当前位置:首页 >> 数学 >>

第64讲 排列与组合综合应用问题


进一步理解排列、组合的概念, 掌握排列、组合数公式;提高灵活 应用排列、组合知识及其基本方法、 技巧分析和解决有关应用问题的能 力.

1.求解排列与组合的综合应用题的三条 途径 (1)以① 元素为分析对象 ,先满足特殊 元素的要求,再考虑其他元素,即优元法. (2)以② 位置为分析对象 ,即先满足特殊 位置的要求,再考虑其他位置,即优位法. 这两种方法都是③ 直接法 . (3)先不考虑附加条件,计算出所有排 列数或组合数,再减去不符合要求的排列 数或组合数,即④ 间接法 .

2.解排列、组合题的“十六字方针, 十二个技巧” (1)“十六字方针”是解排列、组合题 的 基 本 分类相加、分步相乘、即 规 律 , ⑤ 有序排列、无序组合 . .

(2)“十二个技巧”是解排列、组合题 的捷径,即: 相邻问题捆绑法;
不相邻问题插空法;

多排问题单排法; 定序问题倍缩法; 定位问题优先法; 有序分配问题分步法; 多元问题分类法; 交叉问题集合法; 至少(或至多)问题间接法; 选排问题先取后排法; 局部与整体问题排除法; 复杂问题转化法.

3.解答组合应用题的总体思路 (1)⑥ 整体分类 .从集合的意义讲,分类要
做到各类的并集等于全集,以保证分类的不 遗漏,任何两类的交集等于空集,以保证分 类的不重复,计算结果是使用分类计数原理. (2)⑦ 局部分步 .整体分类以后,对每一类 进行局部分步,分步要做到步骤连续,以保证 分步的不遗漏.同时步骤要独立,以保证分步 的不重复.计算结果时用分步计数原理.

(3)辩证地看待“元素”与“位 置”.排列、组合问题中的元素与位 置,没有严格的界定标准,哪些事 物看成元素或位置,要视具体情况 而定,有时“元素选位置”,问题 解决得简捷,有时“位置选元素”, 效果会更好.

1.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种, 分别种在不同土质的三块土地上, 其中黄瓜必须种植, 不 同的种植方法有( A.24 种 C.12 种 ) B.18 种 D.6 种

【解析】有 C2· 3=18 种不同种植法. 3 A3

2.方程 Cx =C3x 8的解集为( 28 28 A.{4} C.{(4,9)}



) B.{9} D.{4,9}

【解析】由 x=3x-8,解得 x=4. 由 28-x=3x-8,解得 x=9. 所以方程 Cx =C3x 8的解集为{4,9}. 28 28


3.从 A、B、C、D、E 五名学生中,选出四名学生参加数 学、物理、化学、英语竞赛,其中 A 不参加物理、化学竞 赛,每人只参加一项竞赛,则不同的参赛方案种数为( ) A.24 C.120 B.48 D.72

【解析】 分选 A 和不选 A 二类情况,若不选 A 有 A4种,若 4 选 A,应先选人有 C1C3种,再排科目,A1A3种,故 C1C3A1A3 1 4 2 3 1 4 2 3 种.所以总方案为 A4+C1C3A1A3=72.故选 D. 4 1 4 2 3

4.过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条,其中异面直 线有( ) B.24 对 D.36 对

A.18 对 C.30 对

【解析】 以三棱柱 6 个顶点中 4 个顶点为顶点的三棱锥共 C4-3=12 个.每个三棱锥含三组对棱是三对异面直线,故 6 共有 36 对异面直线,选 D.

5.用 0,1,2,?,9 十个数字组成五位数,其中含 3 个奇 数字与 2 个偶数字且数字不同的五位数有 11040 .

【解析】 ①含 0 的:有 C3C1A4A1种; 5 4 4 4

②不含 0 的: C3C2A5种.共有 C3C1A4A1+C3C2A5=11040 个. 有 5 4 5 5 4 4 4 5 4 5

一 分组分配问题
【例 1】有 6 本不同的书按下列方式分配,问共有 多少种不同的分配方式? (1)分成 1 本、2 本、3 本三组; (2)分给甲、乙、丙三人,其中 1 人一本,1 人两 本,1 人三本; (3)平均分成三组,每组 2 本; (4)分给甲、乙、丙三人,每个人选 2 本.

【解析】 (1)分三步:先选一本有 C1种选法;再从余下 6 的 5 本中选两本有 C2种选法; 最后余下的三本全选有 C3种选 5 3 法.由分步计数原理知,分配方式共有 C1· 2· 3=60 种. 6 C5 C3 (2)由于甲、乙、丙是不同的三个人,在(1)的基础上,还 应考虑再分配问题,分配方式共有 C1· 2· 3· 3=360 种. 6 C5 C3 A3

(3)先分三步,则应是 C2· 2· 2种方法,但是这里面出现了 6 C4 C2 重复,不妨设六本书为 A,B,C,D,E,F,若第一步取了 AB, 第二步取了 CD, 第三步取了 EF, 记该种分法为(AB, CD, EF), 则 C2· 2· 2种方法中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD, 6 C4 C2 EF,AB),(EF,CD,AB)(EF,AB,CD),共 A3种情况,而且 3 这 A3种情况仅是 AB,CD,EF 的顺序不同,因此,只能作为一 3 C2· 2· 2 6 C4 C2 种分法,故分配方式有 A3 =15 种. 3 (4) 在 问 题 (3) 的 基 础 上 再 分 配 即 可 , 共 有 分 配 方 式 C2· 2· 2 3 6 C4 C2 · 3=C2· 2· 2=90 种. 3 6 C4 C2 A3 A

【点评】 平均分组问题应防止重复的情况, 如{1,2}, {3,4}, {5,6}与{1,2},{5,6},{3,4}是同一分组.一般来说,km 个不同
m m Ckm· m -1?m?Cm C?k 元素分成 k 组,每组 m 个,则不同的分法有 种. Ak k

素材1

某班级要从 4 名男生、 名女生中选派 4 人参加某 2 次社区服务中的 2 项服务工作,如果要求至少有 1 名 女生参加,且每项工作均由 2 人承担,那么不同的选 派方案种数为 84 种.

【解析】 先从 6 人中依题设选 4 人, C1C3+C2C2种, 有 2 4 2 4 然后将 4 人平均分配承担 2 项工作,有 C2C2种,共有 4 2 (C1C3+C2C2)C2C2=84 种. 2 4 2 4 4 2



数字排列和位置排列问题

【例 2】用 0,1,2,3,4,5,组成没有重复数字的数: (1)能组成多少个六位数; (2)能组成多少个六位奇数; (3)能组成多少个能被 5 整除的六位数; (4)能组成多少个比 240135 大的数.

【解析】(1)第一位不能是 0,有 A1种方法,其它各位有 5 A5种方法,共有六位数的个数是 A1A5=600. 5 5 5 (2)要使六位数为奇数, 其个位数字必须是 1 或 3 或 5, 所 以所求六位奇数的个数是 A1A1A4=288. 3 4 4 (3)要使六位数能被 5 整除, 个位数字必须是 0 或 5, 当个 位数字是 0 时,有 A5个;当个位数字是 5 时,有 4A4个,因 5 4 此,能被 5 整除的六位数的个数是 A5+4A4=216. 5 4

(4)要比 240135 大,首先必须是六位数,有以下几类:首 位数是 3 或 4 或 5 时各有 A5个;首位数字是 2,第二位数字是 5 4 或 5, 但不包含 240135 在内, 2A4-1 个, 有 4 因此共有比 240135 大的数是 3A5+2A4-1=407. 5 4

【点评】排数字问题是排列组合中最常见的一种题 型.这种问题应把握住在排数字时,如首位和末位等这些 特殊的位置,如 0,5,奇数,偶数等这些特殊的元素,我们 需要认真分析题意,分清主次,选择其一作为主线.例如 第(1)小问,注意到 0 这一特殊的元素,它不能排在首位这 一特殊的位置.解答中以位置优先,较易解决,但若以特 殊元素为主,也可解决.这类问题还需注意排成的数是不 是数字不充许重复的.

素材2
六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法? (1)甲不站两端; (2)甲、乙必须相邻; (3)甲、乙不相邻; (4)甲、乙之间间隔两人; (5)甲、乙站在两端; (6)甲不站在左端,乙不站在右端.

【解析】(1)方法 1:要使甲不站在两端,可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个,有 A1种站法,然后其余 5 人在另外 5 4 个位置上作全排列有 A 5 种站法,根据分步计数原理,共有 5 A1· 5=480 种站法. 4 A5 方法 2:由于不站两端,这两个位置只能从其余 5 个人中 选 2 个人站,有 A2种站法,然后中间 4 人有 A4种站法,根据 5 4 分步计数原理,共有 A2· 4=480 种站法. 5 A4 方法 3: 若对甲没有限制条件共有 A6种法, 甲在两端共有 6 2A5种站法,从总数中减去这两种情况的排列数,即得所求的 5 站法数,共有 A6-2A5=480 种站. 6 5

(2)方法 1:先把甲、乙作为一个“整体”,看作一个人, 有 A5种站法,再把甲、乙进行全排列,有 A2种站法,根椐分 5 2 步计数原理,共有 A5· 2=240 种站法. 5 A2 方法 2: 先把甲、 乙以外的 4 个人作全排列, A4种站法, 有 4 再在 5 个空档中选出一个供甲、乙放入,有 A1种站法,最后 5 让甲、乙全排列,有 A2种方法,共有 A4· 1· 2=240 种. 2 4 A5 A2

(3)因为甲、乙不相邻,中间有隔档,可用“插空法”, 第一步先让甲、乙以外的 4 个人站队,有 A4种;第二步再将 4 甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档(含两端)中,有 A2种,故共有 5 站法为 A4· 2=480 种. 4 A5 也可用“间接法”,6 个人全排列有 A6种站法,由(2)知 6 甲、乙相邻有 A5· 2=240 种站法,所以不相邻的站法有 A6- 5 A2 6 A5· 2=720-240=480 种. 5 A2

(4)方法 1:先将甲、乙以外的 4 个人作全排列,有 A4种,然 4 后将甲、乙按条件插入站队,有 3A2种,故共有 A4· 2)=144 2 4 (3A2 种站法. 方法 2:先从甲、乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲、乙 之间的两个位置上,有 A2种,然后把甲、乙及中间 2 人看作 4 一个“大”元素与余下 2 人作全排列有 A3种方法,最后对甲、 3 乙进行排列,有 A2种方法,故共有 A2· 3· 2=144 种站法. 2 4 A3 A2

(5)方法 1: 首先考虑特殊元素, 乙先站两端, A2种, 甲、 有 2 再让其他 4 人在中间位置作全排列,有 A4种,根据分步计数 4 原理,共有 A2· 4=48 种站法. 2 A4 方法 2:首先考虑两端两个特殊位置,甲、乙去站有 A2种 2 站法,然后考虑中间 4 个位置,由剩下的 4 人去站,有 A4种 4 站法,由分步计数原理共有 A2· 4=48 种站法. 2 A4

(6)方法 1:甲在左端的站法有 A5种,乙在右端的站法有 A5种,且 5 5 甲在左端而乙在右端的站法有 A4种,共有 A6-2A5+A4=504 种 4 6 5 4 站法. 方法 2:以元素甲分类可分为两类:①甲站右端 A5种,②甲 5 在中间 4 个位置之一,而乙不在右端有 A5+A1· 4· 1=504 种站 5 4 A4 A4 法.



几何型排列组合问题

【例 3】 已知平面 a∥β 在 a 内有 4 个点, β 内有 6 个点. 在 (1)过这 10 个点中的 3 点作一平面,最多可作多少个 不同平面? (2)以这些点为顶点,最多可作多少个三棱锥? (3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积?

【解析】 (1)所作出的平面有三类: ①α 内 1 点,β 内 2 点确定的平面,有 C1· 2个; 4 C6 ②α 内 2 点,β 内 1 点确定平面,有 C2· 1个; 4 C6 ③α,β 本身,共 2 个. 所以所作的平面最多有 C1· 2+C2· 1+2=98(个). 4 C6 4 C6

(2)所作的三棱锥有三类: ①α 内 1 点,β 内 3 点确定的三棱锥,有 C1· 3个; 4 C6 ②α 内 2 点,β 内 2 点确定的三棱锥,有 C2· 2个; 4 C6 ③α 内 3 点,β 内 1 点确定的三棱锥,有 C3· 1个; 4 C6 所以最多可作出的三棱锥有 C1· 3+C2· 2+C3· 1=194(个). 4 C6 4 C6 4 C6

(3)因为当等底面积、等高的情况下三棱锥体积才能相等, 两个条件缺一不可. 所以体积不相同的三棱锥最多有 C3+C3+C2· 2=114(个). 6 4 6 C4

【点评】这是几何型排列组合合问题(1)要特别注意 不要忘记平面 α、β;(2)图形个数问题一般是组合问题, 要注意共点、共线、共面等特殊情况,避免多算或少算.

素材3

在正方体的八个顶点中,解答下列问题: (1)每两点可连成一条直线,则可连成多少条直线? (2)若每三点连成一个三角形,则可连成多少个不同的 等腰直角三角形? (3)若以其中四点连成一个三棱锥,则可连成多少个不 同的三棱锥?

【分析】 本题是立体几何中组合计数问题, 注意计数中 的取法须满足题中的条件.

【解析】(1)从八个点取两个连成直线的条数有 C2=28 条. 8 (2)由题意知, 符合条件的等腰直角三角形应该在同一个表 面上,正方体一个表面的四点可连成 C3个三角形,这些都是等 4 腰直角三角形,所以共有 6×C3=24 个. 4 (3)八个点任取四点的情况数有 C4种其中四点共面的情况 8 有:一是表面上的四点,二是对角面的四点,共 12 种,所以 四点不共面,即能连成三棱锥有 C4-12=58 个. 8

备选例题

设集合 M={1,2,3,4,5,6},S1,S2,?,Sk 都是 M 的含两个元素 的子集,且满足:对任意的 Si={ai,bi},Sj={aj,bj}(i≠j,i、 j∈{1,2,3,?,k}),都有
?a ?a ? i bi? ? ? j bj? ? min?b ,a ?≠min?b ,a ?(min{x,y}表 ? i ? j ? ? ? ? i? j?

示两个数 x,y 中的较小者),则 k 的最大值是( A. 10 C. 12 B. 11 D. 13

)

【解析】 2 个元素的子集有 15 个, 含 但{1,2}、 {2,4}、 {3,6} 只能取一个;{1,3}、{2,6}只能取一个;{2,3}、{4,6}只能 取一个,故满足条件的两个元素的集合有 11 个,选 B.

1.分类应在同一标准下进行,确保“不 漏”“不重”,分步要做到“步骤连续” 和“步骤独立”,并能完成事项. 2.界定“元素与位置”要辩证看待; “特殊元素、特殊位置”可直接优先安排, 也可间接处理.

3.将复杂的排列、组合问题利用分类思 想转化为简单问题求解是常用有效途径.

4.解排列、组合综合问题应注意先选 后排的原则和基本方法技巧的综合运用.
5.有限制条件的组合问题的限制条件 主要表现在取出的元素中“含”或“不含” 某些元素,解决这种问题通常用直接法或 间接法,用直接法则要注意合理分类,用 “间接法”时,要注意“至少”“最 多”“恰好”等词语的含义,做到既不重 复又不遗漏.


相关文章:
...第64讲《排列与组合综合应用问题》热点针对训练 理
如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 2014届高考数学一轮复习 第64讲排列与组合综合应用问题》热点针对训练 ...
第66讲 排列与组合的综合问题
第64讲 两个原理 第65讲 排列与组合 第67讲 二项式定理 第71讲 离散型随机...二、教学目标:在解决排列、组合综合应用问题时,要正确进行分类与分步,处理好有...
第6讲 排列组合的综合应用
第64讲 排列与组合综合应用... 暂无评价 53页 2财富值 第64讲 排列与组合综合...即排列组合的基石.其次注意两 点:①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合...
第十章 第三节 排列与组合的综合应用
第64讲 排列与组合综合应用... 53页 免费喜欢此文档的还喜欢 第十章 第二节 4页 2财富值 第十章 第四节 二项式定理 4页 2财富值 排列组合综合应用问题 ...
第65讲 排列与组合
第64讲 两个原理 第66讲 排列与组合综合... 第67讲 二项式定理 第71讲 ...教学目标:理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它们解决一些简单的应用问题...
排列组合的综合应用
第十章排列、组台、二项式定理 排列组合综合教育...从而增加了问题综合性,解答这类应用题时,要注意...( ) A 64 B 72 C 78 D 96 14 从某班学生...
排列组合综合问题(一)
C 第七课时排列组合综合问题(一) 学习要求 1.在进一步加深对排列、组合意义...2.解排列组合应用题,要注意四点: (1)仔细审题,判断是组合问题还是排列问题...
排列组合综合应用2(分配问题)
排列组合综合应用2(分配问题)_数学_高中教育_教育专区...C6 C4 C2 2 2 2 分析:(二)第一步:先将 6 ...第3讲排列组合综合应用(... 暂无评价 5页 2下载...
排列组合的综合应用
排列组合综合应用_数学_高中教育_教育专区。排列组合综合应用排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题, 其次要搞清楚需要分步, 还 是需要分类。原则...
排列组合综合应用题(新)
如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 排列组合综合应用题(新) 隐藏>> 1.排列的定义: 从 n 个不同元素中...
更多相关标签: