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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(苏教版,必修一) 第二章函数 第2章章末检测B 课时作业]


第2章

章末检测(B)

(时间:120 分钟 满分:160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) ?x2+2 ?x≥2? ? 1.设函数 f(x)=? ,已知 f(x0)=8,则 x0=________. ? ?2x ?x<2? 2.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则 f(7)= ________. ?b,a≥b ? 3.若定义运算 a⊙b=? ,则函数 f(x)=x⊙(2-x)的值域为________. ? ?a,a<b 4.函数 f(x)的定义域为 D,若对于任意 x1,x2∈D,当 x1<x2 时,都有 f(x1)≤f(x2),则称函 数 f(x)在 D 上为非减函数.设函数 f(x)在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件: x 1 1 1 ①f(0)=0;②f( )= f(x);③f(1-x)=1-f(x),则 f( )+f( )=________. 3 2 3 8 1 ? ??2?x, x≥4 5.已知函数 f(x)=? ,则 f(2+log 3)的值为______.

?f?x+1?, x<4 ?

2

3-x 6.函数 f(x)=loga (a>0 且 a≠1),f(2)=3,则 f(-2)的值为________. 3+x 7.函数 y= log 1 (x2-3x+2)的单调递增区间为______________.
2

8.设 0≤x≤2,则函数 y= 4 -3· 2x+5 的最大值是________,最小值是________. 9.函数 y=3|x|-1 的定义域为[-1,2],则函数的值域为________. 10.函数 y=2x 与 y=x2 的图象的交点个数为____________. ? ?x>0? ?log2x 11.已知函数 f(x)=? x ,且关于 x 的方程 f(x)+x-a=0 有且只有一个实根, ? ?x≤0? ?3 则实数 a 的取值范围是______________. 12.要建造一个长方体形状的仓库,其内部的高为 3 m,长与宽的和为 20 m,则仓库容 积的最大值为________. ?2x-1, x>0, ? 13.已知函数 f(x)=? 2 若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则实数 m ? ?-x -2x, x≤0. 的取值范围为________. 14.若曲线|y|=2x+1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 的取值范围是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) a 15.(14 分)讨论函数 f(x)=x+ (a>0)的单调区间. x

1 x? 2

x 16.(14 分)若 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且 f( )=f(x)-f(y). y (1)求 f(1)的值; 1 (2)若 f(6)=1,解不等式 f(x+3)-f( )<2. x

17.(14 分)已知函数 f(x)=2a· 4x-2x-1. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)在 x∈[-3,0]的值域; (2)若关于 x 的方程 f(x)=0 有解,求 a 的取值范围.

1 18.(16 分)设函数 f(x)=log2(4x)· log2(2x), ≤x≤4, 4 (1)若 t=log2x,求 t 的取值范围; (2)求 f(x)的最值,并写出最值时对应的 x 的值.

19.(16 分)已知 a 是实数,函数 f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数 y=f(x)在区间[-1,1]上 有零点,求实数 a 的取值范围.

20. (16 分)我国是水资源比较贫乏的国家之一, 各地采用价格调控等手段以达到节约用水 的目的.某市用水收费标准是:水费=基本费+超额费+定额损耗费,且有如下三条规 定: ①若每月用水量不超过最低限量 m 立方米时,只付基本费 9 元和每户每月定额损耗费 a 元; ②若每月用水量超过 m 立方米时, 除了付基本费和定额损耗费外, 超过部分每立方米付 n 元的超额费; ③每户每月的定额损耗费 a 不超过 5 元. (1)求每户每月水费 y(元)与月用水量 x(立方米)的函数关系式; (2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示: 月份 用水量(立方米) 水费(元) 4 17 一 5 23 二 2.5 11 三 试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量,并求 m,n,a 的值.

第2章

章末检测(B)

1. 6 解析 ∵当 x≥2 时,f(x)≥f(2)=6, 当 x<2 时,f(x)<f(2)=4, 2 ∴x0 +2=8(x0≥2),解得 x0= 6. 2.-2 解析 ∵f(x+4)=f(x),∴f(7)=f(3+4)=f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-f(1)=-2×12=-2. 3.(-∞,1] 解析 由题意知 x⊙(2-x)表示 x 与 2-x 两者中的较小者,借助 y=x 与 y=2-x 的图象, 不难得出,f(x)的值域为(-∞,1].

3 4 解析 由题意得 f(1)=1-f(0)=1, 1 1 1 1 1 f( )= f(1)= ,f( )=1-f( ), 3 2 2 2 2 1 1 即 f( )= , 2 2 4.

1 1 1 3 1 由函数 f(x)在[0,1]上为非减函数得,当 ≤x≤ 时,f(x)= ,则 f( )= , 3 2 2 8 2 1 3 1 3 1 又 f( × )= f( )= , 3 8 2 8 4 1 1 即 f( )= . 8 4 1 1 3 因此 f( )+f( )= . 3 8 4 1 5. 24 解析 ∵log23∈(1,2),∴3<2+log23<4, 则 f(2+log23)=f(3+log23) =? ? 6.-3 3- x 解析 ∵ >0,∴-3<x<3 3+ x ∴f(x)的定义域关于原点对称. 3+x 3-x ∵f(-x)=loga =-loga =-f(x), 3-x 3+x ∴函数 f(x)为奇函数. ∴f(-2)=-f(2)=-3. 7.(-∞,1) 解析 函数的定义域为{x|x2-3x+2>0}={x|x>2 或 x<1}, 令 u=x2-3x+2,则 y= log 1 u 是减函数,
2

?1? ?2?

3? log2 3

1 1 1 1 2log2 3?1 =8×3=24. =( )3· 2

所以 u=x2-3x+2 的减区间为函数 y= log 1 (x2-3x+2)的增区间,由于二次函数 u=x2-
2

3 3x+2 图象的对称轴为 x= , 2 所以(-∞,1)为函数 y 的递增区间. 5 1 8. 2 2 1 -3· 2x+5= (2x)2-3· 2x+5. 2 令 t=2x,x∈[0,2],则 1≤t≤4, 1 1 1 于是 y= t2-3t+5= (t-3)2+ ,1≤t≤4. 2 2 2 1 当 t=3 时,ymin= ; 2 1 1 5 当 t=1 时,ymax= ×(1-3)2+ = . 2 2 2 9.[0,8] 解析 当 x=0 时,ymin=30-1=0, 当 x=2 时,ymax=32-1=8, 故值域为[0,8]. 10.3 解析 分别作出 y=2x 与 y=x2 的图象. 知有一个 x<0 的交点,另外,x=2,x=4 时也相交. 11.(1,+∞) 解析 y= 4
1 x? 2

解析 由 f(x)+x-a=0, 得 f(x)=a-x, 令 y=f(x),y=a-x,如图, 当 a>1 时,y=f(x)与 y=a-x 有且只有一个交点, ∴a>1. 12.300 m3 解析 设长为 x m,则宽为(20-x)m,仓库的容积为 V, 则 V=x(20-x)· 3=-3x2+60x,0<x<20, 由二次函数的图象知,顶点的纵坐标为 V 的最大值. ∴x=10 时,V 最大=300(m3). 13.(0,1) ?2x-1, x>0, ? 解析 函数 f(x)=? 2 的图象如图所示, ?-x -2x, x≤0 ?

该函数的图象与直线 y=m 有三个交点时 m∈(0,1),此时函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点. 14.[-1,1]

解析 分别作出两个函数的图象,通过图象的交点个数来判断参数的取值范围.曲线|y| =2x+1 与直线 y=b 的图象如图所示,由图象可得:如果|y|=2x+1 与直线 y=b 没有公共 点,则 b 应满足的条件为 b∈[-1,1]. 15.解 任取 x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2, x1x2-a 则 x2-x1>0,f(x2)-f(x1)=(x2-x1)· . x1x2 当 0<x1<x2≤ a时,有 0<x1x2<a, ∴x1x2-a<0. ∴f(x2)-f(x1)<0,即 f(x)在(0, a)上是减函数. 当 a≤x1<x2 时,有 x1x2>a,∴x1x2-a>0. ∴f(x2)-f(x1)>0, 即 f(x)在[ a,+∞)上是增函数. ∵函数 f(x)是奇函数,∴函数 f(x)在(-∞,- a]上是增函数,在[- a,0)上是减函数. 综上所述,f(x)在区间(-∞,- a],[ a,+∞)上为增函数,在[- a,0),(0, a]上为 减函数. 16.解 (1)令 x=y≠0,则 f(1)=0. (2)令 x=36,y=6, 36 则 f( )=f(36)-f(6),f(36)=2f(6)=2, 6

1 故原不等式为 f(x+3)-f( )<f(36), x 即 f[x(x+3)]<f(36), 又 f(x)在(0,+∞)上为增函数, x+3>0 ? ?1 故原不等式等价于?x >0 ? ?0<x?x+3?<36 ?0<x< 17.解 1], 1 9 1 故 y=2t2-t-1=2(t- )2- ,t∈[ ,1], 4 8 8 9 故值域为[- ,0]. 8 (2)关于 x 的方程 2a(2x)2-2x-1=0 有解,等价于方程 2ax2-x-1=0 在(0,+∞)上有解. 记 g(x)=2ax2-x-1,当 a=0 时,解为 x=-1<0,不成立; 1 当 a<0 时,开口向下,对称轴 x= <0, 4a 过点(0,-1),不成立; 1 当 a>0 时,开口向上,对称轴 x= >0, 4a 过点(0,-1),必有一个根为正,符合要求. 故 a 的取值范围为(0,+∞). 1 18.解 (1)∵t=log2x, ≤x≤4, 4 1 ∴log2 ≤t≤log24, 4 即-2≤t≤2. (2)f(x)=(log24+log2x)(log22+log2x) =(log2x)2+3log2x+2, ∴令 t=log2x, 3 1 则 y=t2+3t+2=(t+ )2- , 2 4 3 3 3 ∴当 t=- 即 log2x=- ,x=2- 时, 2 2 2 1 f(x)min=- . 4 当 t=2 即 x=4 时,f(x)max=12. 3 19.解 当 a=0 时,函数为 f(x)=2x-3,其零点 x= 不在区间[-1,1]上. 2 当 a≠0 时,函数 f(x)在区间[-1,1]分为两种情况: ①函数在区间[-1,1]上只有一个零点,此时: ?Δ=4-8a?-3-a?≥0 ?
? ?f?-1?· f?1?=?a-5??a-1?≤0 ?

153-3 . 2 1 (1)当 a=1 时,f(x)=2· 4x-2x-1=2(2x)2-2x-1,令 t=2x,x∈[-3,0],则 t∈[ , 8

Δ=4-8a?-3-a?=0 ? ? 或? , 1 -1≤- ≤1 ? 2a ?

-3- 7 解得 1≤a≤5 或 a= . 2 ②函数在区间[-1,1]上有两个零点,此时

? ? 1 ?-1<-2a<1 ? ?f?-1?f?1?≥0

Δ>0

8a +24a+4>0 ? ? 1 ,即?-1<-2a<1 ? ??a-5??a-1?≥0

2

.

-3- 7 解得 a≥5 或 a< . 2 综上所述,如果函数在区间[-1,1]上有零点,那么实数 a 的取值范围为(-∞, ∪[1,+∞).
?9+a,0<x≤m, ① ? 20.解 (1)依题意,得 y=? ? ?9+n?x-m?+a,x>m. ② 其中 0<a≤5. (2)∵0<a≤5,∴9<9+a≤14. 由于该家庭今年一、二月份的水费均大于 14 元,故用水量 4 立方米,5 立方米都大于最 低限量 m 立方米. ? ? ?x=4, ?x=5, 将? 和? 分别代入②, ?y=17 ?y=23 ? ? ?17=9+n?4-m?+a, ③ ? 得? ?23=9+n?5-m?+a. ④ ? ③-④,得 n=6. 代入 17=9+n(4-m)+a,得 a=6m-16. 又三月份用水量为 2.5 立方米, ? ?x=2.5, 若 m<2.5,将? 代入②,得 a=6m-13, ?y=11 ? 这与 a=6m-16 矛盾. ∴m≥2.5,即该家庭三月份用水量 2.5 立方米没有超过最低限量. ?x=2.5, ? 将? 代入①,得 11=9+a, ? ?y=11 ? ? ?a=6m-16, ?a=2, 由? 解得? ?11=9+a, ?m=3. ? ? ∴该家庭今年一、二月份用水量超过最低限量,三月份用水量没有超过最低限量,且 m =3,n=6,a=2.

-3- 7 ] 2


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