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3.3.4 两条平行直线间的距离


3.3.3 3.3.4

点到直线的距离

两条平行直线间的距离
整体设计

教学分析 点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容, 它是解决点线、 线线间的距离的 基础,也是研究直线与圆的位置关系的主要工具. 点到直线的距离公式的推导方法很多,可探究的题材非常丰富.除了本节课可能探究到的方 法外,还有应用

三角函数、应用向量等方法.因此“课程标准”对本节教学内容的要求是: “探索并掌握点到直线的距离公式,会求两条平行线间的距离.”希望通过本节课的教学, 能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法, 学会利用数 形结合思想,化归思想和分类方法,由浅入深,由特殊到一般地研究数学问题,培养学生的 发散思维.根据本节课的内容特点, 学习方法为接受学习与发现学习相结合.学生的探究并不 是漫无边际的探究, 而是在教师引导之下的探究; 教师也要提供必要的时间和空间给学生展 示自己思维过程,使学生在教师和其他同学的帮助下,充分体验作为学习主体进行探索、发 现和创造的乐趣. 三维目标 1.让学生掌握点到直线的距离公式,并会求两条平行线间的距离. 2.引导学生构思距离公式的推导方案,培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力,鼓励 创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神,学会合作. 重点难点 教学重点:点到直线距离公式的推导和应用. 教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.点 P(0,5)到直线 y=2x 的距离是多少?更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点 P 的坐标为(x0,y0),直线 l 的方程是 Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点 P 到 直线 l 的距离呢?这节课我们就来专门研究这个问题. 思路 2.我们已学习了两点间的距离公式, 本节课我们来研究点到直线的距离.如图 1,已知点 P(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0,求点 P 到直线 l 的距离(为使结论具有一般性,我们假设 A、 B≠0).

图1 推进新课 新知探究 提出问题 ①已知点 P(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0, 求点 P 到直线 l 的距离.你最容易想到的方法是什么?

各种做法的优缺点是什么? ②前面我们是在 A、B 均不为零的假设下推导出公式的,若 A、B 中有一个为零,公式是否仍 然成立? ③回顾前面证法一的证明过程,同学们还有什么发现吗?(如何求两条平行线间的距离) 活动: ①请学生观察上面三种特殊情形中的结论: (ⅰ)x0=0,y0=0 时,d=

|C | A2 ? B 2

;(ⅱ)x0≠0,y0=0 时,d=

| Ax0 ? C | A ?B
2 2



(ⅲ)x0=0,y0≠0 时,d=

| By0 ? C | A2 ? B 2

.

观察、类比上面三个公式,能否猜想:对任意的点 P(x0,y0),d=? 学生应能得到猜想:d=

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

.

启发诱导:当点 P 不在特殊位置时,能否在距离不变的前提下适当移动点 P 到特殊位置,从 而可利用前面的公式?(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质,作平行线,把一 般情形转化为特殊情形来处理) 证明:设过点 P 且与直线 l 平行的直线 l1 的方程为 Ax+By+C1=0,令 y=0,得 P′( ?

C1 ,0). A

| A ? (?
∴P′N= (*) ∵P 在直线 l1:Ax+By+C1=0 上, ∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0. 代入(*)得|P′N|=

C1 )?C | | C ? C1 | A ? 2 2 A ?B A2 ? B 2

.

| C ? Ax0 ? By0 | A2 ? B 2
,.

即 d=

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

②可以验证,当 A=0 或 B=0 时,上述公式也成立. ③引导学生得到两条平行线 l1:Ax+By+C1=0 与 l2:Ax+By+C2=0 的距离 d=

| C1 ? C 2 | A ?B
2 2

.

证明:设 P0(x0,y0) 是直线 Ax+By+C2=0 上任一点,则点 P0 到直线 Ax+By+C1=0 的距离为 d=

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

.

又 Ax0+By0+C2=0,即 Ax0+By0=-C2,∴d=

| C1 ? C 2 | A2 ? B 2

.

讨论结果: ①已知点 P(x0,y0) 和直线 l:Ax+By+C=0 ,求点 P 到直线 l 的距离公式为 d=

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

.

②当 A=0 或 B=0 时,上述公式也成立. ③两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离公式为 d= 应用示例 思路 1 例 1 求点 P0(-1,2)到下列直线的距离: (1)2x+y-10=0;(2)3x=2. 解:(1)根据点到直线的距离公式得 d=

| C1 ? C 2 | A2 ? B 2

.

| 2 ? (?1) ? 2 ? 10 | 2 2 ? 12
2 5 -(-1)|= . 3 3

?

10 5

?2 5.

(2)因为直线 3x=2 平行于 y 轴,所以 d=|

点评:例 1(1)直接应用了点到直线的距离公式,要求学生熟练掌握;(2)体现了求点到直线 距离的灵活性,并没有局限于公式. 变式训练 点 A(a,6)到直线 3x-4y=2 的距离等于 4,求 a 的值. 解:

| 3a ? 4 ? 6 ? 2 | 32 ? 4 2

=4 ? |3a-6|=20 ? a=20 或 a=

46 . 3

例 2 已知点 A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC 的面积. 解:设 AB 边上的高为 h,则 S△ABC=

1 |AB|·h. 2

2 2 |AB|= (3 ? 1) ? (1 ? 3) ? 2 2 ,

AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离. AB 边所在的直线方程为

y ? 3 x ?1 ? ,即 x+y-4=0. 1? 3 3 ?1

点 C 到 x+y-4=0 的距离为 h=

| ?1 ? 0 ? 4 | 12 ? 12

?

5 2



因此,S△ABC=

1 5 ×2 2 ? =5. 2 2

点评:通过这两道简单的例题,使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用,能逐步体会 用代数运算解决几何问题的优越性. 变式训练

求过点 A(-1,2),且与原点的距离等于

2 的直线方程. 2

解:已知直线上一点, 故可设点斜式方程, 再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为 x+y-1=0 或 7x+y+5=0. 例 3 求平行线 2x-7y+8=0 和 2x-7y-6=0 的距离. 解:在直线 2x-7y-6=0 上任取一点,例如取 P(3,0),则点 P(3,0)到直线 2x-7y+8=0 的距离就是 两平行线间的距离.因此, d=

| 2?3? 7?0 ? 8 | 2 2 ? (?7) 2

?

14 53

?

14 53 . 53

点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离. 变式训练 求两平行线 l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0 的距离. 答案:

2 3 . 13

知能训练 课本本节练习. 拓展提升 问题:已知直线 l:2x-y+1=0 和点 O(0,0)、M(0,3),试在 l 上找一点 P,使得||PO|-|PM|| 的值最大,并求出这个最大值. 解:点 O(0,0)关于直线 l:2x-y+1=0 的对称点为 O′(则直线 MO′的方程为 y-3=

4 2 , ), 5 5

13 x. 4
8 11 ,? )即为所求, 15 5

直线 MO′与直线 l:2x-y+1=0 的交点 P( ?

相应的||PO|-|PM||的最大值为|MO′|=

185 . 5

课堂小结 通过本节学习,要求大家: 1.掌握点到直线的距离公式,并会求两条平行线间的距离. 2.构思距离公式的推导方案,培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力,鼓励创新.培 养学生勇于探索、善于研究的精神,学会合作. 3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离, 后者实际上可作为前 者的变式应用. 作业 课本习题 3.3 A 组 9、10;B 组 2、4.


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