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第64讲 排列与组合综合应用问题


进一步理解排列、组合的概念, 掌握排列、组合数公式;提高灵活 应用排列、组合知识及其基本方法、 技巧分析和解决有关应用问题的能 力.

1.求解排列与组合的综合应用题的三条 途径 (1)以① 元素为分析对象 ,先满足特殊 元素的要求,再考虑其他元素,即优元法. (2)以② 位置为分析对象 ,即先满足特殊 位置的要求,再考虑其他位置,即优位法. 这两种方法都是③ 直接法 . (3)先不考虑附加条件,计算出所有排 列数或组合数,再减去不符合要求的排列 数或组合数,即④ 间接法 .

2.解排列、组合题的“十六字方针, 十二个技巧” (1)“十六字方针”是解排列、组合题 的 基 本 分类相加、分步相乘、即 规 律 , ⑤ 有序排列、无序组合 . .

(2)“十二个技巧”是解排列、组合题 的捷径,即: 相邻问题捆绑法;
不相邻问题插空法;

多排问题单排法; 定序问题倍缩法; 定位问题优先法; 有序分配问题分步法; 多元问题分类法; 交叉问题集合法; 至少(或至多)问题间接法; 选排问题先取后排法; 局部与整体问题排除法; 复杂问题转化法.

3.解答组合应用题的总体思路 (1)⑥ 整体分类 .从集合的意义讲,分类要
做到各类的并集等于全集,以保证分类的不 遗漏,任何两类的交集等于空集,以保证分 类的不重复,计算结果是使用分类计数原理. (2)⑦ 局部分步 .整体分类以后,对每一类 进行局部分步,分步要做到步骤连续,以保证 分步的不遗漏.同时步骤要独立,以保证分步 的不重复.计算结果时用分步计数原理.

(3)辩证地看待“元素”与“位 置”.排列、组合问题中的元素与位 置,没有严格的界定标准,哪些事 物看成元素或位置,要视具体情况 而定,有时“元素选位置”,问题 解决得简捷,有时“位置选元素”, 效果会更好.

1.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种, 分别种在不同土质的三块土地上, 其中黄瓜必须种植, 不 同的种植方法有( A.24 种 C.12 种 ) B.18 种 D.6 种

【解析】有 C2· 3=18 种不同种植法. 3 A3

2.方程 Cx =C3x 8的解集为( 28 28 A.{4} C.{(4,9)}



) B.{9} D.{4,9}

【解析】由 x=3x-8,解得 x=4. 由 28-x=3x-8,解得 x=9. 所以方程 Cx =C3x 8的解集为{4,9}. 28 28


3.从 A、B、C、D、E 五名学生中,选出四名学生参加数 学、物理、化学、英语竞赛,其中 A 不参加物理、化学竞 赛,每人只参加一项竞赛,则不同的参赛方案种数为( ) A.24 C.120 B.48 D.72

【解析】 分选 A 和不选 A 二类情况,若不选 A 有 A4种,若 4 选 A,应先选人有 C1C3种,再排科目,A1A3种,故 C1C3A1A3 1 4 2 3 1 4 2 3 种.所以总方案为 A4+C1C3A1A3=72.故选 D. 4 1 4 2 3

4.过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条,其中异面直 线有( ) B.24 对 D.36 对

A.18 对 C.30 对

【解析】 以三棱柱 6 个顶点中 4 个顶点为顶点的三棱锥共 C4-3=12 个.每个三棱锥含三组对棱是三对异面直线,故 6 共有 36 对异面直线,选 D.

5.用 0,1,2,?,9 十个数字组成五位数,其中含 3 个奇 数字与 2 个偶数字且数字不同的五位数有 11040 .

【解析】 ①含 0 的:有 C3C1A4A1种; 5 4 4 4

②不含 0 的: C3C2A5种.共有 C3C1A4A1+C3C2A5=11040 个. 有 5 4 5 5 4 4 4 5 4 5

一 分组分配问题
【例 1】有 6 本不同的书按下列方式分配,问共有 多少种不同的分配方式? (1)分成 1 本、2 本、3 本三组; (2)分给甲、乙、丙三人,其中 1 人一本,1 人两 本,1 人三本; (3)平均分成三组,每组 2 本; (4)分给甲、乙、丙三人,每个人选 2 本.

【解析】 (1)分三步:先选一本有 C1种选法;再从余下 6 的 5 本中选两本有 C2种选法; 最后余下的三本全选有 C3种选 5 3 法.由分步计数原理知,分配方式共有 C1· 2· 3=60 种. 6 C5 C3 (2)由于甲、乙、丙是不同的三个人,在(1)的基础上,还 应考虑再分配问题,分配方式共有 C1· 2· 3· 3=360 种. 6 C5 C3 A3

(3)先分三步,则应是 C2· 2· 2种方法,但是这里面出现了 6 C4 C2 重复,不妨设六本书为 A,B,C,D,E,F,若第一步取了 AB, 第二步取了 CD, 第三步取了 EF, 记该种分法为(AB, CD, EF), 则 C2· 2· 2种方法中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD, 6 C4 C2 EF,AB),(EF,CD,AB)(EF,AB,CD),共 A3种情况,而且 3 这 A3种情况仅是 AB,CD,EF 的顺序不同,因此,只能作为一 3 C2· 2· 2 6 C4 C2 种分法,故分配方式有 A3 =15 种. 3 (4) 在 问 题 (3) 的 基 础 上 再 分 配 即 可 , 共 有 分 配 方 式 C2· 2· 2 3 6 C4 C2 · 3=C2· 2· 2=90 种. 3 6 C4 C2 A3 A

【点评】 平均分组问题应防止重复的情况, 如{1,2}, {3,4}, {5,6}与{1,2},{5,6},{3,4}是同一分组.一般来说,km 个不同
m m Ckm· m -1?m?Cm C?k 元素分成 k 组,每组 m 个,则不同的分法有 种. Ak k

素材1

某班级要从 4 名男生、 名女生中选派 4 人参加某 2 次社区服务中的 2 项服务工作,如果要求至少有 1 名 女生参加,且每项工作均由 2 人承担,那么不同的选 派方案种数为 84 种.

【解析】 先从 6 人中依题设选 4 人, C1C3+C2C2种, 有 2 4 2 4 然后将 4 人平均分配承担 2 项工作,有 C2C2种,共有 4 2 (C1C3+C2C2)C2C2=84 种. 2 4 2 4 4 2



数字排列和位置排列问题

【例 2】用 0,1,2,3,4,5,组成没有重复数字的数: (1)能组成多少个六位数; (2)能组成多少个六位奇数; (3)能组成多少个能被 5 整除的六位数; (4)能组成多少个比 240135 大的数.

【解析】(1)第一位不能是 0,有 A1种方法,其它各位有 5 A5种方法,共有六位数的个数是 A1A5=600. 5 5 5 (2)要使六位数为奇数, 其个位数字必须是 1 或 3 或 5, 所 以所求六位奇数的个数是 A1A1A4=288. 3 4 4 (3)要使六位数能被 5 整除, 个位数字必须是 0 或 5, 当个 位数字是 0 时,有 A5个;当个位数字是 5 时,有 4A4个,因 5 4 此,能被 5 整除的六位数的个数是 A5+4A4=216. 5 4

(4)要比 240135 大,首先必须是六位数,有以下几类:首 位数是 3 或 4 或 5 时各有 A5个;首位数字是 2,第二位数字是 5 4 或 5, 但不包含 240135 在内, 2A4-1 个, 有 4 因此共有比 240135 大的数是 3A5+2A4-1=407. 5 4

【点评】排数字问题是排列组合中最常见的一种题 型.这种问题应把握住在排数字时,如首位和末位等这些 特殊的位置,如 0,5,奇数,偶数等这些特殊的元素,我们 需要认真分析题意,分清主次,选择其一作为主线.例如 第(1)小问,注意到 0 这一特殊的元素,它不能排在首位这 一特殊的位置.解答中以位置优先,较易解决,但若以特 殊元素为主,也可解决.这类问题还需注意排成的数是不 是数字不充许重复的.

素材2
六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法? (1)甲不站两端; (2)甲、乙必须相邻; (3)甲、乙不相邻; (4)甲、乙之间间隔两人; (5)甲、乙站在两端; (6)甲不站在左端,乙不站在右端.

【解析】(1)方法 1:要使甲不站在两端,可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个,有 A1种站法,然后其余 5 人在另外 5 4 个位置上作全排列有 A 5 种站法,根据分步计数原理,共有 5 A1· 5=480 种站法. 4 A5 方法 2:由于不站两端,这两个位置只能从其余 5 个人中 选 2 个人站,有 A2种站法,然后中间 4 人有 A4种站法,根据 5 4 分步计数原理,共有 A2· 4=480 种站法. 5 A4 方法 3: 若对甲没有限制条件共有 A6种法, 甲在两端共有 6 2A5种站法,从总数中减去这两种情况的排列数,即得所求的 5 站法数,共有 A6-2A5=480 种站. 6 5

(2)方法 1:先把甲、乙作为一个“整体”,看作一个人, 有 A5种站法,再把甲、乙进行全排列,有 A2种站法,根椐分 5 2 步计数原理,共有 A5· 2=240 种站法. 5 A2 方法 2: 先把甲、 乙以外的 4 个人作全排列, A4种站法, 有 4 再在 5 个空档中选出一个供甲、乙放入,有 A1种站法,最后 5 让甲、乙全排列,有 A2种方法,共有 A4· 1· 2=240 种. 2 4 A5 A2

(3)因为甲、乙不相邻,中间有隔档,可用“插空法”, 第一步先让甲、乙以外的 4 个人站队,有 A4种;第二步再将 4 甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档(含两端)中,有 A2种,故共有 5 站法为 A4· 2=480 种. 4 A5 也可用“间接法”,6 个人全排列有 A6种站法,由(2)知 6 甲、乙相邻有 A5· 2=240 种站法,所以不相邻的站法有 A6- 5 A2 6 A5· 2=720-240=480 种. 5 A2

(4)方法 1:先将甲、乙以外的 4 个人作全排列,有 A4种,然 4 后将甲、乙按条件插入站队,有 3A2种,故共有 A4· 2)=144 2 4 (3A2 种站法. 方法 2:先从甲、乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲、乙 之间的两个位置上,有 A2种,然后把甲、乙及中间 2 人看作 4 一个“大”元素与余下 2 人作全排列有 A3种方法,最后对甲、 3 乙进行排列,有 A2种方法,故共有 A2· 3· 2=144 种站法. 2 4 A3 A2

(5)方法 1: 首先考虑特殊元素, 乙先站两端, A2种, 甲、 有 2 再让其他 4 人在中间位置作全排列,有 A4种,根据分步计数 4 原理,共有 A2· 4=48 种站法. 2 A4 方法 2:首先考虑两端两个特殊位置,甲、乙去站有 A2种 2 站法,然后考虑中间 4 个位置,由剩下的 4 人去站,有 A4种 4 站法,由分步计数原理共有 A2· 4=48 种站法. 2 A4

(6)方法 1:甲在左端的站法有 A5种,乙在右端的站法有 A5种,且 5 5 甲在左端而乙在右端的站法有 A4种,共有 A6-2A5+A4=504 种 4 6 5 4 站法. 方法 2:以元素甲分类可分为两类:①甲站右端 A5种,②甲 5 在中间 4 个位置之一,而乙不在右端有 A5+A1· 4· 1=504 种站 5 4 A4 A4 法.



几何型排列组合问题

【例 3】 已知平面 a∥β 在 a 内有 4 个点, β 内有 6 个点. 在 (1)过这 10 个点中的 3 点作一平面,最多可作多少个 不同平面? (2)以这些点为顶点,最多可作多少个三棱锥? (3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积?

【解析】 (1)所作出的平面有三类: ①α 内 1 点,β 内 2 点确定的平面,有 C1· 2个; 4 C6 ②α 内 2 点,β 内 1 点确定平面,有 C2· 1个; 4 C6 ③α,β 本身,共 2 个. 所以所作的平面最多有 C1· 2+C2· 1+2=98(个). 4 C6 4 C6

(2)所作的三棱锥有三类: ①α 内 1 点,β 内 3 点确定的三棱锥,有 C1· 3个; 4 C6 ②α 内 2 点,β 内 2 点确定的三棱锥,有 C2· 2个; 4 C6 ③α 内 3 点,β 内 1 点确定的三棱锥,有 C3· 1个; 4 C6 所以最多可作出的三棱锥有 C1· 3+C2· 2+C3· 1=194(个). 4 C6 4 C6 4 C6

(3)因为当等底面积、等高的情况下三棱锥体积才能相等, 两个条件缺一不可. 所以体积不相同的三棱锥最多有 C3+C3+C2· 2=114(个). 6 4 6 C4

【点评】这是几何型排列组合合问题(1)要特别注意 不要忘记平面 α、β;(2)图形个数问题一般是组合问题, 要注意共点、共线、共面等特殊情况,避免多算或少算.

素材3

在正方体的八个顶点中,解答下列问题: (1)每两点可连成一条直线,则可连成多少条直线? (2)若每三点连成一个三角形,则可连成多少个不同的 等腰直角三角形? (3)若以其中四点连成一个三棱锥,则可连成多少个不 同的三棱锥?

【分析】 本题是立体几何中组合计数问题, 注意计数中 的取法须满足题中的条件.

【解析】(1)从八个点取两个连成直线的条数有 C2=28 条. 8 (2)由题意知, 符合条件的等腰直角三角形应该在同一个表 面上,正方体一个表面的四点可连成 C3个三角形,这些都是等 4 腰直角三角形,所以共有 6×C3=24 个. 4 (3)八个点任取四点的情况数有 C4种其中四点共面的情况 8 有:一是表面上的四点,二是对角面的四点,共 12 种,所以 四点不共面,即能连成三棱锥有 C4-12=58 个. 8

备选例题

设集合 M={1,2,3,4,5,6},S1,S2,?,Sk 都是 M 的含两个元素 的子集,且满足:对任意的 Si={ai,bi},Sj={aj,bj}(i≠j,i、 j∈{1,2,3,?,k}),都有
?a ?a ? i bi? ? ? j bj? ? min?b ,a ?≠min?b ,a ?(min{x,y}表 ? i ? j ? ? ? ? i? j?

示两个数 x,y 中的较小者),则 k 的最大值是( A. 10 C. 12 B. 11 D. 13

)

【解析】 2 个元素的子集有 15 个, 含 但{1,2}、 {2,4}、 {3,6} 只能取一个;{1,3}、{2,6}只能取一个;{2,3}、{4,6}只能 取一个,故满足条件的两个元素的集合有 11 个,选 B.

1.分类应在同一标准下进行,确保“不 漏”“不重”,分步要做到“步骤连续” 和“步骤独立”,并能完成事项. 2.界定“元素与位置”要辩证看待; “特殊元素、特殊位置”可直接优先安排, 也可间接处理.

3.将复杂的排列、组合问题利用分类思 想转化为简单问题求解是常用有效途径.

4.解排列、组合综合问题应注意先选 后排的原则和基本方法技巧的综合运用.
5.有限制条件的组合问题的限制条件 主要表现在取出的元素中“含”或“不含” 某些元素,解决这种问题通常用直接法或 间接法,用直接法则要注意合理分类,用 “间接法”时,要注意“至少”“最 多”“恰好”等词语的含义,做到既不重 复又不遗漏.


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