩阵的秩等于向量的个数,向量线性无关. 如上例 2,以 α1 , α 2 , α 3 为列向量组的矩阵 A,进行初等行变换,得

? 2 0 2 ? ?1 ? 1 3 4 ? ?0 ? ?→? ? ?1 ?2 3 ? ?0 ? ? ? ? ?1 0 ?1? ?0

0 1? 1 1? ? 0 0? ? 0 0?

由最后阶梯形矩阵的秩知原矩阵的秩为 2,小于向量组的个数 3. 故 α1 , α 2 , α 3 线性相关. 上面是以 α1 , α 2 , α 3 为列向量组构造矩阵,根据矩阵的行秩与列秩的关系,用 α1 , α 2 , α 3 为行向量组构造 矩阵,再进行初等行(列)变换也可以得到相同的结果. 5 行列式值法 若向量组 α1 , α 2 , , α s 是由 s 个 s 维向量所组成的向量组,且向量组 α1 , α 2 ,
A = ( α1 , α 2 ,

, α s ) ,即 A 为 s 阶方阵. 则

, α s 所构成的矩阵为

(1)当 A = 0 ,则向量组 α1 , α 2 , (2)当 A ≠ 0 ,则向量组 α1 , α 2 , 6

, α s 线性相关;
, α s 线性无关.

反证法 此方法是数学中常用的证明方法,欲证命题真,先假设命题假,导出矛盾,从而原命题得证. 例 3:若 α1 , α 2 , , α m 线性无关,若 α m +1 = k1α1 + k2α 2 + + kmα m 且 ki ≠ 0 ( i = 1, 2, , m ). 证: α1 , α 2 , , α m , α m +1 中任意 m 个向量线性无关. 证:由已知得, α m +1 用 α1 , α 2 , , α m 表示,且表达式唯一. 设 α1 , , α i ?1 , α i +1 , , α m +1 (1 ≤ i ≤ m + 1) 线性相关,则存在不全为零的数 k1 , k2 , , km +1 ,使得 k1α1 + + ki ?1α i ?1 + ki +1α i +1 + + km +1α m +1 = 0 且 km +1 ≠ 0 ,所以
k1 α1 + km +1 + ki ?1 k α i ?1 + i +1 ki +1α i +1 + km +1 km +1 + km k α m = 1 α1 + km +1 km +1 + ki ?1 k α i ?1 + 0α i + i +1 ki +1α i +1 + km +1 km +1 + km αm , km +1

α m +1 =

其中 α i 的系数为零,与条件中 ki ≠ 0 矛盾. 从而结论成立. 当然,判断向量组线性相关性还有一些结论,如 n+1 个 n 维向量必线性相关,属于同一矩阵的不同特 征值的特征向量线性无关等. 以上归纳了判断向量组线性相关性的几种方法,在判定向量组线性相关或线性无关时,需根据条件灵 活运用. 参考文献: [1]北京大学数学系几何与代数研究室代数小组.高等代数(第二版)[M],1988. [2]蓝以中.高等代数简明教程[M].北京大学出版社,2002. [3]杨儒生,朱平天.线性代数题解集[M].江苏教育出版社,1996. [4]丘维生.高等代数(第二版)[M].高等教育出版社,2002. [责任编辑:新柳] Several Kinds of Methods for Judging the Related Linearity of Vectors Group XIAO Ai-ping
(Lianyungang Teacher’ College, Lianyungang 222006, Jiangsu)

Abstract: The judging methods of the vectors group related dependence from determinant values, rank of matrix, solution of system of linear equations etc were studied. This paper induces six kinds of methods for judging the related linearity of vectors group. Key words: vectors group; related Linearity; irrelevant linearity; judging methods


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